Lineare Gleichungssysteme

Ändere einen beliebigen Koeffizienten und beobachte, wie sich beide Geraden bewegen. Die Lösung liegt in ihrem Schnittpunkt. Die Determinante unten sagt dir noch vor dem Rechnen, ob es genau diesen einen Schnittpunkt gibt.

Rechenbeispiel — Lineare Gleichungssysteme

Lösung	2
Determinante	-3
Schnittwinkel	71,565°
Verschiebung der Lösung	1,41 pro Einheit von a₁

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Lineare Gleichungssysteme264 Wörter

Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten beschreiben zwei Geraden. Sie zu lösen bedeutet, ihren Schnittpunkt zu finden. Wie gut dieser Punkt bestimmt ist, ist eine völlig andere Frage als die nach seiner Existenz. Dafür gibt es eine eigene Kennzahl.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

Δ: die Determinante a₁b₂ − a₂b₁. Null bedeutet parallel; ungleich null bedeutet genau ein Schnittpunkt.
κ: die Konditionszahl. Sie misst, wie stark sich das Ergebnis bei einer gegebenen Schwankung in den Koeffizienten verschieben kann. Anders als Δ ändert sie sich nicht, wenn du eine Gleichung mit 10 multiplizierst.

Setzt voraus: Dass die Koeffizienten exakt sind. Stammen sie aus einer Messung, erbt der Schnittpunkt ihre Unsicherheit und vervielfacht sie.
Versagt, wenn: Die Determinante sagt dir, ob es eine Lösung gibt. Sie verrät dir nicht, wie sehr du ihr vertrauen kannst, und das kann sie auch gar nicht. Wenn du nämlich eine Gleichung mit 10 skalierst, skaliert auch Δ mit 10, ohne dass sich an der Geometrie etwas ändert. Die Konditionszahl leistet das, was Δ nicht kann. Für die Voreinstellung Fast parallel auf dieser Seite liegt sie bei 312. Die Bedeutung kommt einem Freibrief gleich: Ein relativer Fehler von 0,1 % an einer beliebigen Stelle in den vier Koeffizienten kann sich im Schnittpunkt als Abweichung von rund 31 % niederschlagen. Das ist eine Schranke, die beim Bau einer Brücke niemand akzeptieren würde, und doch bleibt sie in der Determinante, in der Algebra und im Ergebnis selbst unsichtbar. Im nächsten Schritt begegnet dir dieselbe Kennzahl mit mehr Zeilen erneut. Dort entscheidet sie darüber, ob sich das Rechnen überhaupt noch lohnt.

Eine einzige Zahl entscheidet, ob es überhaupt einen Schnittpunkt gibt 🖖

Bevor du überhaupt etwas löst, berechne a₁b₂ − a₂b₁. Ist der Wert ungleich null, schneiden sich die Geraden genau einmal und du erhältst eine eindeutige Lösung. Ist er null, verlaufen sie parallel. Dann entscheiden allein die Konstanten, ob das keine Lösung bedeutet oder ob jeder Punkt auf der Geraden eine Lösung ist. Klick auf die drei Voreinstellungen und beobachte die Determinante: −3, dann 0, dann wieder 0 mit einem anderen Ergebnis. Dies ist dieselbe Determinante, die später auf der Seite die Matrizen-Werkzeuge steuert: Es geht um exakt die Frage, ob zwei Richtungen tatsächlich verschieden sind, gestellt im kleinsten Fall, in dem sie sich überhaupt stellen lässt.

Eine kleine Determinante ist kein kleines Problem 🖖

Klick auf Fast parallel. Die Determinante beträgt −0,02. Es gibt also einen Schnittpunkt, den die Algebra klaglos findet: (−146, 300). Schau dir jetzt die Empfindlichkeitsanzeige an. Eine Verschiebung von a₁ um 0,01 zieht diesen Schnittpunkt um etwa 108 mit sich. Das entspricht einer Rate von 10.767 pro Einheit. Mit der Rechnung selbst ist alles in Ordnung. Das Problem ist vielmehr, dass das Ergebnis weitaus stärker von den Koeffizienten abhängt, als diese es rechtfertigen. Stammen die Werte aus Messungen, ist die Lösung praktisch bedeutungslos. Zwei Geraden, die sich in einem flachen Winkel schneiden, haben einen vollkommen eindeutigen Schnittpunkt. Er ist nur leider vollkommen nutzlos, und kein Rechenschritt beim Lösen warnt dich davor. Das leistet nur die Determinante.

