Lineare Gleichungen

Tippe einen Term an, um ihn auf beiden Seiten zu entfernen. Beobachte, wie sich die Gleichung dabei verändert. Der Streifen darunter zeigt die Lösungen der Gleichung in ihrer jetzigen Form. Ein zulässiger Schritt verschiebt diese niemals.

Rechenbeispiel — Lineare Gleichungen

Lösung	3
An der Originalgleichung geprüft	13 ✓
Durchgeführte Schritte	0
Lösungen der aktuellen Gleichung	3

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Lineare Gleichungen374 Wörter

Jede lineare Gleichung mit einer Unbekannten lässt sich durch zulässige Umformungen auf die einfache Form ax = b bringen, ganz gleich, wie sie aufgeschrieben ist. Dabei sind a und b bekannte Zahlen. Das gesamte Verhalten der Gleichung wird dann allein durch diese beiden bestimmt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

a: der Koeffizient der Unbekannten, nachdem du alle x-Terme auf einer Seite zusammengefasst hast. Es ist die Zahl, die darüber entscheidet, in welchem der drei unten stehenden Fälle du dich befindest.
b: die Konstante, also alles, was auf der anderen Seite verbleibt. Sie ist nur wichtig, wenn a gleich 0 ist.
x: die Unbekannte. Sie taucht nur in der ersten Potenz auf und kommt in keiner Funktion vor. Genau das bedeutet hier „linear“.

Woher die Formel kommt

Zusammenfassen: Bringe jeden Term mit x auf die eine Seite und jeden Term ohne x auf die andere. Beides sind Additionen. Daher sind beide Schritte immer umkehrbar.
Du hast nun ax = b. Ist a ≠ 0, teilst du durch diesen Wert. Es ergibt sich genau eine Lösung, x = b/a.
Ist a = 0, fällt die Unbekannte weg. Was bleibt, ist eine reine Zahlenaussage: falsch für b ≠ 0, wahr für b = 0. Das Paar (a, b) legt also fest, in welchem der drei Fälle du dich befindest, noch bevor das eigentliche Lösen überhaupt beginnt.

Setzt voraus: Dass a und b exakt sind. Wenn sie gemessen und nicht vorgegeben werden, ist ein Koeffizient nahe null eher eine Warnung als ein Wert: x = b/a teilt durch ihn, weshalb eine kleine Unsicherheit in a zu einer großen in x wird. Das ist dieselbe Schwierigkeit, auf die dieser Weg in Schritt 5 mit zwei Unbekannten erneut stößt. Dort übernimmt die Determinante die Rolle, die a hier spielt.
Versagt, wenn: Nirgends. Das ist der nützliche Teil. Eine Unbekannte lässt keinen vierten Fall zu: eine Lösung, keine oder alle. Welchen Fall du erhältst, entscheidet der Blick auf a und b, bevor du überhaupt etwas löst. Diese Vollständigkeit ist die Version der Rangbedingung für eine Unbekannte. Diese Bedingung steuert jedes lineare System, ganz gleich, wie viele Unbekannte es besitzt. Die Schritte 5 und 6 dieses Weges behandeln dieselbe Dreiteilung, nur mit mehr Buchstaben.

Zwei der vier Schaltflächen sind dieselbe Umformung 🖖

Subtrahierst du auf beiden Seiten 7, addierst du in Wirklichkeit −7. Teilst du durch 2, multiplizierst du mit einhalb. Das Bedienfeld zeigt dir vier Tasten, weil Menschen genau so denken. Im Hintergrund laufen jedoch nur zwei Rechenschritte ab: etwas addieren oder mit etwas multiplizieren. Die Addition ist dabei immer sicher, völlig egal, was du addierst. Die Multiplikation funktioniert ebenfalls für jede Zahl sicher, bis auf eine einzige Ausnahme. Diese Ausnahme ist keine bloße Formsache: Klick auf × mit dem Wert 0 und beobachte, was mit einer Gleichung passiert, die eben noch eine völlig klare Lösung hatte.

