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Leitungswiderstand und spezifischer Widerstand

Wähle Material, Länge, Dicke und Temperatur. Die Seite berechnet den Widerstand dieses Leiters, die Verluste an Spannung und Wärme beim eingestellten Strom und was dieselbe Aufgabe in sechs anderen Metallen wiegen würde.

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Lektion

Die Theorie — Leitungswiderstand und spezifischer Widerstand

Der Widerstand eines Leiters ist R = ρL/A: der spezifische Widerstand ρ des Materials, multipliziert mit der Länge, geteilt durch die Querschnittsfläche. Der spezifische Widerstand wird in Ohmmetern gemessen und ist eine reine Materialeigenschaft. Kupfer liegt bei 1,68 × 10⁻⁸ Ω·m, unabhängig davon, ob es sich um ein Haar oder eine Stromschiene handelt. Die Geometrie des Kabels steckt vollständig in L und A. Die Fläche skaliert quadratisch mit dem Durchmesser, A = πd²/4, weshalb die Dicke doppelt ins Gewicht fällt. Der spezifische Widerstand selbst ändert sich mit der Temperatur. Diese Seite verwendet die lineare Näherung ρ(T) = ρ₂₀(1 + α(T − 20)).

Was die einzelnen Symbole bedeuten

ρ
Spezifischer Widerstand, in Ohmmetern. Eine reine Materialeigenschaft, die Form des Leiters spielt hier keine Rolle
L
Länge des Leiters, in Metern. In einem Kabel bedeutet das hin UND zurück. Genau darum geht es im Rechenbeispiel
A
Querschnittsfläche, in m². πd²/4 für einen runden Draht. Eine Verdopplung des Durchmessers viertelt also den Widerstand
α
Temperaturkoeffizient, pro Kelvin. Etwa 0,004 für ein reines Metall und zehnmal kleiner für eine Widerstandslegierung
R
Widerstand dieses speziellen Drahtstücks in Ohm – die einzige Größe hier, die von jeder einzelnen der anderen abhängt
Setzt voraus
Gleichstrom, ein Leiter aus einem Material mit gleichbleibendem rundem Querschnitt über die gesamte Länge und ein spezifischer Widerstand, der linear von seinem Wert bei 20 °C abhängt. Die Zahlen gelten für reine, geglühte Metalle. Kommerzielle Kabel sind legiert sowie kaltverfestigt und liegen ein paar Prozent höher. Nichrom bezeichnet eher eine Familie von Zusammensetzungen als eine einzelne. Betrachte die 1,10 × 10⁻⁶ Ω·m daher als Mittelwert. Die Massenspalte bezieht sich nur auf den Leiter, ohne Isolierung, ohne Stahlkern und ohne Durchhang.
Versagt, wenn
Weit ab von 20 °C, was die realistische Grenze der obigen Geraden ist. Extrapolierst du dieses Modell auf eine Glühwendel bei 2.800 °C, liefert es den 13,5-fachen Raumtemperaturwiderstand. Der tatsächliche Wert für Wolfram ist jedoch größer. Genau aus diesem Grund heißt es im Kapitel Widerstände in Reihe und parallel, dass eine Wendel kalt besser leitet als heiß, ohne dafür eine Zahl zu nennen. Das Modell stößt an vier weiteren Stellen an seine Grenzen. Wechselstrom drängt die Ladung an die Oberfläche, sodass ein dicker Leiter sein Zentrum nicht mehr nutzt und die effektive Fläche kleiner als πd²/4 wird. Bei Halbleitern und Kohlenstoff dreht sich das Vorzeichen des Koeffizienten um; sie leiten besser, wenn sie wärmer werden. Ein Supraleiter reduziert ρ auf null. An diesem Punkt hat die Gleichung R = ρL/A ausgedient. Zudem gibt es an den Enden jedes realen Kabels einen Kontaktwiderstand. Dieser gehört zur Verbindung und nicht zum Metall, und er ist es, der bei einer losen Klemme letztlich durchbrennt.

Nur ein einziges Metall hier wiegt weniger als Kupfer 🖖

Aluminium ist der schlechtere Leiter. Sein spezifischer Widerstand ist 1,577-mal so hoch wie der von Kupfer. Um mit einem Kupferkabel gleichzuziehen, benötigst du also 57,7 % mehr Querschnitt und einen 25,6 % dickeren Draht. Und jetzt zum Gewicht. Die Dichte von Aluminium ist 3,32-mal geringer, und 1,577 ÷ 3,32 ergibt 0,475: gleicher Widerstand, gleiche Länge, bei 47,5 % des Gewichts. Lies die letzte Spalte der Tabelle unten und suche nach einer Zahl unter 1. Es gibt genau eine. Silber leitet besser als Kupfer und fällt am Ende trotzdem schwerer aus. Das gilt ebenso für Gold, Wolfram, Eisen und Nichrom. Dieses eine Verhältnis ist der Grund, warum jede Freileitung, unter der du je hindurchgefahren bist, aus Aluminium besteht. Das Kupfer bleibt im Gebäude, wo nichts es tragen muss.

Zehnfache Spannung, ein Hundertstel der Wärme 🖖

Klicke auf Eine Freileitung: 100 km Aluminium mit 400 mm², 6,6248 Ω. Schicke 100 MW hindurch. Der Strom ist die Leistung geteilt durch die Spannung und der Verlust ist I²R. Die Verlustleistung sinkt also mit dem Quadrat der Spannung. Bei 400 kV fließen 250 A durch die Leitung. Sie verheizt dabei 0,414 MW, was 0,414 % der übertragenen Leistung entspricht. Bei 40 kV fließen 2.500 A und es gehen 41,4 MW verloren. Bei 10 kV verlangt die Mathematik 662,5 MW von einer Leitung, die nur 100 liefert. Das bedeutet schlicht, dass die Leitung diese Aufgabe gar nicht bewältigen kann. Am Kabel selbst hat sich bei alldem nichts geändert, nur die Zahl auf dem Umspannwerk.

Nichrom merkt die Hitze kaum, Kupfer schon 🖖

Klicke auf Eine 100-m-Verlängerung, dann auf Gleiches Kabel, heiß. Nur die Temperatur ändert sich. Der Widerstand steigt von 2,2399 Ω auf 2,9639 Ω, wodurch aus den 169,4 W Verlustleistung nun 224,1 W werden. Zwischen 0 °C und 100 °C nimmt der Widerstand von Kupfer um 44,0 % zu. Nichrom verzeichnet über dieselben hundert Grad einen Anstieg von 4,0 %. Das ist elfmal flacher und überhaupt der einzige Grund für die Existenz dieser Legierung. Ein Heizelement muss glühen und trotzdem genau den Strom ziehen, für den es gebaut wurde. Das zweite Diagramm stellt alle sieben Materialien nebeneinander, jedes bezogen auf seinen eigenen Wert bei 20 °C. Das Einzige, was noch zu vergleichen bleibt, ist die Steigung.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Ein 2-kW-Heizgerät am Ende eines 100-Meter-Kabels 6 Schritte

    Ein 2-kW-Heizgerät wird an eine 100 m lange Verlängerung aus 1,5 mm² Kupferlitze angeschlossen. Die Netzspannung beträgt 230 V. Berechne, wie viel von diesen 2 kW tatsächlich beim Heizgerät ankommt, bevor du weiterliest. Klicke auf Eine 100-m-Verlängerung, um die erste Hälfte der Rechnung im Werkzeug zu sehen.

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    1. Die Beschriftung besagt 1,5 mm², was der Fläche eines einzelnen Leiters entspricht. Als Durchmesser sind das 1,382 mm, und die Fläche, die das Werkzeug anzeigt, beträgt 1,5001 mm².

    2. Hier ist der Schritt, den fast jeder übersieht. