Torsion von Wellen: Voll- und Hohlwellen

Wähle eine Welle, ob voll oder hohl, und ihre Belastung: eine Leistung bei einer Drehzahl oder ein Drehmoment. Die Seite berechnet die Schubspannung, die Verdrehung und den Sicherheitsfaktor. Alternativ dimensioniert sie die kleinste Welle des gewählten Querschnitts, die ausreicht. Die Tabelle unter der Zeichnung übernimmt die Rechenarbeit.

Rechenbeispiel — Torsion von Wellen: Voll- und Hohlwellen

Winkelgeschwindigkeit	314,2 rad/s
Drehmoment	477,5 N·m
Innendurchmesser	72,39 mm
Polares Flächenträgheitsmoment	614.000 mm⁴
Maximale Schubspannung	29,63 MPa
Schubspannung an der Bohrung	28,15 MPa
Verdrehwinkel	0,835°
Verdrehung pro Meter	0,557°/m

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Torsion von Wellen: Voll- und Hohlwellen

Eine Welle, die ein Drehmoment T überträgt, steht unter Torsion. Die Schubspannung wächst proportional zum Radius, τ = T r ÷ J, und ist an der Oberfläche am größten. J ist das polare Flächenträgheitsmoment, J = π(D⁴ − dᵢ⁴) ÷ 32. Es legt fest, wie viel des Querschnitts weit von der Achse entfernt liegt. Die Welle verdreht sich um φ = T L ÷ (G J), wobei G der Schubmodul ist. Eine Welle, die sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω dreht, überträgt die Leistung P = T ω.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

T: das Drehmoment, in N·m. Aus einer Leistung und einer Drehzahl folgt T = P ÷ ω
J: das polare Flächenträgheitsmoment, in m⁴. Die vierte Potenz des Durchmessers ist der Grund, warum ein wenig mehr Durchmesser einen großen Unterschied macht
τ: die Schubspannung, null auf der Achse und am größten an der Oberfläche
φ: der Verdrehwinkel, in Radiant. Er ist proportional zur Länge
G: der Schubmodul, die Steifigkeit des Materials unter Schub. Etwa 80 GPa für Stahl und 26 GPa für Aluminium

Die Mitte einer Welle trägt fast nichts 🖖

Die Schubspannung in einer verdrehten Welle wächst proportional zum Abstand vom Zentrum. Sie ist null auf der Achse und am größten an der Oberfläche. Die innere Hälfte des Radius überträgt nur ein Sechzehntel des Drehmoments, beansprucht aber ein Viertel des Materials. Lass also die Mitte weg. Klick auf Hohlwelle dimensionieren: Für die gleichen 150 kW bei 3000 U/min braucht eine Vollwelle 32,30 mm. Eine Hohlwelle mit einer Bohrung von 80 % des Durchmessers braucht 38,50 mm. Dabei wiegt die Hohlwelle 51,2 % so viel. Das Diagramm zeigt den gesamten Verlauf. Bei gleichem Außendurchmesser erhält eine Bohrung von 80 % eine Torsionskapazität von 59,0 % bei 36,0 % der Masse. Die Kardanwelle eines Autos ist aus einem verwandten Grund ein breites, dünnes Rohr, was diese Seite nicht berechnet: Sie muss auch biegesteif sein. Bei ihrer Länge und Drehzahl würde sie sonst aufschwingen. Ein breites Rohr bietet die höchste Steifigkeit für sein Gewicht.

Lass eine Welle zehnmal schneller drehen und sie überträgt zehnmal so viel Leistung 🖖

Leistung ist Drehmoment mal Winkelgeschwindigkeit. Für eine Welle bestimmter Größe ist das Drehmoment durch die zulässige Spannung des Stahls begrenzt. Die übertragbare Leistung steigt also direkt proportional zur Drehzahl. Klick auf Kardanwelle, 3000 U/min und dann auf Gleiche Leistung, 300 U/min. Die gleichen 150 kW bei einem Zehntel der Drehzahl erfordern das zehnfache Drehmoment. Die Spannung klettert auf 296,29 MPa und der Sicherheitsfaktor fällt von 4,87 auf 0,49. Um die Spannung und den Auslegungsfaktor auf den Ursprungswert zurückzubringen, muss die Welle um die dritte Wurzel aus zehn dicker sein: 2,15-mal der Durchmesser. Die Schiffspropellerwelle bildet das Extrem. 20 MW bei 90 U/min werden auf einem massiven Stab von 650 mm übertragen, obwohl die Festigkeit allein schon 531 mm zulassen würde. Echte Wellen sind auch für Biegung, Ermüdung und Vibrationen ausgelegt. Das ist auch der Grund, warum die langsam drehende Abtriebswelle eines Untersetzungsgetriebes meistens die dickste darin ist.

