Widerstände in Reihen- und Parallelschaltung

Lege eine Versorgungsspannung und zwei oder drei Widerstände fest. Schalte sie dann hintereinander, nebeneinander oder kombiniere beides. Die Seite berechnet dir den Ersatzwiderstand, die Zweigströme und die Leistungsverteilung.

Rechenbeispiel — Widerstände in Reihen- und Parallelschaltung

Ersatzwiderstand	1.410,67 Ω
Gesamtwert ÷ kleinster Wert	2,666673
Gesamtstrom aus der Quelle	0,1630 A
Gesamtleistung der Schaltung	37,500 W
Summe der Zweigleistungen	37,500 W
Anteil an Gesamtleistung	62,50%

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Widerstände in Reihen- und Parallelschaltung

Zwei Widerstände sind in Reihe geschaltet, wenn derselbe Strom nacheinander durch beide fließen muss. Sie sind parallel geschaltet, wenn an jedem die volle Versorgungsspannung anliegt und sich der Strom aufteilt. In Reihe addieren sich die Widerstände: R = R₁ + R₂ + R₃. Parallel addieren sich ihre Kehrwerte: 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃. Der Kehrwert eines Widerstands ist sein Leitwert in Siemens. In dieser Einheit wird die zweite Regel zur ersten: Leitwerte addieren sich parallel genauso wie Widerstände in Reihe.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

R: Widerstand eines einzelnen Bauteils in Ohm. R_eq ist der Ersatzwiderstand der gesamten Schaltung, gesehen von den Klemmen der Quelle.
G: Leitwert, 1/R, in Siemens. Diese Werte addieren sich bei parallelen Zweigen.
V: Spannung in Volt. An parallelen Zweigen liegt sie in gleicher Höhe an, bei in Reihe geschalteten Zweigen teilt sie sich proportional zu R auf.
I: Strom in Ampere. Er ist durch jeden Widerstand in Reihe identisch und teilt sich bei Parallelschaltungen proportional zu G auf.
P: Leistung in Watt. Sie berechnet sich aus VI und ebenso aus I²R oder V²/R. Welche Formel du wählst, hängt davon ab, welche Größe die Zweige gemeinsam haben.

Setzt voraus: Konstanter Gleichstrom, verlustfreie Kabel, eine Spannungsquelle ohne Innenwiderstand und Widerstände, die ihren Wert behalten. Die Zahlen zu den Glühlampen stützen sich besonders auf diesen letzten Punkt. Ein Wolframfaden leitet im kalten Zustand viel besser als im heißen. Eine 60-W-Lampe, die bei 23 W betrieben wird, bleibt weit unter ihrer Nenntemperatur. Dadurch fällt ihr Widerstand unter die oben verwendeten 881,67 Ω. Die exakten 37,500 W sind eher ein theoretischer Lehrbuchwert als eine echte Messung. Die Frage, welche Lampe heller leuchtet, bleibt davon unberührt. Beide Fäden kühlen ab, und die 60-W-Lampe behält in jedem Fall den größeren Widerstand.
Versagt, wenn: Bei allem, was kein reiner Widerstand ist. Eine Diode hat keinen Widerstandswert, den man kombinieren könnte, sondern nur eine Kennlinie für Spannung und Strom. Hier greift keine dieser Regeln. Kondensatoren folgen Formeln mit gleicher Struktur, aber mit vertauschten Begriffen: Sie addieren sich parallel und als Kehrwerte in Reihe. Das gilt allerdings nur für Wechselstrom einer bestimmten Frequenz, und genau dort beginnt die RLC-Resonanz. Diese Regeln stoßen auch in ihrem eigenen Bereich an Grenzen. Eine Wheatstonesche Messbrücke besteht aus fünf Widerständen, die sich durch keine noch so ausgeklügelte Reihen- oder Parallelschaltung vereinfachen lassen. Für genau solche Fälle wurden die Kirchhoffschen Knoten- und Maschengleichungen aufgestellt. Federn bilden das mechanische Gegenstück und werden hintereinander schwächer, exakt wie parallele Widerstände. Das Hookesche Gesetz berechnet das in seinen eigenen Einheiten.

