Kegelschnitt-Parameter-Explorer

Verändere Mittelpunkt, Formparameter und Ausrichtung, um die Geometrie der Gleichung live zu sehen.

Rechenbeispiel — Kegelschnitt-Parameter-Explorer

Normalform der Ellipse	1
Mittelpunkt	(0,0)
große Halbachse	4
kleine Halbachse	3
Brennpunktabstand c	2.645751

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Nur die Parabel bekommt eine Leitlinie, und der Scheitel liegt genau in der Mitte 🖖

Wechsle zwischen den Voreinstellungen, und eine Zeile erscheint allein bei der Parabel: die Leitlinie. Das ist keine Lücke bei den anderen beiden — es ist die Definition. Nimm parabolaRight: der Scheitel liegt bei (−2, 0), der Brennpunkt bei (1, 0) und die Leitlinie bei x = −5, der Scheitel also genau 3 von jedem entfernt. Dieser Abstand ist p, und deshalb schiebt eine Änderung von p Brennpunkt und Leitlinie symmetrisch auseinander. Eine Parabel ist die Kurve, deren Punkte von einem Brennpunkt und einer Geraden gleich weit entfernt sind, das Verhältnis ist also auf 1 festgenagelt; Ellipse und Hyperbel melden stattdessen um c verschobene Brennpunkte.

Woher der Name kommt 🖖

Das Wort „Kegelschnitt" ist wörtlich gemeint: Schneidet man einen Doppelkegel mit einer ebenen Fläche, ist die Schnittkante eine dieser Kurven. Hält man die Ebene waagerecht, entsteht ein Kreis; kippt man sie leicht, eine Ellipse; kippt man sie parallel zur Kegelseite, eine Parabel; kippt man weiter, sodass beide Hälften geschnitten werden, erhält man die zwei Äste einer Hyperbel. Jede Form in diesem Werkzeug ist nur ein anderer Schnittwinkel.

Der Brennpunkt im Kegel 🖖

Ein als Gleichung gezeichneter Kegelschnitt hat einen Brennpunkt, ein aus dem Kegel geschnittener Kegelschnitt eine Schnittebene — scheinbar ohne Zusammenhang. 1822 zeigte Germinal Dandelin, dass es derselbe Punkt ist: Legt man eine Kugel so in den Kegel, dass sie sowohl den Kegel als auch die Schnittebene berührt, ist ihr Berührpunkt genau der Brennpunkt. Bei einer Ellipse passen zwei solche Kugeln und legen beide Brennpunkte fest.

Aufgabe vollständig gelöst

Eine Ellipse mit den Halbachsen 4 und 3 und Brennpunkten bei c = 2,6458 5 Schritte
Eine Ellipse mit den Halbachsen 4 und 3 hat ihre Brennpunkte bei c = 2,6458. Leiten Sie dies her und anschließend die Eigenschaft, die sie überhaupt erst zu einer Ellipse macht.
1. Die drei Längen sind nicht unabhängig voneinander. Betrachtet man den Endpunkt der kleinen Halbachse, sind die beiden Abstände zu den Brennpunkten gleich lang; jeder bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten b und c sowie der Hypotenuse a — somit gilt a² = b² + c², und der Satz des Pythagoras steckt in jeder Ellipse.
  
  $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1, a = 4, b = 3$
2. Das Auflösen nach c ergibt √7. Das Werkzeug gibt 2,645751 aus, was genau dieser Wurzel entspricht.
  
  $a^{2} = b^{2} + c^{2} ⟹ c = 16 - 9 = 7 = 2.645751$
3. Die Exzentrizität ist das Verhältnis von c zu a und bildet den Formparameter — die eine Zahl, die unabhängig von der Größe angibt, wie stark die Kurve von der Kreisform abweicht.
  
  $e = \frac{c}{a} = \frac{2.645751}{4} = 0.6614$
4. Daraus folgt die definierende Eigenschaft: Die Summe der Abstände zu den beiden Brennpunkten ist für jeden Punkt gleich und beträgt 2a. Überprüfen Sie dies am Endpunkt der großen Halbachse, wo die Abstände a − c und a + c betragen.
  
  $r_{1} + r_{2} = 2 a = 8 for every point on the curve$
5. Die Exzentrizität klassifiziert zudem die gesamte Kurvenfamilie. Null ist ein Kreis, die Annäherung an 1 eine Parabel, über 1 eine Hyperbel — durchgehend dieselbe Gleichung.
  
  $e \to 0 \Rightarrow circle; e \to 1 \Rightarrow parabola; e > 1 \Rightarrow hyperbola$
Antwort

Das Werkzeug gibt a = 4, b = 3 und c = 2,645751 aus. Die Eigenschaft der konstanten Summe ist diejenige, die man sich merken sollte, denn sie ist zugleich Definition und Konstruktion: Zwei Stifte und eine Fadenschlaufe der Länge 2a + 2c zeichnen genau diese Kurve, und das ist kein handwerklicher Trick, sondern die physisch gewordene Definition. Das ist auch der Grund, warum Umlaufbahnen Ellipsen mit der Sonne in einem Brennpunkt und nicht im Mittelpunkt sind — im Brennpunkt liegt die Physik, während der Mittelpunkt nur der Mittelpunkt einer Zeichnung ist.

$c = a^{2} - b^{2} = 7, e = 0.661; r_{1} + r_{2} = 2 a defines the ellipse$

Quellen (1)

Insight block 3 — the sphere that turns a cutting plane into a focus: G. P. Dandelin, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la focale parabolique." Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles 2, 1822.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-05-21

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Beispielaufgaben

breite Ellipse - Die Halbachsen 5 und 3 ergeben c = 4 für die Brennpunkte: In der Ellipse steckt das 3-4-5-Dreieck, und ihre Exzentrizität beträgt genau 0,8.
hohe Ellipse - Dieselbe 5-mal-3-Ellipse wie „Breite Ellipse“, nur aufrecht und nach (-1, 1) verschoben. Wieder gilt c = 4 und die Exzentrizität beträgt 0,8. Die Ausrichtung ändert die Form nicht.
Parabel nach oben - Der Scheitel liegt bei (0, -2), der Brennpunkt im Ursprung und die Leitlinie bei y = -4. Vom Scheitel sind beide 2 entfernt. Genau das definiert eine Parabel.
Parabel nach rechts - Da p = 3 ist, liegen der Brennpunkt (1, 0) und die Leitlinie x = -5 jeweils im Abstand 3 auf entgegengesetzten Seiten des Scheitels. Die Sehne durch den Brennpunkt hat die Länge 4p = 12.
Hyperbel entlang x - Für a = 4 und b = 2 erhältst du c = 4,472136 und Asymptoten mit der Steigung 0,5. Die Exzentrizität 1,118034 liegt nur knapp über dem Wert 1 der Parabel.
Hyperbel entlang y - Für a = 3 und b = 4 erhältst du c = 5, also dasselbe 3-4-5-Dreieck wie bei „Breite Ellipse“. Hier gilt allerdings c² = a² + b² und nicht a² = b² + c². Die Exzentrizität beträgt 1,666667.