Bögen, Seile & die Stützlinie

Zwei Tragwerke, die Lasten auf die gleiche Weise abtragen: eines unter reinem Zug, das andere unter reinem Druck. Häng ein Seil auf und bestimme seine Last, oder baue einen Steinbogen und suche nach einer Stützlinie, die darin verbleibt. Die Tabelle unter der Zeichnung rechnet jeden Wert aus.

Rechenbeispiel — Bögen, Seile & die Stützlinie

Fahrbahnlast	128,00 MN
Seilgewicht	52,86 MN
Horizontalzug, Parabelnäherung	200,50 MN
Horizontalzug H	201,44 MN
Vertikale Auflagerkraft	90,43 MN
Zugkraft an den Auflagern	220,80 MN
Seillänge	1.321,48 m
Anteil der Fahrbahn an Last	70,8%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Bögen, Seile & die Stützlinie

Die Stützlinie ist der Weg, den die Druckkraft durch einen Bogen nimmt: an jeder Fuge zwischen den Steinen jener Punkt, an dem die Resultierende aller darüber liegenden Kräfte diese Fuge kreuzt. Ein Bogen aus Blöcken, die keinen Zug aufnehmen können, steht, solange irgendeine Stützlinie vollständig innerhalb des Mauerwerks verläuft. Das ist Jacques Heymans Sicherheitstheorem, und jeder Punkt, an dem die Linie eine Außenfläche berührt, ist ein potenzielles Gelenk. Ein Seil ist exakt dasselbe unter Zug. Seine Form entspricht der Seillinie seiner Last: eine Parabel für eine gleichmäßig über die Spannweite verteilte Last, eine Kettenlinie für eine gleichmäßig entlang des Seils selbst verteilte Last.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

H: der Horizontalschub, in kN pro Meter Breite für den Bogen und in kN für das Seil. In jedem Querschnitt gleich, da nichts zur Seite schiebt
t: die Dicke des Bogens. Die Seite sucht die kleinste, die noch eine Stützlinie aufnehmen kann
R: der Radius einer kreisförmigen Mittellinie. Bei einem Halbkreis ist t ÷ R jene Zahl, die du mit Milankovićs 0,1075 vergleichst
w_d: eine Last pro Meter Spannweite, wie eine Fahrbahn. Allein für sich lässt sie ein Seil als Parabel hängen
w_c: eine Last pro Meter Seil, wie sein Eigengewicht. Allein für sich lässt sie ein Seil als Kettenlinie hängen

Setzt voraus: Die Steine können keinen Zug über eine Fuge hinweg aufnehmen, sind auf Druck stark genug, um niemals zerdrückt zu werden, und können nicht aufeinander gleiten. Das sind Heymans drei Annahmen, und die zweite Erkenntnis hier prüft die mittlere davon. Die Seite behandelt außerdem jeden Stein als starr und lässt den Bogen nur sein eigenes Gewicht tragen. Das Seil besitzt keinerlei Biegesteifigkeit, und seine Auflager liegen auf gleicher Höhe.

Die Fahrbahn, nicht das Seil, bestimmt, in welcher Kurve das Seil hängt 🖖

Klick auf Seil wie Golden Gate. Bei einem Durchhang von 143 m hängt es 164,7 mm von einer Parabel und 407,7 mm von einer Kettenlinie entfernt. Klick auf Seil, ohne Fahrbahn, und dasselbe Seil liegt auf der Kettenlinie. Trägt eine Kette nur sich selbst, verteilt sich ihre Last entlang der eigenen Länge. Wo sie steiler verläuft, wiegt sie pro Meter Spannweite mehr. Das formt eine Kettenlinie. Eine daran hängende Fahrbahn verteilt sich gleichmäßig über die Spannweite, was eine Parabel erzeugt. Galilei zeichnete Parabeln mithilfe einer hängenden Kette. Diese nähert eine Parabel jedoch nur an. Die Seite über Hyperbelfunktionen erzählt diese Geschichte; die Hängebrücke ist der Fall, bei dem die Parabel besser passt. Bei diesem Durchhang liegen die beiden Kurven nur 572,4 mm auseinander. Das sind 0,40 %. Darum zeigt das obere Feld nur eine Linie, während das untere die Abstände in Millimetern aufträgt. Erhöhe den Durchhang auf die halbe Spannweite, und sie liegen 5 % auseinander.

Ein dünner Bogen stürzt ein, während sein Stein kaum belastet ist 🖖

Klick auf Halbkreis, t/R 0,12. Eine Stützlinie passt in den Stein, und jeder Kämpfer trägt die 94,25 kN pro Meter Breite seines Halbbogens geradewegs hinab auf 0,6 m Stein. Das macht im Durchschnitt 0,16 MPa. Ein winziger Bruchteil dessen, was Bausteine an Druck aushalten. Klick auf Halbkreis, t/R 0,09, und keine einzige Stützlinie passt mehr hinein. Der Bogen öffnet Gelenke am Scheitel, in den Flanken und an den Kämpfern. Er klappt zusammen, ohne dass ein einziger Stein zerdrückt wird. Ein Bogen steht oder fällt mit seiner Geometrie. Bei den voreingestellten 40 Keilsteinen legt diese Seite den Grenzwert des Halbkreises auf t/R = 0,1075. Das ist jener Wert, den Milutin Milanković in seinen Arbeiten zur Stützlinie herleitete. Diese erschienen zwischen 1904 und 1910, also Jahre vor der Orbitaltheorie der Eiszeiten, die seinen Namen trägt. Die Druckfestigkeit spielt hier keine Rolle. Ein zehnmal stärkerer Stein stürzt bei derselben Dicke ein.