Torsion ist Schub, und Schub ist Zug unter 45° 🖖

Jeder Punkt an der Oberfläche einer verdrehten Welle steht unter reinem Schub. Die Ergebnistabelle zeigt, was das unter 45° zur Achse bedeutet: eine Hauptspannung von +τ und eine von −τ, beide gleich groß. Folge dem Link unter der Tabelle, um diesen Zustand im Mohrschen Kreis zu betrachten. Dieselbe Tatsache entscheidet darüber, wo eine Welle bricht. Baustahl gibt wie jedes duktile Metall unter Schub quer zum Querschnitt nach. Ein sprödes Material wie Gusseisen versagt unter Zug entlang der 45°-Schraubenlinie. Wo Steifigkeit wichtiger ist als Festigkeit, kann das leichtere Metall gewinnen. Klick auf Alu, gleiche Steifigkeit und ein Stab von 52,98 mm Durchmesser verdreht sich für 60,3 % seiner Masse genauso stark wie der 40 mm Stahlstab.

Aufgabe vollständig gelöst

Dimensionierung einer Antriebswelle, voll und hohl 5 Schritte
Eine Stahlwelle soll 150 kW bei 3000 U/min mit einem Auslegungsfaktor von 2 übertragen. Der Stahl hat eine Zugfließgrenze von 250 MPa. Finde den kleinsten Volldurchmesser, den kleinsten Hohl-Außendurchmesser mit einer Bohrung von 80 % des Durchmessers und das Gewicht der Hohlwelle im Vergleich zur Vollwelle. Klick zur Kontrolle auf Hohlwelle dimensionieren.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Das Drehmoment ergibt sich aus der Leistung und der Winkelgeschwindigkeit:
  
  $T = \frac{P}{ω} = \frac{150 000}{2 π \cdot 3000/60} = 477.5 N m$
2. Die zulässige Schubspannung ist die Schubfließgrenze, also Zugfließgrenze ÷ √3, geteilt durch den Auslegungsfaktor:
  
  $τ_{allow} = \frac{σ _{y}}{3 n _{d}} = \frac{250}{3 \cdot 2} = 72.17 MPa$
3. Eine Vollwelle erreicht diese Spannung an ihrer Oberfläche, wenn:
  
  $d = 3 \frac{16 T}{π τ _{allow}} = 3 \frac{16 \cdot 477 . 5}{π \cdot 72 . 17 \times 1 0 ^{6}} = 32.30 mm$
4. Eine Hohlwelle mit einer Bohrung von 0,8 D besitzt 1 − 0,8⁴ des J-Wertes einer Vollwelle bei gleichem D. Ihr Außendurchmesser ist also der Volldurchmesser geteilt durch die dritte Wurzel aus 1 − 0,8⁴:
  
  $D = \frac{d}{3 1 - 0 . 8 ^{4}} = \frac{32 . 30}{3 0 . 5904} = 38.50 mm, d_{i} = 0.8 D = 30.80 mm$
5. Die Masse verhält sich proportional zur Querschnittsfläche, also ist das Verhältnis der beiden Massen:
  
  $\frac{m _{hollow}}{m _{solid}} = (1 - 0 . 8^{2}) (\frac{38 . 50}{32 . 30})^{2} = 0.36 \cdot 1.4208 = 51 . 2%$
Antwort

Die Vollwelle braucht 32,30 mm und die Hohlwelle 38,50 mm außen sowie 30,80 mm innen. Die Hohlwelle wiegt für exakt dieselbe Festigkeit 51,2 % so viel. Sie ist 19 % breiter. Das ist der Preis und der Grund, warum Hohlwellen überall dort auftauchen, wo Gewicht wichtiger ist als Bauraum.

$d = 32.30 mm, D = 38.50 mm, 51 . 2%$

Lernpfad

Wohin die Last geht

Quellen (1)

Where the four materials' modulus and yield figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A materials handbook or the relevant specifications: EN 10025 / ASTM A36 for mild steel, AISI 4140, 6061-T6 aluminium and Ti-6Al-4V.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.