Zwei Glühlampen in Reihe, und die mit 60 W ist heller 🖖

Die Nennleistung ist die Leistung, die eine Glühlampe aufnimmt, wenn an ihr die vollen 230 V anliegen. Sie legt also den Widerstand fest: 529 Ω für die 100-W-Lampe und 881,67 Ω für die 60-W-Lampe. Die dunklere Lampe hat den größeren Widerstand. Schaltest du sie in Reihe, fließt durch beide derselbe Strom. Da die Leistung I²R ist, bekommt der größere Widerstand den größeren Anteil: 23,437 W gegenüber 14,062 W. Zusammen ziehen sie 37,500 W. Klick auf Dieselben zwei parallel und die Gesamtleistung beträgt 160,000 W. Das ist genau die Summe der Aufdrucke, wobei die 100-W-Lampe wieder vorne liegt. Dieselben zwei Glühlampen, dieselbe Spannung, aber 4,27-mal so viel Leistung.

Ein paralleler Zweig kann den Gesamtwert nur senken 🖖

Ein Parallelzweig ist ein weiterer Weg und niemals ein Hindernis. Der Gesamtwert kann also nur sinken. Er nähert sich dabei einem Grenzwert, den er nie erreicht: dem kleinsten Zweig. Zehn Ohm neben einem Kiloohm ergeben 9,90 Ω. Schau dir die Zeile an, die den Gesamtwert durch den kleinsten Einzelwiderstand teilt. Bei einer Parallelschaltung liegt dieser Wert immer unter 1, egal was du eintippst. In dieser Einstellung steht dort 0,990099. Das zweite Diagramm stellt diesen Zusammenhang grafisch dar. Gib 100 Ω und 200 Ω ein und verändere den dritten Widerstand. Ein 1-MΩ-Zweig verschiebt diese Zeile von 0,666667 auf 0,666622, während dieselbe Variation den Gesamtwiderstand in Reihe von 300,10 Ω auf 1.000.300,00 Ω hochtreibt.

Der Anteil tauscht die Plätze, der Zahlenwert bleibt 🖖

Klick auf 10 Ω neben 1 kΩ: Der 10-Ω-Widerstand nimmt 99,01 % der Leistung auf. Klick auf Diese zwei in Reihe: Wieder 99,01 %, jetzt aber beim 1-kΩ-Widerstand. Bei zwei Widerständen ist das keine Näherung, sondern exakt. Die Reihenschaltung teilt die Leistung im Verhältnis R₂/(R₁+R₂) auf, weil der Strom gleich ist und die Leistung I²R beträgt. Die Parallelschaltung teilt sie als G₁/(G₁+G₂) auf, weil die Spannung gleich ist und die Leistung V²/R beträgt. Schreibst du den zweiten Fall mit Widerständen auf, kürzt er sich zur ersten Formel zusammen. Bei den Glühlampen passiert genau das Gleiche, mit 62,50 % in beiden Fällen.

Aufgabe vollständig gelöst

Drei Glühlampen in einer Kette, und die kleinste Nennleistung gewinnt 6 Schritte
Eine 100-W-, eine 60-W- und eine 40-W-Glühlampe, alle für 230 V ausgelegt, werden in Reihe an eine 230-V-Quelle angeschlossen. Überlege dir, wie viel Leistung die Kette zieht und welche Lampe am hellsten leuchtet, bevor du weiterliest. Klick auf 100 W und 60 W in Reihe, um dir die Version mit zwei Lampen im Werkzeug anzusehen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die Nennleistung ist ein Versprechen, das für eine einzelne Lampe bei 230 V gilt. Rechne also zunächst jeden Wert in einen Widerstand um: 529,00, 881,67 und 1.322,50 Ω. Die Lampe mit der geringsten Leistung ist dabei der größte Widerstand.
  
  $P 100 W 60 W 40 W R = V^{2} / P 529.00 Ω 881.67 Ω 1, 322.50 Ω$
2. In der Reihenschaltung addieren sich die Widerstände. Alles andere an den Lampen spielt hier keine Rolle: Zusammen kommen alle drei auf 2.733,17 Ω.
  
