Fachwerkanalyse & das Knotenpunktverfahren

Wähle eine Fachwerkart, eine Spannweite, eine Höhe und die Position der Last. Die Seite berechnet jeden Stab mit dem Knotenpunktverfahren, markiert die Nullstäbe und zeigt dir, was dieselbe Brücke mit umgekehrten Diagonalen machen würde.

Rechenbeispiel — Fachwerkanalyse & das Knotenpunktverfahren

Auflagerkraft am Loslager	60,00 kN
Auflagerkraft am Festlager	60,00 kN
Erste Unbekannte am Knoten L0: L0–U0	-69,97 kN
Zweite Unbekannte dort: L0–L1	+36,00 kN
Größte Zugkraft, in L2–L3, L3–L4	+180,00 kN
Größte Druckkraft, in U2–U3	-216,00 kN
Nullstäbe	0
Stäbe + Auflagerreaktionen − 2 × Knoten	0

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Fachwerkanalyse & das Knotenpunktverfahren

Ein Fachwerk ist ein Rahmen aus geraden Stäben, die an ihren Enden verbunden sind und nur an diesen Knotenpunkten belastet werden. Idealisiere die Knoten als reibungsfreie Gelenke. Jeder Stab kann dann nur eine Kraft entlang seiner eigenen Längsachse aufnehmen, nämlich Zug beim Ziehen und Druck beim Drücken. Biegung tritt nirgends auf. Genau das macht das Ganze rechnerisch lösbar. An jedem Knoten müssen sich die Kräfte in zwei Richtungen zu null addieren. Das liefert 2j Gleichungen für m Stabkräfte und r Auflagerkräfte. Wenn m + r = 2j gilt, ist das Fachwerk statisch bestimmt. Das Gleichgewicht allein legt jede Kraft fest, ohne dass Material, Steifigkeit oder Querschnitt eine Rolle spielen. Das Knotenpunktverfahren löst diese Gleichungen für einen Knoten nach dem anderen, beginnend dort, wo nur zwei Unbekannte aufeinandertreffen.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

m: die Anzahl der Stäbe. Jeder trägt eine einzige unbekannte Kraft entlang seiner eigenen Achse
j: die Anzahl der Knoten. Jeder liefert zwei Gleichungen, eine für jede Richtung, also ist das Ziel 2j
r: die Anzahl der Auflagerreaktionen. Hier gibt es drei, zwei am Festlager und eine am Loslager
F: die Kraft in einem Stab in Kilonewton. Positiv bedeutet auf dieser gesamten Seite Zug, das Vorzeichen ist also die halbe Antwort
θ: der Winkel, den eine Diagonale mit dem Untergurt bildet. Das ist die einzige Trigonometrie in diesem Verfahren

Setzt voraus: Gelenkige Knoten, gerade Stäbe und Lasten, die nur an den Knoten angreifen. Jede dieser Annahmen ist eine Idealisierung, die eine echte Brücke bricht. Die Knotenbleche sind geschraubt oder geschweißt und übertragen durchaus etwas Biegung. Die Stäbe haben ein Eigengewicht, das nicht an einem Knoten angreift. Eine Fahrbahn verteilt ihre Last entlang des Gurtes, anstatt sie nur auf einen Knoten zu leiten. Bei einem gut proportionierten Fachwerk fallen alle drei Effekte gering aus. Deshalb hat diese Idealisierung anderthalb Jahrhunderte überdauert, in denen Bauwerke entstanden, die standhielten. Die Berechnung geht außerdem davon aus, dass sich das Fachwerk nicht bewegt. Jede Kraft hier entspricht dem, was das Gleichgewicht erfordert. Nichts auf dieser Seite verrät, ob sich die Brücke in einem akzeptablen Rahmen durchbiegen würde.
Versagt, wenn: In dem Moment, in dem m + r nicht mehr gleich 2j ist. Füge einen weiteren Stab hinzu, und das Gleichgewicht reicht nicht mehr aus. Die Kräfte hängen dann davon ab, wie steif jeder Stab ist, also von Material und Querschnitt. Das gesamte Verfahren auf dieser Seite funktioniert dann nicht mehr. Das ist dieselbe Wand, gegen die die Kirchhoffschen Regeln stoßen, wenn sich eine Brückenschaltung nicht reduzieren lässt. Die Antwort ist ebenfalls dieselbe: mehr Gleichungen aus einer anderen Quelle als dem Gleichgewicht. In die andere Richtung bricht es ebenso zusammen. Nimm einen Stab weg, und der Rahmen wird zu einem Mechanismus, der zusammenklappt, anstatt eine Struktur zu bilden. Die Zeile für die statische Bestimmtheit wird negativ. Die Gelenk-Idealisierung selbst bricht dort zusammen, wo die Stäbe gedrungen sind und der Knoten steif genug ist, um echte Biegung in sie zu zwingen.

