Ungleichungen

Tippe auf einen Term, um ihn auf beiden Seiten zu entfernen. Beobachte dabei den Zahlenstrahl. Die Lösung ist keine einzelne Zahl, sondern ein Bereich. Einer der Schritte kehrt das Ungleichheitszeichen um.

Rechenbeispiel — Ungleichungen

Grenze	4 (ausgeschlossen)

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Ungleichungen272 Wörter

Eine Ungleichung zu lösen heißt, die Menge aller Werte zu benennen, die sie erfüllen. Diese Menge wird von zwei getrennten Dingen bestimmt: wo die Grenze verläuft und ob der Randpunkt dazugehört.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

<: eine strenge Relation. Der Randwert ist ausgeschlossen und die Lösungsmenge ist an dieser Seite offen.
≤: eine nicht-strenge Relation. Der Randwert ist eingeschlossen und die Menge ist an dieser Seite abgeschlossen.
sup: das Supremum: der kleinste Wert, den kein Element der Menge überschreitet. Es existiert immer für eine nach oben beschränkte Menge, unabhängig davon, ob die Menge es enthält.

Setzt voraus: Dass die Grenze genau dort liegt, wo beide Seiten exakt gleich sind. Deshalb rechnest du beim Lösen einer Ungleichung genauso wie bei einer Gleichung. Die Relation selbst rechnet nicht. Sie wählt eine Seite aus und entscheidet über die Zugehörigkeit.
Versagt, wenn: Die Entscheidung zwischen streng und nicht-streng bestimmt etwas Weitreichenderes als nur die Zugehörigkeit: ob überhaupt ein größter Wert existiert. Bei x ≤ 5 lautet die größte Lösung 5, und du kannst sie als fertiges Ergebnis vorlegen. Bei x < 5 gibt es keine größte Lösung. Nenne einen beliebigen Kandidaten unter 5, und der Mittelwert zwischen ihm und 5 ist eine noch größere Zahl, die weiterhin in der Menge liegt. Das geht endlos so weiter. Die Menge hat mit 5 zwar immer noch eine kleinste obere Schranke, aber sie enthält diese schlichtweg nicht. Deshalb kann eine Optimierung unter einer strengen Nebenbedingung ohne Lösung bleiben, während dasselbe Problem mit ≤ eine hat. Und genau deshalb trägt eine Unterscheidung, die in der Schulaufgabe wie bloße Zeichensetzung wirkt, auf einmal die gesamte Last, sobald du etwas maximierst.

Ein Schritt dreht es um, und du weißt bereits warum 🖖

Jede Umformung, die bei einer Gleichung erlaubt ist, gilt auch hier. Auf beiden Seiten addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren: Alles ist zulässig und umkehrbar. Nichts davon ändert, welche Zahlen die Aussage erfüllen. Mit einer Ausnahme. Die Multiplikation mit etwas Negativem kehrt die Relation um. Das ergibt sich direkt aus der Zahlengeraden: −5 ist kleiner als −3, aber 5 ist größer als 3. Das Negieren spiegelt die Gerade an der Null, und eine Spiegelung vertauscht links und rechts. Klick auf Die Relation kippt und überspringe diesen Schritt im Kopf. Du erhältst x < −4 statt x > −4. Das ist genau die andere Hälfte der Geraden.

Die Lösung ist ein Bereich, und der Endpunkt ist eine Entscheidung 🖖

Eine Gleichung hat eine Lösung. Eine Ungleichung hat eine Menge davon. Sie zu lösen bedeutet also, zwei Dinge zu finden: eine Grenze und eine Seite. Die Grenze liegt dort, wo die beiden Ausdrücke exakt gleich sind, weshalb dieselbe Arithmetik funktioniert. Dann entscheidet das Relationszeichen, ob dieser einzelne Punkt dazugehört. Klicke auf Der Endpunkt zählt. Aus −4x ≥ 12 folgt x ≤ −3, und bei x = −3 ergeben beide Seiten 12. Da 12 ≥ 12 wahr ist, gehört −3 dazu. Ändert man das ≥ in ein >, wird der Punkt hohl, während sich sonst nichts bewegt. Ein einziger Punkt ist alles, was die beiden Symbole unterscheidet.

