Statisch unbestimmtes Fachwerk & der überzählige Stab

Häng eine Last an drei oder an zwei Stäbe. Wähl die Materialien und Querschnitte, erwärme einen Stab oder lass ein Auflager sich setzen. Erhöhe dann die Last, bis die Stäbe fließen. Die Tabelle unter der Zeichnung rechnet alles genau in der Reihenfolge vor, in der du es auch von Hand tun würdest.

Rechenbeispiel — Statisch unbestimmtes Fachwerk & der überzählige Stab

Grad der Unbestimmtheit	1
Steifigkeit mittlerer Stab	50,000 kN/mm
Steifigkeit äußere Stäbe	35,355 kN/mm
Knotensteifigkeit K_xx	35,355 kN/mm
Knotensteifigkeit K_xy	0,000 kN/mm
Knotensteifigkeit K_yy	85,355 kN/mm
Lastvektor R_x	0,000 kN
Lastvektor R_y	+150,000 kN

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Lektion

Die Theorie — Statisch unbestimmtes Fachwerk & der überzählige Stab

Ein Tragwerk ist statisch bestimmt, wenn die Gleichgewichtsbedingungen allein jede Kraft in ihm festlegen. Es ist statisch unbestimmt, wenn es mehr unbekannte Kräfte als Gleichungen aufweist. Der Überschuss bildet den Grad der statischen Unbestimmtheit, und jeder überschüssige Stab wird als überzählig bezeichnet. Die fehlenden Gleichungen stammen aus der Verträglichkeit: Die Stäbe sind miteinander verbunden, also müssen ihre Verformungen zu einer gemeinsamen Verschiebung des Knotens passen. Die Dehnung eines elastischen Stabs entspricht seiner Kraft geteilt durch seine Steifigkeit k = EA ÷ L, zuzüglich der reinen Wärmedehnung. Genau auf diese Weise fließen die Materialeigenschaften in eine Berechnung ein, welche die Statik allein nicht zu Ende führen könnte.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

k: die axiale Steifigkeit eines Stabs, EA ÷ L, in kN pro mm. Die Kraft, die nötig ist, um ihn um einen Millimeter zu dehnen
Δ: die Längsdehnung eines Stabs, in mm. Die Verträglichkeit formuliert eine Aussage über diese
N_y: die Fließkraft eines Stabs, seine Querschnittsfläche mal seine Fließspannung. Mehr trägt er nicht, egal wie weit er sich dehnt
P_y: die Last, bei der der erste Stab fließt. Sie hängt von den Steifigkeiten und von jeglichen Eigenspannungen ab
P_c: die Versagenslast, bei der auch die noch elastischen Stäbe fließen. Die Statik allein liefert sie

Versagt, wenn: Es wird angenommen, dass sich die Stäbe nach dem Fließen weiter dehnen. Baustahl tut dies bis zu einem Vielfachen seiner Fließdehnung. Erst das macht die Reserve im ersten Block überhaupt nutzbar. Ein Gusseisenstab oder jeder andere spröde Stab, der nahe dem ersten Fließen bricht, verteilt keine Kräfte um. Für ihn entspricht die Versagenslast der Last beim ersten Fließen, exakt wie im Zweistabsystem.

Nimm den mittleren Stab weg und das erste Fließen bedeutet sofortiges Versagen 🖖

Klick auf Stahl, drei Stäbe und erhöhe die Last. Der mittlere Stab erreicht seine Fließgrenze zuerst, bei 213,39 kN. Trotzdem stürzt nichts ein. Während er sich dehnt, trägt er weiterhin 125 kN. Die beiden äußeren Stäbe übernehmen jedes danach hinzugefügte Kilonewton, und das Fachwerk versagt erst bei 301,78 kN. Klick nun auf Mittelstab entfernt. Beide Stäbe erreichen die Fließgrenze gemeinsam bei 176,78 kN, und es gibt keinen dritten Stab, an den sie die Last abgeben könnten. Bei gleichen Stäben im 45°-Winkel ist die Versagenslast des Dreistabsystems exakt √2-mal so groß wie die Last beim ersten Fließen. Die Zeile für die Reserve zeigt dies als 1,414 an. Im Dreistabsystem ist ein fließender Stab eine Warnung. Im Zweistabsystem bedeutet er das Ende.