Dreh eine Hängekette um, und der Bogen braucht fast keine Dicke 🖖

Klick auf Dünner Kettenbogen: 0,1 m Stein über eine Spannweite von 10 m, und er steht. Danach auf Dünner Parabelbogen. Gleiche Spannweite, gleiche Stichhöhe, gleiche Dicke, und nichts passt. Die Kettenlinie funktioniert, weil eine unter ihrem eigenen Gewicht hängende Kette über ihre gesamte Länge reinem Zug ausgesetzt ist. Drehst du sie um, verwandelt sich jede Kraft in Druck entlang derselben Linie. Die Stützlinie einer umgekehrten Kettenlinie verläuft exakt in der Mitte ihres eigenen Steins. Sie benötigt also keinerlei Dicke, um sie aufzunehmen. Robert Hooke erkannte das im Jahr 1675 und versteckte es in einem Anagramm: Wie das flexible Seil hängt, so steht, aber umgekehrt, der starre Bogen. Gaudí entwarf die Kirche der Colònia Güell, von der nur die Krypta gebaut wurde, mithilfe von Schnüren und kleinen, mit Bleischrot gefüllten Säckchen. Er hängte sie an ein Brett und drehte die Fotografien davon auf den Kopf. Die Vergleichstabelle listet alle vier Formen auf. Bei einer Stichhöhe der halben Spannweite entspricht der Spitzbogen dem Halbkreis. Die Parabel braucht 0,1444 m. Der Halbkreis braucht 0,5373 m.

Aufgabe vollständig gelöst

Die Zugkraft im Hauptseil einer Hängebrücke 5 Schritte
Ein Hauptseil überspannt 1.280 m zwischen den Pylonen mit einem Durchhang von 143 m. Es trägt 100 kN Fahrbahn pro Meter Spannweite und wiegt 40 kN pro Meter seiner eigenen Länge. Schätze die Zugkraft an den Pylonen, ohne die Kurve zu berechnen. Klick dann auf Seil wie Golden Gate und schau, wie gut die Schätzung ist.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Behandle die gesamte Last so, als wäre sie gleichmäßig über die Spannweite verteilt. Das rechnet das Seil als 1.280 m lang, was es nicht ganz ist:
  
  $w \approx w_{d} + w_{c} = 100 + 40 = 140 kN/m, w L = 140 \cdot 1280 = 179.20 MN$
2. Eine gleichmäßig über die Spannweite verteilte Last lässt ein Seil als Parabel hängen, und bei einer Parabel ergibt sich der Horizontalzug aus einem Moment des Halbseils um den Pylon:
  
  $H = \frac{w L ^{2}}{8 f} = \frac{140 \cdot 128 0 ^{2}}{8 \cdot 143} = 200.50 MN$
3. Jeder Pylon trägt die Hälfte der Gesamtlast direkt nach oben:
  
  $V = \frac{w L}{2} = 89.60 MN$
4. Am Pylon zieht das Seil entlang seiner eigenen Richtung. Diese Zugkraft vereint die beiden Komponenten:
  
  $T = H^{2} + V^{2} = 200.5 0^{2} + 89.6 0^{2} = 219.61 MN$
5. Die Seite berechnet die Kurve exakt. Das Seil ist 1.321,48 m lang, sein Eigengewicht beträgt also 52,86 MN anstatt 51,20, und die wahren Werte sind ein wenig höher:
  
  $H = 201.44, V = 90.43, T = 220.80 MN$
Antwort

Etwa 219,6 MN an jedem Pylon laut der Parabel, gegenüber 220,80 MN aus der exakten Kurve. Das ist 0,54 % zu niedrig. Die Parabel weicht ab, weil das Seil 3,2 % länger als die Spannweite ist, und das Gewicht des Seils 29 % der Last ausmacht. Für eine erste Dimensionierung des Seils ist das so gut wie das genaue Ergebnis. Und es brauchte nur ein Moment und eine Quadratwurzel.

$\frac{220 . 80 - 219 . 61}{220 . 80} = 0 . 54%$

Lernpfad

Wohin die Last geht

Quellen (5)

The paper that put the analysis of masonry on the footing this page uses: blocks that cannot take tension, cannot slide and are never crushed, and an arch that is safe if any line of thrust fits inside it: J. Heyman, "The stone skeleton." International Journal of Solids and Structures 2(2), 1966, pp. 249-279. DOI 10.1016/0020-7683(66)90018-7
Insight 2's figure t/R = 0.1075 is Milankovitch's, for radial joints, and this paper is the modern treatment of it. Its abstract gives 0.1075 for radial cuts and 0.1095 for vertical ones, which is why this page states which joints it uses: N. Makris and H. Alexakis, "The effect of stereotomy on the shape of the thrust-line and the minimum thickness of semicircular masonry arches." Archive of Applied Mechanics 83(10), 2013, pp. 1511-1533. DOI 10.1007/s00419-013-0763-4
That the astronomer of the ice ages is the same Milankovitch, and that his thrust-line papers date from 1904 to 1910: F. Foce, "Milankovitch's Theorie der Druckkurven: Good mechanics for masonry architecture." Nexus Network Journal, 2007, pp. 185-209. DOI 10.1007/978-3-7643-8699-3_3
The catenary itself, cosh and Galileo's mistake, are derived on another tool of this site rather than here: The hanging chain y = a cosh(x/a) and the 1638 story: see /math/hyperbolic on this site.
The Golden Gate-sized preset uses the bridge's span and sag and ESTIMATED loads — see the note: No source. The 1,280 m main span and a sag of about 143 m are the bridge's published dimensions, recalled; the 40 kN/m cable weight is derived from a recalled wire count and wire diameter; the 100 kN/m deck load is an estimate.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.