Die Kirchhoffschen Regeln und die Wheatstonesche Messbrücke

Wähle eine Spannungsquelle, vier Zweige und einen Detektor. Diese Seite löst die Brückenschaltung auf die einzige mögliche Art durch zwei Knotengleichungen. Sie zeigt dir, was der Detektor anzeigt, wo der Abgleichpunkt liegt und warum weder die Spannungsquelle noch der Detektor in der Bedingung dafür auftauchen.

Rechenbeispiel — Die Kirchhoffschen Regeln und die Wheatstonesche Messbrücke

Potential an Knoten C	6,6667 V
Potential an Knoten D	6,6667 V
Spannung am Detektor	0,0000 mV
Strom durch den Detektor	0 A
Abweichung: R₁R₄ − R₂R₃	0,00
Erforderlicher Wert für R₄	300,0000 Ω
Gesamtstrom der Quelle	0,055556 A
Reststrom an beiden Knoten	5,90 × 10⁻¹⁷ A

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Die Kirchhoffschen Regeln und die Wheatstonesche Messbrücke

Zwei Erhaltungssätze, und alles auf dieser Seite folgt daraus. Die Kirchhoffsche Knotenregel besagt, dass die Summe der an einem Knotenpunkt ankommenden Ströme gleich der Summe der abfließenden Ströme ist. Da sich Ladung nirgendwo ansammeln kann. Die Kirchhoffsche Maschenregel besagt, dass sich die Spannungsänderungen in einer geschlossenen Masche zu null addieren. Da eine Ladung, die an ihren Ausgangspunkt zurückkehrt, keine Energie gewonnen hat. Wendet man sie auf eine Schaltung mit n unbekannten Knotenpotentialen an, liefern sie n Gleichungen. Das reicht unabhängig vom Aufbau immer aus. Eine Wheatstonesche Messbrücke ist die kleinste Schaltung, bei der du diese Regeln brauchst: vier Zweige zwischen einer Spannungsquelle und einem Detektor in der Mitte. Sie ist abgeglichen, wenn R₁/R₂ = R₃/R₄ gilt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

E: die Spannungsquelle in Volt. Sie bestimmt jeden Strom in der Schaltung und taucht nirgends in der Abgleichbedingung auf
V_C: das Potential am linken Mittelpunkt in Volt. Eine der zwei Unbekannten. Die zugehörige Knotengleichung ist eine der beiden Gleichungen
V_D: das Potential am rechten Mittelpunkt. Die andere Unbekannte
I_g: der Detektorstrom in Ampere. Er ist positiv, wenn er von C nach D fließt, und ist null – und nur null – im Abgleich
R_g: der Eigenwiderstand des Detektors in Ohm. Er verändert die Stromstärke, wenn die Brücke verstimmt ist, hat aber keinen Einfluss auf den Abgleichpunkt

Setzt voraus: Ideale Leitungen, lineare Widerstände, konstanter Gleichstrom und eine Spannungsquelle ohne eigenen Innenwiderstand. Auf der vorherigen Seite haben wir noch ausführlich erklärt, dass letzteres in der Realität nie zutrifft. Diese Annahme ist hier aus genau dem Grund unbedenklich, um den es auf dieser Seite geht: Ein Innenwiderstand liegt in Reihe mit der Spannungsquelle und verändert jeden Strom in der Schaltung, aber er verschiebt den Abgleichpunkt überhaupt nicht. Der Detektor wird als reiner ohmscher Widerstand betrachtet. Für ein Drehspulgalvanometer ist das zutreffend, für moderne elektronische Messgeräte hingegen nicht.
Versagt, wenn: Bei Wechselstrom. Hier hat ein Zweig neben dem Wirkwiderstand auch einen Blindwiderstand. Der Abgleich erfordert dann zwei Bedingungen statt einer: Betrag und Phase. Genau dafür gibt es Impedanzmessbrücken. Auch bei nichtlinearen Bauteilen versagt das Modell. Eine Diode oder eine Glühwendel in einem Zweig besitzt keinen konstanten Widerstandswert, den man in das Verhältnis einsetzen könnte. Was die Genauigkeit angeht, gibt es einen erwähnenswerten Punkt: Eine Brückenmessung ist nur so gut wie die drei Zweige, deren Wert du zu kennen glaubst. Die Berechnung R₃ = R₁R₄/R₂ übernimmt alle drei Fehler. Der Detektor trägt überhaupt nicht zur Genauigkeit bei. Er muss lediglich null von nicht-null unterscheiden können. Solch ein Instrument ist weitaus einfacher zu bauen als eines, das absolute Werte misst.