Die Elimination ist ein simpler Trick, zweimal angewandt 🖖

Die Rechenschritte unterhalb des Diagramms zeigen nie etwas grundsätzlich Neues. Man multipliziert eine Gleichung mit einer Zahl. Das ändert die Lösungsmenge nicht, da man diese Operation jederzeit umkehren kann. Man subtrahiert eine Gleichung von einer anderen. Auch das erhält alle Lösungen, denn jedes Zahlenpaar, das beide Gleichungen erfüllt, erfüllt auch deren Differenz. Das ist bereits das gesamte Verfahren. Zur Technik wird es erst durch die kluge Wahl der Faktoren. Ziel ist es, dass eine Unbekannte verschwindet. Diese Entscheidung erfordert keine Genialität, sondern bloßes Rechnen: Multipliziert man die erste Zeile mit b₂ und die zweite mit b₁, sind die y-Terme automatisch identisch. Wendet man dieselben beiden Schritte auf drei Unbekannte an, spricht man vom Gaußschen Eliminationsverfahren. Bei n Unbekannten ist es genau das, was jeder Computeralgorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme bis heute tut.

Aufgaben vollständig gelöst

Zwei Kaffee und ein Kuchen, die 8 kosten, wenn Kaffee 1 mehr kostet 7 Schritte
Zwei Kaffees und ein Kuchen kosten 8. Ein Kaffee minus ein Kuchen ergibt 1 (der Kaffee kostet 1 mehr als der Kuchen). Wie viel kosten sie jeweils? Und wie sehr würdest du der Antwort vertrauen, wenn die Preise von einer schwer lesbaren Quittung stammten?
1. Schreibe beide Aussagen mit denselben zwei Unbekannten auf. Diese beiden Gleichungen sauber aufzustellen, ist die eigentliche Modellierung. Alles danach ist reine Mechanik.
  
  $2 x + y = 8, x - y = 1$
2. Prüfe die Determinante vor dem Rechnen. Sie ist nicht null. Es gibt also genau eine Lösung, und die Suche danach lohnt sich.
  
  $D = (2) (- 1) - (1) (1) = - 3 \neq = 0$
3. Eliminiere y. Multipliziere die zweite Gleichung mit 1 und addiere sie. Du kannst auch die erste Gleichung mit −1 multiplizieren und subtrahieren. Die y-Terme sind bewusst so gewählt, dass sie wegfallen.
  
  $(2 x + y) + (x - y) = 8 + 1 \Rightarrow 3 x = 9$
4. 3 für den Kaffee. Setze diesen Wert in eine der Gleichungen ein, um den Kuchen zu berechnen. Nutze für die Probe jedoch die ANDERE Gleichung. Ein Einsetzen in die gerade verwendete Gleichung beweist gar nichts.
  
  $x = 3 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow 2 (3) + 2 = 8 ✓$
5. Kommen wir zurück zur Quittung. Nimm an, die zweite Gleichung wurde falsch abgetippt. Der Koeffizient des Kuchens ändert sich von −1 auf 0,49. Die Determinante fällt von −3 auf −0,02.
  
  $D = (2) (0.49) - (1) (1) = - 0.02$
6. Die Lösung ist nach wie vor eindeutig, hat sich aber auf (−146, 300) verschoben: Ein Kaffee kostet nun −146. Die Algebra hat sich zu keinem Zeitpunkt beschwert. Sie hatte auch gar keine Möglichkeit dazu.
  
  $(x, y) = (- 146, 300)$
7. Genau hier verlassen wir die Algebra. Mit einem negativen Preis zeigt dir die Arithmetik schlichtweg, dass das Modell falsch ist – nicht der Kaffee. Das Werkzeug liefert dir dieses Ergebnis völlig unbeeindruckt. Die Determinante hingegen warnt dich diskret im Voraus. Dem Rechenverfahren selbst ist nicht bewusst, dass Preise nicht negativ sein dürfen.
  
  $x < 0 \Rightarrow x \in / [0, \infty)$
Antwort

Kaffee 3, Kuchen 2. Die Determinante ist −3, es gibt also einen Schnittpunkt, und die Probe stimmt für beide Ausgangsgleichungen. Verschiebe einen Koeffizienten so, dass die Geraden fast parallel werden. Dieselbe Methode liefert dir ohne zu murren den Wert −146. Genau deshalb ist die Determinante es wert, vor dem Rechnen abgelesen zu werden, und nicht danach.
Zwei parallele Geraden, und wie nah sie einer Lösung kommen 6 Schritte
2x + y = 8 und 4x + 2y = 10. Die Determinante ist 0, was nicht sagt, welches der beiden Null-Determinanten-Urteile gilt. Rechne heraus, welches es ist, und entscheide dann, wie nah das System einer Lösbarkeit kommt.
1. Die Determinante ist null, es gibt also keinen einzelnen Schnittpunkt. Mehr kann sie nicht sagen: parallel und verschieden, und dieselbe Gerade zweimal geschrieben, geben beide null.
  
