Euler-Knicken & die schlanke Stütze

Wähle ein Material, einen Querschnitt, eine Länge und die Einspannung der Enden. Die Seite berechnet die Last, bei der die Stütze knickt, die Last, bei der sie unter Druck versagt, und welches von beidem zuerst eintritt.

Rechenbeispiel — Euler-Knicken & die schlanke Stütze

Querschnittsfläche	706,86 mm²
Flächenträgheitsmoment	3,976 × 10⁻⁸ m⁴
Trägheitsradius, √(I ÷ A)	7,500 mm
Schlankheitsgrad, KL ÷ r	400,0
Knicklast	8,72 kN
Last bei Druckversagen	176,71 kN
Was von beidem zuerst passiert	8,72 kN
Also versagt sie durch	Knicken

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Euler-Knicken & die schlanke Stütze

Eine kurze, entlang ihrer Achse belastete Stütze versagt durch Druckversagen. Die Spannung erreicht die Festigkeit des Materials, und die Stütze gibt bei einer Last von Fläche mal Festigkeit nach. Eine lange Stütze kommt gar nicht erst so weit. Sie versagt durch Knicken. Sie biegt sich zur Seite und faltet sich dann zusammen, und zwar bei der Eulerschen Knicklast, P = π²EI ÷ (KL)². Dabei ist E die Steifigkeit, I das Flächenträgheitsmoment, L die Länge und K ein Faktor für die Einspannung der Enden. Welche Versagensart eintritt, entscheidet sich schlicht danach, welche Last geringer ist. Normalerweise vergleicht man beide über den Schlankheitsgrad λ = KL ÷ r. Dabei ist der Trägheitsradius r = √(I ÷ A) eine Länge, die angibt, wie weit das Material vom Zentrum entfernt liegt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

E: Steifigkeit, in Pascal. Sie beschreibt, wie schwer das Material zu dehnen ist, und ist die einzige Materialeigenschaft in der Eulerschen Formel
I: Flächenträgheitsmoment, in m⁴. Eine Eigenschaft, die nur von der FORM abhängt. Es ist der Grund, warum ein Rohr einen gleich schweren Vollstab schlägt
r: Trägheitsradius, √(I ÷ A), in Metern. Er gibt an, wie weit vom Zentrum entfernt das Material des Querschnitts effektiv liegt
λ: Schlankheit, KL ÷ r. Eine einzige Zahl, die entscheidet, welche der beiden Versagensarten eintreten wird
K: Der Einspannungsfaktor. 1 für gelenkige Enden, 0,5 für beidseitig eingespannt, 2 für ein freies Ende

Setzt voraus: Vorausgesetzt werden eine perfekt gerade Stütze, eine exakt zentrierte Last, ein gleichmäßiger Querschnitt und ein Material, das bis zum Moment des Versagens elastisch bleibt. Jede dieser Annahmen ist großzügig. Die Eulerlast ist der Punkt, an dem eine perfekte Stütze ihre Stabilität verliert. Sie ist nicht die Last, bei der eine reale Stütze bricht. Eine reale Stütze ist von Anfang an leicht gekrümmt und die Last greift leicht exzentrisch an. Deshalb beginnt sie sofort sich zu biegen und gibt unterhalb dieser Linie nach. Betrachte die Zahl eher als eine Obergrenze, die nicht überschritten werden darf, und nicht als eine Last, die man ausnutzen kann. Genau aus diesem Grund ersetzen echte Bemessungsnormen die scharfe Ecke zwischen den beiden Kurven durch einen fließenden Übergang, der an Versuche angepasst wurde.
Versagt, wenn: In der Nähe der Grenzschlankheit ist keine der beiden Idealisierungen zutreffend. Die Stütze ist dort gedrungen genug, dass das Material auf der Druckseite bereits zu fließen beginnt, bevor die elastische Knicklast erreicht ist. Das tatsächliche Versagen liegt unterhalb beider Kurven. Das Modell bricht auch beim I-Profil zusammen, und zwar sichtbar. Ein gewalzter Träger ist um die eine Achse etwa dreizehnmal steifer als um die andere. Eine ungestützte Stütze aus einem solchen Träger knickt seitlich um die schwache Achse weg. Der Wert für die starke Achse, den diese Seite ebenfalls ausgibt, ist daher die falsche Grundlage für die Bemessung. Bei Holz versagt das Modell auf eine Weise, die die Tabelle nicht zeigen kann. Der angegebene Wert ist eine charakteristische Druckfestigkeit aus einer sortierten Grundgesamtheit und keine Streckgrenze. Holz besitzt gar keine Streckgrenze, da es durch das Einknicken der Zellwände versagt.