Der Schritt, der nicht zur Verfügung steht 🖖

Klick auf Mit x multiplizieren. Das Programm weigert sich. Eine Multiplikation mit einer negativen Zahl kehrt die Relation um, eine mit einer positiven Zahl nicht. Und genau dieses x hast du noch gar nicht gefunden. Es gibt nicht die eine, eindeutige Antwort. Darum lässt sich x/(x−2) > 1 nicht einfach durch beidseitige Multiplikation auflösen. Wer das dennoch versucht, bekommt ein Ergebnis, das auf der einen Seite von 2 richtig und auf der anderen falsch ist. Gleichungen verzeihen ein solches Vorgehen. Multiplizierst du eine Gleichung mit einer Unbekannten, entstehen lediglich zusätzliche Lösungen. Diese kannst du durch eine Probe leicht erkennen und verwerfen. Bei einer Ungleichung funktioniert das nicht auf die gleiche Weise. Die Lösung ist hier nämlich ein ganzer Bereich. Es gibt keine kurze Liste von Kandidaten, die du einzeln einsetzen und überprüfen kannst.

Aufgaben vollständig gelöst

Eine Lieferung für 5 plus 2 pro Kilometer bei einem Budget unter 20 7 Schritte
Eine Lieferung kostet 5 plus 2 pro Kilometer. Dein Budget liegt unter 20. Wie weit kommst du – und was passiert mit der Algebra, wenn die Kosten stattdessen als Rabatt angegeben werden?
1. Schreibe es als Ungleichung und nicht als Gleichung. Die Frage lautet schließlich nicht, welche Strecke exakt 20 kostet.
  
  $5 + 2 x < 20$
2. Subtrahiere auf beiden Seiten 5. Addieren und Subtrahieren ändern das Relationszeichen nie, ganz egal, welches Vorzeichen der Wert hat.
  
  $2 x < 15$
3. Teile durch 2. Die Zahl ist positiv, das Zeichen bleibt also wie es ist. Das Ergebnis ist ein nach oben offener Bereich.
  
  $x < 7.5$
4. Unter 7,5 Kilometern. Der Endpunkt ist ausgeschlossen, da das Budget strikt unter 20 lag. Bei genau 7,5 betragen die Kosten exakt 20. Das sprengt laut Formulierung das Budget, auch wenn es nur knapp ist.
  
  $5 + 2 (7.5) = 20 \neq < 20$
5. Nun zur Rabattversion. Nimm stattdessen an, jeder Kilometer zieht 2 von einem Guthaben von 20 ab, und du musst den Restbetrag über 5 halten.
  
  $20 - 2 x > 5$
6. Das Teilen durch −2 dreht das Relationszeichen um. Das Ergebnis ist derselbe Bereich wie zuvor. Das muss auch so sein, denn es ist exakt dieselbe Fahrt, nur vom anderen Ende her betrachtet. Hättest du das Umdrehen vergessen, wäre x > 7,5 herausgekommen. Das ist die unbezahlbare Seite der Grenze statt der bezahlbaren.
  
  $- 2 x > - 15 \Rightarrow x < 7.5$
7. Und hier hilft die Arithmetik nicht mehr weiter. Beide Formen liefern x < 7,5, und keine von beiden klärt, ob 7,5 selbst noch bezahlbar ist. Ob "unter 20" nun 19,99 oder 20 bedeutet, ist eine Vertragsfrage und keine Frage der Ungleichung. Das strenge Ungleichheitszeichen leistet hier eine Arbeit, die die Algebra nicht überprüfen kann.
  
  $x < 7.5 vs x \leq 7.5$
Antwort

Unter 7,5 Kilometern, wobei die 7,5 selbst ausgeschlossen ist. Wird dieselbe Fahrt stattdessen als Rabatt formuliert, erfordert sie eine Division durch −2 und damit das Umdrehen des Zeichens. Vergisst du das, landest du stattdessen auf der unbezahlbaren Seite.
Die Ungleichung, in der kein x mehr steht 6 Schritte
Diese Voreinstellung lautet 2x + 5 ≥ 2x + 5. Löse sie, und entscheide dann, ob eine Ungleichung, die ihr x verliert, keine Antwort hervorgebracht hat oder eine sehr große.
1. Subtrahiere 2x auf beiden Seiten. Dieselbe Größe zu beiden Seiten zu addieren erhält die Relation, was auch immer diese Größe ist, der Schritt ist also sicher, obwohl x darin vorkommt — was die Multiplikation mit x gerade nicht ist.
  
  $2 x + 5 \geq 2 x + 5 - 2 x$
2. Übrig bleibt 5 ≥ 5. Beide Seiten tragen nun den Koeffizienten null bei x, es gibt also nichts zu isolieren und nichts, wodurch man teilen könnte.
  