  $D = (2) (2) - (4) (1) = 0$
2. Eliminiere trotzdem, und die Antwort kommt. Skaliere die erste Gleichung mit 2, damit sie zur zweiten passt, subtrahiere, und was übrig bleibt, enthält keine Unbekannten mehr. Die Schritte unter dem Diagramm drucken es als 0x + 0y = 6, und 0 ist nicht 6.
  
  $4 x + 2 y = 16, 4 x + 2 y = 10 ⟹ 0 x + 0 y = 6$
3. Die Verhältnisse sagen dasselbe ganz ohne Rechnung. Die beiden linken Seiten stehen im Verhältnis 1 : 2 und die beiden Konstanten nicht, die Geraden teilen sich also eine Richtung und unterscheiden sich in der Lage.
  
  $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{1}{2} \neq = \frac{c _{1}}{c _{2}} = \frac{8}{10}$
4. Wie weit auseinander? Teile die zweite Gleichung durch 2, und beide Geraden tragen dieselbe linke Seite, der Abstand ist also eine Differenz von Konstanten geteilt durch die Länge des Koeffizientenpaars.
  
  $2 x + y = 8, 2 x + y = 5 : d = \frac{∣8 - 5∣}{2 ^{2} + 1 ^{2}} = \frac{3}{5} = 1.342$
5. Womit sich die Frage stellt, vor der das Werkzeug haltmacht. Wenn kein Punkt beide erfüllt, welcher kommt am nächsten? Minimiere die beiden quadrierten Residuen gemeinsam. Schreibt man u für 2x + y, so ist das zweite Residuum bei jedem u doppelt so groß wie das erste, es zählt also viermal so schwer, und das Minimum landet bei u = 5,6 statt in der Mitte bei 6,5.
  
  $u = 2 x + y : u min (u - 8)^{2} + 4 (u - 5)^{2} ⟹ 10 u = 56 ⟹ u = 5.6$
6. Das ist eine Warnung über die Methode der kleinsten Quadrate und nicht über diese beiden Geraden. Die Antwort hat sich verschoben, weil die zweite Gleichung mit größeren Zahlen geschrieben war, und nicht, weil sie das bessere Zeugnis wäre. Skaliere jede Gleichung so, dass ihr Koeffizientenpaar die Länge 1 hat, und der nächstgelegene Punkt sitzt genau in der Mitte, 0,671 von jeder Geraden entfernt.
  
  $\frac{2 x + y}{5} = \frac{8}{5}, \frac{5}{5} ⟹ u = 6.5, \frac{1}{2} (1.342) = 0.671$
Antwort

Keine Lösung, und die beiden Geraden liegen 1,342 auseinander. Die Determinante sagt, dass der Schnittpunkt weg ist; die Konstanten sagen, auf welche der beiden Arten er weg ist. Welcher Punkt beiden am nächsten kommt, hängt davon ab, wie die Gleichungen zufällig geschrieben sind: So wie gegeben, landet die Methode der kleinsten Quadrate auf 2x + y = 5,6, und erst nach Normierung beider setzt sie sich in der Mitte bei 6,5 fest.

$d = \frac{∣ c _{1} - c _{2} ∣}{a ^{2} + b ^{2}} = \frac{3}{5} = 1.342$

Lernpfad

Nach x auflösen, vom Minuszeichen aufwärts

Führt zu Drei oder mehr gleichzeitig das Eliminationsverfahren sowie die Determinante.

Quellen (1)

The paper that named the quantity, and worked out what it costs you: A. M. Turing, "Rounding-off Errors in Matrix Processes." The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics 1:1 (1948), 287–308.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-26

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Ein Schnittpunkt - 2x + y = 8 und x − y = 1 schneiden sich in (3, 2). Die Determinante ist −3 und liegt beruhigend weit von der Null entfernt. Verschiebst du einen Koeffizienten um 0,01, wandert der Schnittpunkt um etwa 1,4 pro Einheit.
Parallel: Keine Lösung - Die zweite Gleichung ist das Doppelte der ersten, mit Ausnahme der Konstanten. Die Determinante ist 0. Die Geraden treffen sich nie. Auch die beste Algebra findet keinen Punkt, den es nicht gibt.
Identische Geraden - Jetzt wurde auch die Konstante verdoppelt. Die zweite Gleichung liefert also keine neuen Informationen. Gleiche Determinante, dieselben parallelen Geraden, aber eine gegenteilige Schlussfolgerung: Jeder Punkt auf der Geraden ist eine Lösung.
Fast parallel - Eine Determinante von −0,02 statt 0. Es gibt weiterhin genau einen Schnittpunkt, und zwar bei (−146, 300). Eine kleine Verschiebung von a₁ um 0,01 zieht ihn jedoch um etwa 108 mit sich. Das ist eine Rate von 10.767 pro Einheit. Das Ergebnis ist rechnerisch einwandfrei und gleichzeitig völlig wertlos.