Ein warmer Nachmittag bringt 19,88 kN in ein Fachwerk, an dem gar nichts hängt 🖖

Klick auf Erwärmt, ohne Last. Das System ist unbelastet und der mittlere Stab ist 40 K wärmer als die anderen beiden. Wäre er frei, würde er sich um 0,960 mm ausdehnen. Die äußeren Stäbe lassen den Knotenpunkt aber nicht so weit absinken. Deshalb erfährt der mittlere Stab eine Druckkraft von 19,88 kN und jeder äußere Stab eine Zugkraft von 14,06 kN, bevor überhaupt etwas an das Fachwerk gehängt wurde. Klick dann auf Zwei Stäbe, einer warm: Die gleichen 40 K an einem Stab des Zweistabsystems. Jeder Stab trägt kalt wie warm 106,07 kN, bis auf die letzte Nachkommastelle identisch. Zwei Gleichungen haben diese beiden Kräfte bestimmt. In keiner davon taucht die Temperatur auf. Der Knotenpunkt verschiebt sich einfach. Das ist der Preis für die Reserve des ersten Blocks. Die Kräfte in einem statisch unbestimmten Tragwerk hängen von seinen Steifigkeiten, seiner Temperatur und der Setzung seiner Auflager ab. In einem statisch bestimmten Tragwerk hängen die Kräfte allein von der Last und der Geometrie ab. Zwei parallele Widerstände stoßen bereits auf dasselbe Hindernis: Die Erhaltungssätze besagen, dass sich ihre Ströme addieren. Wie sich der Strom aufteilt, bestimmen jedoch erst die Widerstände. Die Wheatstone-Brücke auf der Kirchhoff-Seite ist die Schaltung, bei der keine Reihen- oder Parallelschaltung mehr übrig bleibt, um das zu verbergen.

Wärme verschiebt das erste Fließen und lässt das Versagen unberührt 🖖

Behalte drei Stäbe und bewege den Temperaturregler. Kühlst du den mittleren Stab um 100 K ab, steht er bereits unter Zugspannung, bevor überhaupt eine Last anliegt. Er erreicht seine Fließgrenze also schon bei 128,54 kN. Erwärmst du ihn um 100 K, muss die äußere Last erst eine Druckkraft aufheben, bevor sie den Stab dehnen kann. Das erste Fließen verschiebt sich dadurch auf 298,24 kN. Die Versagenslast beträgt beide Male 301,78 kN, und zwar bei jeder Temperatur und Setzung, die die Regler zulassen, solange nichts anderes verändert wird. Unter einer vertikalen Last befinden sich beim Einsturz alle drei Stäbe an ihrer Fließgrenze, unabhängig davon, wie sie dorthin gelangt sind. Die Statik allein bestimmt die Last, die ihnen das Gleichgewicht hält. Eine Eigenspannung entscheidet darüber, wann der erste Stab fließt, und hat keinerlei Einfluss darauf, wann das Bauwerk einstürzt. Deshalb kann ein duktiler Stahlrahmen für den Kollaps bemessen werden, ohne dass jemand die Spannungen kennen muss, die durch Montage und Setzung in ihm verblieben sind. Dafür braucht es Stäbe, die sich nach Erreichen der Fließgrenze noch weit dehnen können. Ein spröder Stab, der beim ersten Fließen bricht, nimmt diese Reserve direkt mit.

Aufgabe vollständig gelöst

Drei Zugstäbe unter einer hängenden Last 7 Schritte
Eine Last von 150 kN hängt an drei Stahlstäben mit jeweils 500 mm² Querschnitt: Ein 2 m langer vertikaler Stab und zwei Stäbe im 45°-Winkel auf beiden Seiten davon, alle am selben Balken befestigt. Bestimme die Kraft in jedem Stab, die Last beim ersten Fließen sowie die Versagenslast des gesamten Systems. Nimm E = 200 GPa und eine Fließspannung von 250 MPa an. Klick auf Stahl, drei Stäbe, um jeden Wert zu prüfen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Zuerst die Statik. Durch die Symmetrie sind die beiden äußeren Kräfte gleich. Das horizontale Gleichgewicht ist somit von selbst erfüllt, und nur die vertikale Gleichung bleibt übrig. In ihr stecken zwei Unbekannte:
  