Die Multiplikation mit Null ist die nicht umkehrbare Umformung 🖖

Nimm x = 3 und multipliziere beide Seiten mit 0. Du erhältst 0 = 0. Das ist eine wahre Aussage. Sie gilt aber genauso für x = 5, x = −1 und jede erdenkliche andere Zahl. Damit sagt die Gleichung auf einmal überhaupt nichts mehr über x aus. Jeder andere Rechenschritt lässt sich umkehren. Addierst du 7 und subtrahierst danach 7, bist du wieder genau am Anfang. Genau diese Umkehrbarkeit ist die eigentliche Garantie hinter dem Prinzip „Auf beiden Seiten dasselbe tun“. Die Regel lautet nämlich nicht, dass beide Seiten übereinstimmen müssen. Sie verlangt, dass der Rechenschritt umkehrbar sein muss. Die Multiplikation mit null ist die einzige Grundrechenart, auf die das nicht zutrifft.

Nicht jede Gleichung hat eine Lösung, und auch das ist eine Information 🖖

Drücke Kein x ist Lösung. Subtrahiere 2x auf beiden Seiten von 2x + 5 = 2x + 9. Das x verschwindet und es bleibt 5 = 9. Nichts ist schiefgelaufen. Die Gleichung ist einfach falsch. Kein Wert für x kann sie noch retten. Drücke Jedes x ist Lösung und dasselbe passiert mit einem anderen Ende. Es bleibt 5 = 5. Das ist ohnehin immer wahr. Beides geschieht, wenn sich die x-Terme aufheben. Bei welchem Ergebnis man landet, hängt allein von den Konstanten ab. Die Aufgabe „Löse nach x auf“ hat also drei mögliche Ausgänge, nicht bloß einen. Ein Werkzeug, das immer nur eine Zahl ausgibt, verheimlicht zwei Drittel der möglichen Resultate.

Aufgaben vollständig gelöst

Taxis, die 4 plus 3 pro Meile und 10 plus 1 berechnen 7 Schritte
Ein Taxi verlangt 4 als Grundgebühr plus 3 pro Meile. Ein anderes nimmt 10 als Grundgebühr plus 1 pro Meile. Bei welcher Distanz kosten beide gleich viel, und wie reagiert die Algebra, wenn du die Frage leicht falsch stellst?
1. Schreibe beide Fahrpreise als Terme mit derselben Unbekannten. Diese Unbekannte muss in beiden Fällen exakt dasselbe bedeuten. Genau hier scheitern die meisten Textaufgaben, bevor die Algebra überhaupt losgeht.
  
  $4 + 3 x 10 + 1 x$
2. Die Terme gleichzusetzen, ist der gesamte Modellierungsschritt. Alles danach ist reine Mechanik.
  
  $4 + 3 x = 10 + x$
3. Fasse die x-Terme zusammen. Das Subtrahieren von x auf beiden Seiten ist erlaubt und umkehrbar. Die Lösungen bleiben also unberührt.
  
  $4 + 2 x = 10$
4. Fasse die Konstanten zusammen und teile durch das, was vor dem x stehen bleibt. Drei Meilen, und beide Fahrpreise kommen auf 13.
  
  $2 x = 6 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow 4 + 9 = 13 = 10 + 3$
5. Stelle die Aufgabe nun mit Absicht falsch. Nimm an, das zweite Unternehmen berechnet ebenfalls 3 pro Meile. Die x-Terme fallen weg und es bleibt 4 = 10. Das ist falsch. Es gibt also keine Distanz, bei der die Preise übereinstimmen. Ein Taxi ist schlicht immer um 6 teurer.
  
  $4 + 3 x = 10 + 3 x \Rightarrow 4 = 10 \Rightarrow \emptyset$
6. Und wenn die zweite Firma 3 pro Meile bei derselben Grundgebühr von 4 verlangt? Durch dasselbe Wegfallen bleibt 4 = 4 stehen. Das gilt für jede beliebige Distanz. Die beiden Fahrpreise sind einfach derselbe Tarif, der zweimal notiert wurde.
  
  $4 + 3 x = 4 + 3 x \Rightarrow 4 = 4 \Rightarrow x \in R$
7. Genau hier hört die Algebra auf und dein Urteilsvermögen ist gefragt. Alle drei Ergebnisse sind korrekte Antworten auf eine sauber gestellte Frage. Das Werkzeug gibt sie dir zuverlässig aus. Was es dir nicht verraten kann: Eine negative Lösung bedeutet, dass der Schnittpunkt schon vor Fahrbeginn lag. Eine angebrochene Meile lässt sich womöglich gar nicht abrechnen. Die Gleichung weiß nicht, was x ist.
  