  $R_{eq} = 529.00 + 881.67 + 1, 322.50 = 2, 733.17 Ω$
3. Ein Stromkreis, ein Strom. Durch jede Lampe fließen exakt dieselben 0,084151 A.
  
  $I = \frac{V}{R _{eq}} = \frac{230}{2 , 733 . 17} = 0.084151 A$
4. Die Leistung in jeder Lampe beträgt I²R. Die jeweiligen Anteile richten sich also nach den Widerständen: 3,746 W, 6,244 W und 9,365 W. Die Lampe mit 40 W beansprucht dabei 48,39 % der Gesamtleistung für sich.
  
  $R_{i} 529.00 Ω 881.67 Ω 1, 322.50 Ω P_{i} = I^{2} R_{i} 3.746 W 6.244 W 9.365 W P_{i} / \sum P 19 . 35% 32 . 26% 48 . 39%$
5. Die drei Schachteln versprechen zusammen 200 W, der gesamte Strang nimmt jedoch nur 19,355 W auf. Das sind lediglich 9,68 % des aufgedruckten Wertes. Fügst du einer Reihenschaltung eine weitere Lampe hinzu, wird der gesamte Strang dunkler – auch die Lampen, die ohnehin schon leuchten.
  
  $\frac{19 . 355}{100 + 60 + 40} = \frac{19 . 355}{200} = 0.0968$
6. Lass nun die Widerstände weg. Setze R = V²/P in die Summe der Reihenschaltung ein. Die Versorgungsspannung kürzt sich auf beiden Seiten heraus. Übrig bleiben 19,355 W, die sich allein aus den drei Nennleistungen zusammensetzen:
  
  $(\frac{1}{P _{1}} + \frac{1}{P _{2}} + \frac{1}{P _{3}})^{- 1} = (\frac{1}{100} + \frac{1}{60} + \frac{1}{40})^{- 1} = 19.355 W$
Antwort

19,355 W von drei Glühlampen, deren Aufdrucke zusammen 200 ergeben, und die 40-W-Lampe leuchtet mit 9,365 W am hellsten von allen dreien. Die geschlossene Formel im letzten Schritt ist allgemeingültig. Die Nennleistungen von Glühlampen in Reihe lassen sich exakt so kombinieren wie Widerstände in Parallelschaltung. Dabei bleiben weder Widerstand noch Spannung in der Formel übrig. Es ist dieselbe Kehrwertregel, nur von der anderen Seite betrachtet. Sie besagt auch, was eine Kette aus n identischen Lampen macht: Die Kette zieht einen Bruchteil 1/n der Nennleistung einer einzelnen Lampe, und jede Lampe darin erhält nur 1/n² von dem, wofür sie gebaut wurde.

$(\frac{1}{100} + \frac{1}{60} + \frac{1}{40})^{- 1} = 19.355 W$

Lernpfad

Was das ohmsche Gesetz ausklammert

Quellen (4)

The misconception this page is built against, measured on 145 students before and after instruction. Current being 'used up' along a circuit, and a second bulb in parallel changing the first, are both documented here: L. C. McDermott and P. S. Shaffer, "Research as a guide for curriculum development: An example from introductory electricity. Part I: Investigation of student understanding." American Journal of Physics 60(11), 1992, pp. 994-1003. DOI 10.1119/1.17003
The combination rules themselves, and the three forms of resistive power the branch table uses. The same edition is cited on Ohm's Law and RLC Resonance, deliberately: one circuits text across the chapter. J. W. Nilsson and S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.
Where the lesson's `breaks` points next. A Wheatstone bridge cannot be reduced by series and parallel combination at all, and these are the equations written for the circuits that cannot: G. Kirchhoff, "Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige." Annalen der Physik 140(4), 1845, pp. 497-514. DOI 10.1002/andp.18451400402
The temperature dependence the lesson's `assumes` turns on, tabulated element by element. Tungsten is the entry behind the warning that a filament running below its rating is not the resistor its rating describes: P. D. Desai, T. K. Chu, H. M. James and C. Y. Ho, "Electrical Resistivity of Selected Elements." Journal of Physical and Chemical Reference Data 13(4), 1984, pp. 1069-1096. DOI 10.1063/1.555723

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.