Drei dieser Stäbe tragen nichts, und du kannst sie sofort benennen 🖖

Klick auf Gleiche Spanne, Pratt. Drei Stäbe zeigen exakt null an: L1–U1, L3–U3 und L5–U5. Für keinen von ihnen hast du den Rechner gebraucht. Schau dir Knoten U3 an. Zwei Obergurte auf einer geraden Linie und der Vertikalstab. Nichts anderes zieht an diesem Knoten. Keine Kraft kann einen Zug in der Vertikalen ausgleichen, also gibt es keinen. Das gilt unabhängig von der Last und ihrer Position. Bei den anderen beiden wendest du dasselbe Argument an ihren unteren Knoten an. Das Tool berechnet dies auf zwei völlig getrennten Wegen, einmal aus den gelösten Kräften und einmal nur aus der Zeichnung, ganz ohne Rechnen. Diese zwei Antworten stimmten bei 23.814 verschiedenen Fachwerken und Belastungen überein. Die Stäbe sind nicht überflüssig. Ein Stab, der heute nichts trägt, hält einen belasteten Stab gerade. Das ist das Thema der nächsten Lektion.

Spiegle die Diagonalen und die langen Stäbe wechseln ihr Vorzeichen 🖖

Klick auf Gleiche Spanne, Pratt und dann auf Diagonalen gespiegelt. Identische Knoten, identische Anzahl an Stäben, identische Last. Im Pratt-Fachwerk stehen die vier inneren Diagonalen mit jeweils 7,81 m Länge unter Zug bei +93,72 kN. Die kurzen Vertikalen von 5 m nehmen den Druck oder gar nichts auf. Spiegle sie, und dieselben vier stehen unter Druck bei −93,72 kN, während jede Vertikale auf Zug belastet wird. Die beiden Enddiagonalen stehen in jedem Fall unter Druck, weil sie die Auflagerkraft direkt nach oben in das Fachwerk leiten. Nichts kann das ändern. Der Betrag hat sich nie verändert, nur das Vorzeichen. Das ist wichtig. Ein langer Druckstab knickt bei einer Last aus, die nichts mit der Festigkeit seines Stahls zu tun hat. Einem langen Zugstab ist seine Länge völlig egal. Deshalb ist eine stählerne Eisenbahnbrücke fast immer ein Pratt-Fachwerk. Eine Holzbrücke, bei der die Verbindungen Druckkräfte besser aufnehmen, ist oft ein Howe-Fachwerk.

Derselbe Tausch verschiebt 72 kN zwischen den beiden Gurten 🖖

Er verändert auch die Gurte, und der Grund dafür ist es wert, nachvollzogen zu werden. Im Pratt-Fachwerk trägt der Untergurt +144,00 kN und der Obergurt −216,00 kN. Im Howe-Fachwerk tauschen diese zu +216,00 und −144,00. Schneide das Fachwerk zwischen dem dritten und vierten Knotenpunkt durch. Drei Stäbe kreuzen den Schnitt: ein Gurt, ein Gurt und eine Diagonale. Bilde die Momente um den Punkt, an dem sich die anderen beiden treffen. Dadurch lässt sich eine Gurtkraft direkt berechnen. Im Pratt verläuft die Diagonale von U2 hinab zu L3, sie trifft den Obergurt also bei U2, zwölf Meter vom Auflager entfernt. Spiegle sie, und sie verläuft von L2 hinauf zu U3, wo sie den Obergurt bei U3 in achtzehn Metern Entfernung trifft. Gleiche Auflagerkraft, gleiche Höhe, ein Hebelarm von 12 m gegen einen von 18 m. Das ergibt 60 × 12 ÷ 5 = 144 gegenüber 60 × 18 ÷ 5 = 216.