Festerer Stahl knickt nicht bei einer höheren Last 🖖

Klicke auf Eine schlanke Strebe und dann auf Gleiche, festerer Stahl. Gleicher Stab, gleiche Länge, gleiche Einspannung und ein Material mit 2,76-facher Festigkeit. Die Knicklast beträgt davor 8,72 kN und danach 8,72 kN. Nicht nur ähnlich, sondern identisch bis auf jede Ziffer, die der Computer speichert. Die Eulersche Knicklast lautet π²EI ÷ (KL)². Die Festigkeit des Materials taucht darin nirgends auf. Nur E, die Steifigkeit, ist maßgeblich. E ist für beide Stähle gleich, weil alle Stähle ungefähr gleich steif sind. Was der festere Stahl gebracht hat, ist eine Last beim Druckversagen, die von 176,71 kN auf 487,73 kN gestiegen ist. Diese Stütze wird eine solche Last jedoch nie erreichen. Die Zeile für den genutzten Anteil der Festigkeit bewegt sich in die falsche Richtung, von 4,93 % hinab auf 1,79 %. Das bessere Material liefert den schlechteren Wert.

Es gibt eine Länge, ab der die beiden Versagensarten die Plätze tauschen 🖖

Druckversagen ist die Länge völlig egal und Knicken kümmert sich um fast nichts anderes. Die beiden Kurven im ersten Bereich müssen sich also kreuzen. Wo sie sich kreuzen, liegt die Grenzschlankheit. Sie lautet λ = π√(E ÷ Festigkeit). Es fließt keine Länge ein, keine Fläche, keine Form, nur die zwei Materialeigenschaften. Baustahl kreuzt bei 88,86 und der hochfeste Stahl bei 53,49. Das ist dieselbe Tatsache aus einem anderen Blickwinkel betrachtet. Je fester das Material ist, desto früher lohnt es sich nicht mehr, dafür zu bezahlen. Unterhalb der Grenzschlankheit kaufst du Festigkeit, oberhalb kaufst du Steifigkeit sowie Geometrie. Die reine Festigkeit des Materials ist hier gar nicht mehr das Thema.

Dicke macht sich in der vierten Potenz bezahlt, Festigkeit in der ersten 🖖

Wenn Festigkeit dort oben nichts bringt, was dann? Der zweite Bereich variiert die Größe des Querschnitts und misst die Steigung, anstatt sie vorauszusetzen. Auf dem Knickast verhält sich die kritische Last eines Vollrundstabs proportional zur vierten Potenz seines Durchmessers, gemessen bei 4,000000. Auf dem Druckversagensast verhält sie sich proportional zum Quadrat, gemessen bei 2,000000. Verdoppelst du den Durchmesser, versechzehnfacht sich die Knicklast. Ein Hohlrohr schneidet im Verhältnis zu seinem Gewicht noch besser ab. Bewegt man dasselbe Metall nach außen, steigt I, während A kaum berührt wird. Deshalb ist eine Gerüststange ein Rohr, ein Fahrradrahmen ist ein Rohr, und der massive Stab aus der ersten Voreinstellung ist eine denkbar schlechte Möglichkeit, Stahl einzusetzen.

Aufgabe vollständig gelöst

Die Wahl zwischen zwei Stählen für eine 3 m Strebe 6 Schritte
Eine 3 m lange Strebe, beidseitig gelenkig gelagert, soll aus einem massiven 30 mm Rundstahl gefertigt werden. Dir werden Baustahl mit 250 MPa und gegen Aufpreis hochfester Stahl mit 690 MPa angeboten. Berechne, was jeder Stahl tragen würde, und entscheide, welchen du kaufen solltest. Klicke auf Eine schlanke Strebe, um die erste Hälfte im Werkzeug zu sehen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Beginne mit der Geometrie. Sie ist für beide gleich und das ist alles, was für die Euler-Gleichung benötigt wird. Ein 30 mm Rundstab hat eine Fläche von 706,86 mm² und ein Flächenträgheitsmoment von 3,976 × 10⁻⁸ m⁴.
  