Fünf Widerstände, und keine zwei davon in Reihe 🖖

Alles, was die letzten drei Seiten vermittelt haben, ist hier nutzlos. Schau dir die Schaltung an. An Knoten C treffen drei Leitungen aufeinander: R₁, R₂ und der Detektor. Eine Reihenschaltung erfordert jedoch eine Verbindung, an die nichts anderes angeschlossen ist. Daher sind R₁ und R₂ nicht in Reihe. Für Knoten D gilt das Gleiche. Keine zwei der fünf Bauteile teilen sich beide Enden, also ist auch nichts parallel geschaltet. Die Kombinationsregeln finden hier keinen Ansatzpunkt. Klick nun auf Detektor entfernt. Ohne das Galvanometer hat Knoten C nur noch zwei Leitungen, und das Tool meldet sofort R₁+R₂ und R₃+R₄. Die Brücke lässt sich gerade wegen des Detektors nicht vereinfachen, und genau deshalb baut man ihn dort ein. Was das Problem stattdessen löst, sind zwei Erhaltungssätze: Ladung an einem Knoten und Energie in einer Masche. Das führt zu zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

Null bleibt null, egal was die Batterie macht 🖖

Klick auf Abgeglichen und lies die Detektorspalte in der Tabelle unten. Der Wert ist null bei 1 V und bei 100 V. Er bleibt null mit einem 5 Ω Detektor und mit einem von 500 Ω. Der Gesamtstrom in der Spalte daneben variiert über dieselben sechs Zeilen von 0,005556 A bis 0,555556 A, was einem Faktor hundert entspricht. Dennoch verschiebt sich der Nullpunkt nicht. Genau das macht eine Messbrücke zu einem echten Instrument und nicht nur zu einer Rechenaufgabe. Die zwei am schwersten bestimmbaren Größen fallen bei einer Nullmessung einfach heraus: wie viel Strom die Quelle wirklich liefert und wie stark das Messgerät selbst die Schaltung belastet. Ein Ohmmeter muss beide Größen kennen und ist nur so genau wie dieses Wissen.

Nur das Verhältnis zählt, wähle also die passenden Zweige 🖖

Der Abgleich lautet R₁/R₂ = R₃/R₄. Nichts anderes bezüglich der vier Widerstände spielt eine Rolle. Klick auf Abgeglichen und dann auf Zehnfache Zweigwerte. R₁ und R₂ steigen von 100 und 200 Ω auf 1.000 und 2.000. Der Detektor zeigt immer noch 0 A an, und der Gesamtstrom fällt von 0,055556 A auf 0,025556 A. Das ist dieselbe Messung mit weniger als der Hälfte des Stroms. Genau dafür ist ein Verhältniszweig da. Du wählst das Paar so, dass es zu dem Strom passt, den du erübrigen kannst, oder zu der Erwärmung, die akzeptabel ist. Das Ergebnis für die Unbekannte bleibt in jedem Fall gleich.

Aufgabe vollständig gelöst

Messung eines Widerstands mit unbekanntem Wert 6 Schritte
R₃ ist unbekannt. R₁ = 100 Ω und R₂ = 200 Ω sind Standardwiderstände mit einer Toleranz von 0,01 %. R₄ ist eine Widerstandsdekade, die du einstellst, bis der Detektor null anzeigt. Der Abgleich liegt bei R₄ = 300,0000 Ω. Bestimme R₃ und gib an, wie genau du den Wert kennst.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Beim Abgleich fließt kein Strom durch den Detektor, also liegen C und D auf demselben Potential. Das ist die einzige Tatsache, auf der diese gesamte Methode beruht.
  