Aufgabe vollständig gelöst

Den ersten Knoten von Hand lösen und dann fünf davon überspringen 6 Schritte
Ein 36 m langes Pratt-Fachwerk, 5 m hoch, sechs Felder, mit 120 kN in der Feldmitte. Finde die Kraft in den beiden Stäben, die sich am linken Auflager treffen. Bestimme dann die Kraft im Untergurt in der Feldmitte, ohne die vier dazwischenliegenden Knoten zu lösen. Klick auf Gleiche Spanne, Pratt, um das Vorgehen nachzuvollziehen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die Last befindet sich in der Feldmitte, also teilen sich die beiden Auflagerkräfte diese gleichmäßig. Die Fachwerkart spielt in diesem Schritt keine Rolle.
  
  $R_{A} = R_{B} = \frac{120}{2} = 60 kN$
2. Beginne am Knoten L0. Das ist der einzige Knoten im Fachwerk mit nur zwei unbekannten Stäben. Überall sonst gibt es drei, dort findet das Verfahren keinen Ansatz. Die Diagonale steigt um 5 m auf einer Länge von 6 m, also gilt sin θ = 0,6402 und cos θ = 0,7682.
  
  $sin θ = \frac{5}{6 ^{2} + 5 ^{2}} = 0.6402, cos θ = \frac{6}{6 ^{2} + 5 ^{2}} = 0.7682$
3. Das vertikale Gleichgewicht am Knoten L0 umfasst nur die Auflagerkraft und die Diagonale. Der Untergurt verläuft horizontal und kann hier nicht helfen.
  
  $Σ F_{y} = 0 : 60 + F_{1} sin θ = 0$
4. Das Vorzeichen ist die Antwort. Negativ bedeutet, dass der Stab gegen den Knoten drückt. L0–U1 steht also unter Druck bei 93,72 kN.
  
  $F_{1} = - \frac{60}{0 . 6402} = - 93.72 kN$
5. Betrachte nun das horizontale Gleichgewicht an demselben Knoten, bei bekannter Kraft in der Diagonalen. Der Untergurt liefert einen positiven Wert, was Zug bedeutet.
  
  $Σ F_{x} = 0 : F_{2} + F_{1} cos θ = 0 \Rightarrow F_{2} = 93.72 \cdot 0.7682 = + 72.00 kN$
6. Du könntest das noch elfmal wiederholen. Schneide stattdessen das Fachwerk zwischen dem dritten und vierten Knotenpunkt durch und bilde die Momente um U2, wo sich die beiden Stäbe treffen, die du nicht suchst. Der Untergurt lässt sich in einer einzigen Zeile berechnen, und die vier Knoten dazwischen musstest du nie lösen.
  
  $Σ M_{U_{2}} = 0 : 60 \cdot 12 = F_{L_{2} L_{3}} \cdot 5 \Rightarrow F_{L_{2} L_{3}} = + 144.00 kN$
Antwort

L0–U1 mit −93,72 kN und L0–L1 mit +72,00 kN, sowie der Untergurt in der Feldmitte mit +144,00 kN aus einer einzigen Momentengleichung. Die beiden Verfahren sind keine Konkurrenten. Das Knotenpunktverfahren ist systematisch und liefert dir alles. Das Rittersche Schnittverfahren liefert dir einen speziellen Stab und erledigt das in einer Zeile. Ein Ingenieur, der eine Brücke dimensioniert, sucht nach einem ganz bestimmten Stab, nämlich dem kritischsten, und wählt deshalb einen Schnitt. Der letzte Schritt zeigt auch, woher die 144 kommt. Es sind 60 kN Auflagerkraft mit einem zwölf Meter langen Hebel, geteilt durch die fünf Meter Höhe. Halbiere die Höhe und der Wert verdoppelt sich. Genau das zeigt die flachere Vorlage auf dieser Seite und ist der Grund, warum eine lange Brücke hoch gebaut wird.

$F_{1} = - 93.72, F_{2} = + 72.00, F_{L_{2} L_{3}} = \frac{60 \cdot 12}{5} = + 144.00 kN$

Lernpfad

Wohin die Last geht

Quellen (2)

Where the counting rule on this page comes from. Maxwell gives the condition a frame must satisfy for equilibrium alone to fix every force — the m + r = 2j the results table prints as a row: J. Clerk Maxwell, "On the calculation of the equilibrium and stiffness of frames." The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 27(182), 1864, pp. 294-299. DOI 10.1080/14786446408643668
A standard statics text for the method of joints and the zero-force member rules the page claims a reader can apply by eye. R. C. Hibbeler, Engineering Mechanics: Statics, 14th ed. Pearson, 2016. ISBN 978-0-13-391892-6.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.