  $N_{c} + 2 N_{o} cos 4 5^{\circ} = 150 kN$
2. Die dritte Gleichung ist die Verträglichkeit. Lass den Knoten um v absinken. Der mittlere Stab dehnt sich um v, und jeder äußere Stab um den Anteil von v entlang seiner Längsachse:
  
  $Δ_{c} = v, Δ_{o} = v cos 4 5^{\circ}$
3. Die Steifigkeit jedes Stabs ist EA ÷ L. Die äußeren Stäbe sind √2-mal so lang, sie sind also weicher:
  
  $k_{c} = \frac{E A}{L} = \frac{200 \times 1 0 ^{9} \cdot 500 \times 1 0 ^{- 6}}{2} = 50.000 kN/mm, k_{o} = \frac{E A cos 4 5 ^{\circ}}{L} = 35.355 kN/mm$
4. Für die vertikale Steifigkeit des Knotens wird der mittlere Stab zum vertikalen Anteil der beiden äußeren Stäbe addiert. Daraus ergibt sich die Absenkung:
  
  $K_{y y} = k_{c} + 2 k_{o} cos^{2} 4 5^{\circ} = 50.000 + 35.355 = 85.355 kN/mm, v = \frac{150}{85 . 355} = 1.7574 mm$
5. Multipliziere jede Steifigkeit mit der Dehnung ihres Stabs. Die beiden Kräfte erfüllen die vertikale Gleichgewichtsbedingung, was als Probe dient:
  
  $N_{c} = 50.000 \cdot 1.7574 = 87.87 kN, N_{o} = 35.355 \cdot 1.7574 \cdot 0.7071 = 43.93 kN$
6. Jede Kraft ist proportional zur Last, solange die Stäbe elastisch bleiben. Der mittlere Stab erreicht seine Fließkraft von 500 mm² × 250 MPa = 125 kN zuerst. Skaliere also die Last, bis genau das eintritt:
  
  $P_{y} = 150 \cdot \frac{125}{87 . 87} = 213.39 kN$
7. Danach trägt der mittlere Stab 125 kN und die äußeren Stäbe nehmen den Rest auf, bis auch sie 125 kN erreichen. Da nun jede Kraft bekannt ist, liefert das vertikale Gleichgewicht die Versagenslast:
  
  $P_{c} = N_{y} + 2 N_{y} cos 4 5^{\circ} = 125 + 2 \cdot 125 \cdot 0.7071 = 301.78 kN$
Antwort

Die Stäbe tragen 87,87 kN in der Mitte und 43,93 kN in jedem äußeren Stab. Der mittlere Stab fließt zuerst bei 213,39 kN, und das System gibt erst bei 301,78 kN nach. Schau dir an, für welche Schritte die Steifigkeiten nötig waren. Die Aufteilung der 150 kN und die Last beim ersten Fließen brauchten sie, über die Schritte 2 bis 5. Die Versagenslast brauchte sie nicht: Schritt 7 ist die Gleichung aus Schritt 1, bei der jeder Stab seine Fließkraft erreicht hat, und E taucht darin nirgends auf.

$N_{c} = 87.87, N_{o} = 43.93, P_{y} = 213.39, P_{c} = 301.78 kN$

Lernpfad

Wohin die Last geht

Quellen (3)

The three-bar truss is the textbook's own first example of a problem statics cannot finish, and this page's closed form for it is the one check:compute asserts against the stiffness solution: S. Timoshenko, Strength of Materials, Part I: Elementary Theory and Problems, 3rd ed. D. Van Nostrand, New York, 1955. The chapter on statically indeterminate problems in tension and compression.
Insight 3 is the plastic theorems at work: a self-stress from heat or settlement moves the first yield and not the collapse load. A modern account of compatibility, the plastic theorems and why an elastic solution is fragile where a collapse load is not: J. Heyman, Basic Structural Theory. Cambridge University Press, 2008. DOI 10.1017/cbo9780511754487
Where the four materials' stiffness, yield and expansion figures would be checked. THEY WERE NOT TAKEN FROM HERE — see the note: A standard materials-property handbook, or a design code such as EN 1993-1-1 for structural steel and EN 1999-1-1 for aluminium.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.