  $I_{g} = 0 ⟹ V_{C} = V_{D}$
2. Wenn kein Strom durch R_g fließt, bilden R₁ und R₂ einen einfachen Spannungsteiler aus zwei Widerständen. Das Gleiche gilt für R₃ und R₄. Jedes Mittelpunktpotential entspricht der Quellenspannung multipliziert mit dem unteren Zweig, geteilt durch die Summe des Paares.
  
  $V_{C} = E \frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}}, V_{D} = E \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}}$
3. Setzt du die beiden Mittelpunkte gleich, kürzt sich die Quellenspannung sofort auf beiden Seiten heraus.
  
  $\frac{R _{2}}{R _{1} + R _{2}} = \frac{R _{4}}{R _{3} + R _{4}}$
4. Multipliziere über Kreuz, und die Gleichung reduziert sich auf ein Produkt von Paaren: R₁R₄ = R₂R₃.
  
  $R_{2} R_{3} + R_{2} R_{4} = R_{1} R_{4} + R_{2} R_{4} ⟹ R_{1} R_{4} = R_{2} R_{3}$
5. Also ist R₃ = R₁R₄/R₂ = 100 × 300,0000 ÷ 200 = 150,0000 Ω. Schau dir genau an, was in dieser Zeile steht: drei Widerstände und sonst nichts. Keine Quellenspannung, kein Detektorwiderstand, kein Strom.
  
  $R_{3} = \frac{R _{1} R _{4}}{R _{2}} = \frac{100 \cdot 300 . 0000}{200} = 150.0000 Ω$
6. Nun zur Genauigkeit, einem Thema, das Lehrbücher oft überspringen. Relative Fehler addieren sich bei Multiplikationen und Divisionen. Somit übernimmt R₃ die Fehler aller drei bekannten Zweige, aber keinen vom Detektor.
  
  $\frac{Δ R _{3}}{R _{3}} \leq \frac{Δ R _{1}}{R _{1}} + \frac{Δ R _{4}}{R _{4}} + \frac{Δ R _{2}}{R _{2}} = 3 \times 0 . 01% = 0 . 03%$
Antwort

R₃ = 150,0000 Ω, auf etwa 0,03 % genau. Die drei Standardwiderstände haben jeweils eine Toleranz von 0,01 %, und ihre relativen Fehler addieren sich im ungünstigsten Fall. Der Detektor trägt nichts dazu bei, da er nie nach einem konkreten Wert gefragt wurde, sondern nur nach dem Unterschied zwischen null und nicht-null. Das ist der entscheidende Vorteil dieses Instruments. Genau deshalb war eine Messbrücke anderthalb Jahrhunderte lang jeder direkten Methode überlegen: Es ist weitaus einfacher, die Abwesenheit eines Stroms festzustellen, als seine genaue Stärke zu messen.

$R_{3} = \frac{R _{1} R _{4}}{R _{2}} = 150.0000 Ω \pm 0 . 03%$

Lernpfad

Was das ohmsche Gesetz ausklammert

Quellen (3)

The laws themselves, published while Kirchhoff was still a student. The paper is about current spreading through a plane conductor; the two rules this page uses are stated on the way: G. Kirchhoff, "Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige." Annalen der Physik 140(4), 1845, pp. 497-514. DOI 10.1002/andp.18451400402
The bridge, from the Bakerian Lecture that made it famous — and in which Wheatstone credits Christie rather than claiming it: C. Wheatstone, "XIII. The Bakerian lecture. — An account of several new instruments and processes for determining the constants of a voltaic circuit." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 133, 1843, pp. 303-327. DOI 10.1098/rstl.1843.0014
Christie's paper of ten years earlier, where the diamond of four resistances and a null detector appears first. The bridge carries the wrong name and has done since 1843: S. H. Christie, "VIII. The Bakerian Lecture. — Experimental determination of the laws of magneto-electric induction in different masses of the same metal, and of its intensity in different metals." Philosophical Transactions of the Royal Society of London 123, 1833, pp. 95-142. DOI 10.1098/rstl.1833.0011

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.