  $x = - 2 \Rightarrow x \in / [0, \infty)$
Antwort

Drei Meilen, bei einem Preis von jeweils 13. Ändere einen Koeffizienten, und dieselbe Algebra liefert dir stattdessen "keine Distanz" oder "jede Distanz". Beides sind gültige Antworten und keine Fehler.
x auf beiden Seiten: 5x − 2 = 3x + 8 5 Schritte
Löse 5x − 2 = 3x + 8. Auf jeder Seite steht ein x. Du kannst also nichts ablesen, bevor sie nicht an einer Stelle zusammengefasst sind.
1. Fasse zuerst die x-Terme zusammen. Wenn du rechts 3x abziehst, musst du das auch links tun. Die Gleichung sagt danach immer noch dasselbe über x aus.
  
  $5 x - 2 = 3 x + 8 - 3 x$
2. Jetzt lautet die linke Seite 2x − 2. Addiere auf beiden Seiten 2, um die Zahl vom x zu trennen.
  
  $2 x - 2 = 8 + 2$
3. Zweimal x ergibt 10, also ist ein x genau 5.
  
  $2 x = 10 \div 2 ⟹ x = 5$
4. Überprüfe das in deiner Ausgangsgleichung, nicht in der letzten Zeile. Beide Seiten ergeben 23, also erfüllt x = 5 die ursprüngliche Gleichung.
  
  $5 (5) - 2 = 23, 3 (5) + 8 = 23$
5. Du musstest die Terme nicht zwingend auf der linken Seite sammeln. Ziehst du stattdessen 5x auf beiden Seiten ab, erhältst du −2 = −2x + 8. Das sieht anders aus, liefert aber dasselbe x = 5. Die Wahl der Seite ist dir überlassen, das Endergebnis nicht.
  
  $5 x - 2 = 3 x + 8 - 5 x ⟹ - 2 = - 2 x + 8 ⟹ 2 x = 10$
Antwort

x = 5, und beide Seiten ergeben 23. Die x-Terme auf der anderen Seite zu sammeln, ist nur ein optisch anderer Weg zur selben Zahl.
Wenn das Ergebnis negativ ist: 4x + 9 = x − 6 5 Schritte
Löse 4x + 9 = x − 6. Hier ist nichts ungewöhnlich, bis auf die letzte Zeile. Dort liegt das Ergebnis unter null.
1. Ziehe auf beiden Seiten x ab, um die x-Terme links zu sammeln.
  
  $4 x + 9 = x - 6 - x$
2. Ziehe auf beiden Seiten 9 ab, um die Zahl vom x zu trennen.
  
  $3 x + 9 = - 6 - 9$
3. Dreimal x ergibt −15, also ist ein x genau −5. Ein Minuszeichen im Ergebnis bedeutet nicht, dass etwas schiefgelaufen ist.
  
  $3 x = - 15 \div 3 ⟹ x = - 5$
4. Prüfe die Ausgangsgleichung: Die linke Seite ist −20 + 9 = −11 und die rechte Seite ist −5 − 6 = −11. Sie stimmen überein. −5 ist also tatsächlich die Lösung.
  
  $4 (- 5) + 9 = - 20 + 9 = - 11, (- 5) - 6 = - 11$
5. Ob −5 eine sinnvolle Antwort ist, hängt davon ab, wofür x steht. Als Temperatur ist es ein ganz normaler Dienstag; als Anzahl von Tickets ergibt es gar keinen Sinn. Die Gleichung erkennt diesen Unterschied nicht und wird dich nicht warnen.
  
  $x = - 5 \Rightarrow 5 tickets short of none$
Antwort

x = −5, wobei beide Seiten −11 ergeben. Eine negative Lösung ist eine korrekte Antwort für die Gleichung. Ob sie auch eine Antwort auf deine Frage ist, musst du jedoch selbst beurteilen.
Wenn das Ergebnis keine ganze Zahl ist: 6x + 1 = 2x + 4 5 Schritte
Löse 6x + 1 = 2x + 4. Es sind die gleichen drei Schritte wie zuvor, doch diesmal landen sie nicht bei einer ganzen Zahl.
1. Ziehe auf beiden Seiten 2x ab.
  
  $6 x + 1 = 2 x + 4 - 2 x$
2. Ziehe auf beiden Seiten 1 ab.
  
  $4 x + 1 = 4 - 1$
3. Viermal x ergibt 3. Ein x ist also 3 geteilt durch 4, was exakt 0,75 entspricht.
  
  $4 x = 3 \div 4 ⟹ x = \frac{3}{4} = 0.75$
4. Prüfe die Ausgangsgleichung: 6 × 0,75 + 1 = 5,5 und 2 × 0,75 + 4 = 5,5.
  