  $A = \frac{π d ^{2}}{4} = 706.86 m m^{2}, I = \frac{π d ^{4}}{64} = 3.976 \times 1 0^{- 8} m^{4}$
2. Daraus ergibt sich der Trägheitsradius. Bei einem Vollrundstab entspricht dieser exakt einem Viertel des Durchmessers: 7,500 mm.
  
  $r = \frac{I}{A} = \frac{d}{4} = 7.500 mm$
3. Beidseitig gelenkig bedeutet K = 1. Die Schlankheit ist also die reine Länge geteilt durch diesen Wert: 3 ÷ 0,0075 = 400. Das ist eine sehr schlanke Stütze. Die Grenzschlankheit für Baustahl liegt bei 88,86.
  
  $λ = \frac{K L}{r} = \frac{1 \cdot 3 . 0}{0 . 0075} = 400.0 λ_{c} = π \frac{E}{σ _{y}} = 88.86$
4. Nun folgt Euler mit E = 200 GPa für beide Stähle. Genau so hoch ist die Steifigkeit von Stahl:
  
  $P_{E} = \frac{π ^{2} E I}{( K L ) ^{2}} = \frac{π ^{2} \cdot 200 \times 1 0 ^{9} \cdot 3 . 976 \times 1 0 ^{- 8}}{3 . 0 ^{2}} = 8.72 kN$
5. Dann die Lasten für das Druckversagen. Das ist der einzige Punkt, an dem sich die beiden Stähle überhaupt unterscheiden:
  
  $σ_{y} A σ_{y} P_{E} 250 MPa 176.71 kN 8.72 kN 690 MPa 487.73 kN 8.72 kN$
6. Vergleiche die Paare. Die Strebe knickt in beiden Fällen bei 8,72 kN. Sie wird niemals eine Last erfahren, die auch nur in die Nähe eines der Druckversagenswerte kommt. Der festere Stahl trägt also absolut nichts dazu bei, was dieses Bauteil tragen kann.
  
  $\frac{8 . 72}{176 . 71} = 4 . 93%, \frac{8 . 72}{487 . 73} = 1 . 79%$
Antwort

Kaufe den billigen Stahl. Beide knicken bei 8,72 kN. Die einzige Auswirkung des 690 MPa Stahls ist, dass der genutzte Anteil seiner Festigkeit von 4,93 % auf 1,79 % sinkt. Du würdest für Festigkeit bezahlen und nichts dafür bekommen. Was helfen würde, ist alles, was in die Eulersche Formel einfließt: eine kürzere Strebe, eine seitliche Halterung in der Feldmitte, eingespannte statt gelenkige Enden, oder derselbe Stahl weiter weg vom Zentrum angeordnet. Ersetze den massiven 30 mm Stab durch ein 78 × 3 mm Rohr. Beide haben 706,86 mm² Stahlquerschnitt. Du musst also das gleiche Gewicht tragen und denselben Preis bezahlen. Das Flächenträgheitsmoment steigt um das 12,52-fache, was die Knicklast von 8,72 kN auf 109,18 kN anhebt. Die zwölffache Tragfähigkeit der Stütze ohne zusätzliche Kosten, einfach indem man das Metall nach außen verlegt, anstatt es durch besseres Material zu ersetzen. Das ist der ganze Trick. Deshalb ist die Antwort auf ein Knickproblem niemals eine bessere Legierung.

$P_{E}_{250} = P_{E}_{690} = 8.72 kN \Rightarrow \frac{I _{78 \times 3}}{I _{30}} = 12.52$

Lernpfad

Wohin die Last geht

Quellen (2)

Euler's own, and it is an appendix rather than the book. The critical load appears in the additamentum De curvis elasticis, which is where the elastica and this page's formula both start: L. Euler, Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, Additamentum I: De curvis elasticis. Lausanne and Geneva, 1744.
Where the five materials' stiffness and strength figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A standard materials-property handbook, e.g. the CRC Handbook of Chemistry and Physics or a structural-steel design code such as EN 1993-1-1 for steel and EN 338 for graded timber.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.