  $0 \cdot x + 5 \geq 5$
3. Die Grenzformel zeigt dieselbe Sperre arithmetisch. Das Lösen von ax + b ≥ cx + d liefert x = (d − b)/(a − c), hier also 0 ÷ 0. Das Feld druckt in der Grenzzeile einen Strich, weil es keine Grenze zu drucken gibt.
  
  $x = \frac{d - b}{a - c} = \frac{5 - 5}{2 - 2} = \frac{0}{0}$
4. 5 ≥ 5 ist wahr, und es ist wahr, ohne x zu erwähnen. Jede reelle Zahl erfüllt also die ursprüngliche Ungleichung, und die Lösungszeile sagt genau das.
  
  $5 \geq 5 is true and holds no x ⟹ every x is a solution$
5. Mach die Relation streng, und 5 > 5 ist falsch: nichts funktioniert. Schieb stattdessen die rechte Konstante auf 5,001, und die Aussage wird zu 0 ≥ 0,001, wieder falsch. Fast dieselben vier Zahlen, und die Lösungsmenge geht von der ganzen Geraden zu gar nichts.
  
  $2 x + 5 > 2 x + 5 \Rightarrow 5 > 5 false \Rightarrow \emptyset; 2 x + 5 \geq 2 x + 5.001 \Rightarrow 0 \geq 0.001 false \Rightarrow \emptyset$
6. Dieser Sprung sieht wie eine Unstetigkeit aus und ist keine. Halte die rechte Seite bei 5,001 und lass die beiden x-Koeffizienten sich um ε unterscheiden, statt übereinzustimmen. Die Grenze sitzt dann bei 0,001/ε: bei ε = 0,1 lautet die Antwort x ≥ 0,01, bei ε = 0,001 ist es x ≥ 1, bei ε = 0,0001 ist es x ≥ 10. Der Halbstrahl zieht sich ins Unendliche zurück, während ε schließt, und das ist die leere Menge in Zeitlupe.
  
  $a - c = ε, d - b = 0.001 : x \geq \frac{0.001}{ε} : ε = 0.1 \Rightarrow x \geq 0.01, 0.001 \Rightarrow x \geq 1, 0.0001 \Rightarrow x \geq 10$
Antwort

Jedes x. Die leere Antwort ist ihr Zwilling und nicht ihr Gegenteil: Stimmen die beiden x-Koeffizienten überein, fällt der x-Term weg und die beiden Konstanten entscheiden allein, die Aussage ist also entweder wahr und jede Zahl löst sie, oder falsch und keine tut es. Keiner der beiden Fälle hat eine Grenze, weshalb die Grenzzeile in beiden leer bleibt und die Lösungszeile die einzige ist, die sich zu lesen lohnt. Die Wahl zwischen streng und nicht streng, die bei jeder anderen Voreinstellung einen einzigen Punkt verschiebt, verschiebt bei dieser die ganze Zahlengerade.

$a \neq = c : x ≷ \frac{d - b}{a - c}; a = c : the constants alone decide, and the answer is R or \emptyset$

Lernpfad

Nach x auflösen, vom Minuszeichen aufwärts

Führt zu Formeln umstellen die Ausnahme und damit einhergehend eine wichtige Prüfung.

Quellen (1)

Where the guarantee comes from that a least upper bound always exists, even when no largest member does: R. Dedekind, Stetigkeit und irrationale Zahlen. Vieweg, Braunschweig, 1872.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-26

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Beispielaufgaben

Nichts dreht sich - 3x − 5 > 7 wird ohne Überraschungen zu x > 4: Addiere 5, dividiere durch 3. Weil 3 positiv ist, dreht sich nichts um. Der Endpunkt 4 ist hohl, weil x = 4 genau 7 ergibt und 7 nicht größer als 7 ist.
Relation dreht sich - −2x + 1 < 9 wird zu x > −4. Die Division durch −2 hat das < in ein > verwandelt. Überspringt man diesen Schritt, erhält man x < −4, was genau der falschen Hälfte des Strahls entspricht.
Der Endpunkt zählt - −4x ≥ 12 ergibt x ≤ −3, und hier ist der Endpunkt ausgefüllt. Bei x = −3 ergeben beide Seiten 12. Weil 12 ≥ 12 wahr ist, gehört −3 zur Lösung. Dieser ausgefüllte Punkt ist der einzige Unterschied zwischen ≥ und >.
Immer wahr - 2x + 5 ≥ 2x + 5 ist auf beiden Seiten derselbe Ausdruck. Die x-Terme heben sich auf und es bleibt 5 ≥ 5, was unabhängig von x wahr ist. Der Strahl ist durchgehend schattiert.