  $6 (0.75) + 1 = 5.5, 2 (0.75) + 4 = 5.5$
5. Drei Viertel gehen als Dezimalzahl exakt auf. Zwei Drittel nicht: Löse 3x + 1 = 3 und die Antwort lautet 2⁄3, was sich als Dezimalzahl niemals zu Ende schreiben lässt. Der Bruch ist die exakte Antwort, und 0,6667 ist nur eine Rundung davon.
  
  $3 x + 1 = 3 ⟹ x = \frac{2}{3} = 0.6667 \dots$
Antwort

x = 0,75 oder drei Viertel, wobei beide Seiten 5,5 ergeben. Brüche sind ganz normale Antworten. Wenn ein Bruch keine exakte Dezimalzahl besitzt, ist der Bruch die genaue Antwort und die Dezimalzahl nicht.
Klammern, zwei Lösungswege: 3(x + 4) = 24 4 Schritte
Löse 3(x + 4) = 24. Es gibt zwei erlaubte Wege, und sie machen nicht gleich viel Arbeit.
1. Die Klammer bedeutet dreimal (x + 4). Teile zuerst beide Seiten durch 3 und die Klammer verschwindet einfach. Es bleibt x + 4 = 8, also ist x = 4.
  
  $3 (x + 4) = 24 \div 3 ⟹ x + 4 = 8 ⟹ x = 4$
2. Oder du multiplizierst zuerst aus. Dreimal (x + 4) ist 3x + 12. Dann ziehst du auf beiden Seiten 12 ab und teilst durch 3. Du erhältst wieder x = 4.
  
  $3 (x + 4) = 3 x + 12 = 24 - 12 ⟹ 3 x = 12 ⟹ x = 4$
3. Überprüfe das Original: 3 × 4 + 12 = 24. Das Werkzeug erwartet Gleichungen in der Form ax + b = cx + d. Es verlangt also die ausmultiplizierte Zeile.
  
  $3 (4) + 12 = 24$
4. Zuerst zu dividieren war nur deshalb kürzer, weil sich 24 glatt durch 3 teilen lässt. Mach aus der 24 eine 25, und derselbe Weg liefert dir x + 4 = 25⁄3. Das ist immer noch richtig, aber nun der unschönere der beiden Wege.
  
  $3 (x + 4) = 25 ⟹ x + 4 = \frac{25}{3} ⟹ x = \frac{13}{3}$
Antwort

x = 4 auf beiden Wegen. Beide sind erlaubt. Wähle deinen Weg also mit Blick auf die Zahlen und nicht nach einer festen Regel.
Zwei Handytarife, die niemals das Gleiche kosten 4 Schritte
Tarif A kostet £8 pro Monat plus £2 pro Gigabyte. Tarif B kostet £12 pro Monat plus £2 pro Gigabyte. Bei wie vielen Gigabyte kosten sie gleich viel?
1. Schreibe jeden Preis mit x für die verbrauchten Gigabyte auf und setze sie dann gleich. Genau das bedeutet „kosten gleich viel“.
  
  $A : 2 x + 8 B : 2 x + 12$
2. Beide Seiten enthalten 2x. Ziehe also 2x auf beiden Seiten ab.
  
  $2 x + 8 = 2 x + 12 - 2 x$
3. Das x ist verschwunden und übrig bleibt 8 = 12. Das ist falsch. Kein Wert für x kann das jemals wahr machen. Die beiden Tarife kosten also niemals gleich viel.
  
  $8 = 12 — false, for every x$
4. Die nützliche Antwort ist diejenige, über die die Gleichung gestolpert ist: B ist für jedes beliebige x um £4 teurer als A. Die Tarife kreuzen sich nicht, weil sie gleich schnell ansteigen, und ihr Abstand bleibt konstant bei £4.
  
  $(2 x + 12) - (2 x + 8) = 4 at every x$
Antwort

Kein x funktioniert. Gleiche Gigabyte-Preise und unterschiedliche Grundgebühren bedeuten einen festen, dauerhaften Abstand. Hier sind es £4, egal, wie viel du nutzt.
Dasselbe Angebot, zweimal aufgeschrieben 4 Schritte
Ein Laden verlangt 2(x + 3). Ein anderer verlangt 2x + 6. Welcher ist günstiger, und bei wie vielen Büchern?
1. Multipliziere den ersten Term aus. Zweimal (x + 3) ergibt 2x + 6. Und genau das hat der andere Laden aufgeschrieben.
  
  $2 (x + 3) = 2 x + 6$
2. Setzt du sie gleich und ziehst auf beiden Seiten 2x ab, bleibt 6 = 6 übrig. Das ist wahr, und zwar völlig unabhängig von x.
  
  $2 x + 6 = 2 x + 6 - 2 x ⟹ 6 = 6$
3. Also funktioniert jede Zahl. Versuche es mit 0, 1, 7 oder −100: Beide Seiten stimmen jedes Mal überein.
  
  $x = 0, 1, 7, - 100 all true$
4. Der Unterschied zwischen den beiden Preisen ist nicht etwa klein. Er ist bei jedem x exakt null. Die beiden Läden haben ein und denselben Preis schlicht zweimal aufgeschrieben.
  
  $2 (x + 3) - (2 x + 6) = 0 identically$
Antwort

Jedes x funktioniert. Keiner von beiden ist also jemals günstiger. Wenn auf beiden Seiten verdeckt der gleiche Term steht, ist „löse nach x auf“ die falsche Frage. Die richtige lautet: „Unterscheiden sich diese beiden überhaupt?“.
Altersrätsel: Die Algebra ist leicht, das Aufstellen nicht 5 Schritte
Ben ist dreimal so alt wie Mia. In acht Jahren wird er doppelt so alt sein wie sie. Wie alt sind sie jetzt?
1. Nenne Mias jetziges Alter x. Dann ist Ben 3x. In acht Jahren ist Mia x + 8 und Ben 3x + 8.
  
  $Mia = x, Ben = 3 x$
2. „Doppelt so alt wie sie“ bedeutet doppelt so alt wie sie dann sein wird, nicht doppelt so alt wie heute. Genau diese eine Interpretation ist die eigentliche Schwierigkeit. Die Gleichung lautet 3x + 8 = 2(x + 8), was ausmultipliziert 3x + 8 = 2x + 16 ergibt.
  
  $3 x + 8 = 2 (x + 8) = 2 x + 16$
3. Ziehe auf beiden Seiten 2x ab und danach 8, dann erhältst du x = 8. Mia ist 8 und Ben ist 24.
  
  $3 x + 8 = 2 x + 16 - 2 x ⟹ x + 8 = 16 ⟹ x = 8$
4. Überprüfe die Geschichte, nicht nur die Algebra: In acht Jahren ist Mia 16 und Ben 32, und 32 ist tatsächlich das Doppelte von 16.
  
  $Mia 8 \to 16, Ben 24 \to 32, 32 = 2 \times 16$
5. Liest du den Satz andersherum, also als doppelt so alt wie sie heute ist, erhältst du 3x + 8 = 2x und damit x = −8. Die Algebra rechnet das gehorsam durch und liefert dir als Ergebnis ein Mädchen, das erst in acht Jahren geboren wird.
  
  $3 x + 8 = 2 x ⟹ x = - 8$
Antwort

Mia ist 8 und Ben ist 24; in acht Jahren sind sie 16 und 32. Drei Schritte in der Algebra und eine einzige Textzeile, die darüber entscheidet, ob das alles überhaupt einen Sinn ergibt.

Lernpfad

Nach x auflösen, vom Minuszeichen aufwärts

Führt zu Ungleichungen den Katalog der Äquivalenzumformungen.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-26

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

x auf beiden Seiten - 3x + 4 = x + 10. Subtrahiere x, subtrahiere 4, dividiere durch 2, und man erhält x = 3. Bei der Probe mit der Ausgangsgleichung ergeben beide Seiten 13.
Negative Lösung - 2x + 9 = 5x. Hier lautet die Lösung x = 3. Ändere d, und die Lösung wird negativ. Dabei geht nichts kaputt. Auch eine negative Lösung ist ein völlig normales Ergebnis, kein Fehler.
Jedes x ist Lösung - 2x + 5 = 2x + 5. Beide Seiten bestehen aus demselben Term. Deshalb erfüllt jedes x diese Gleichung. Es gibt schlichtweg nichts zu lösen. Die Frage nach „x = “ ist hier falsch gestellt.
Kein x ist Lösung - 2x + 5 = 2x + 9. Subtrahiert man 2x, bleibt 5 = 9 übrig. Kein x kann das noch retten. Diese Gleichung ist nicht schwierig. Sie ist schlichtweg falsch.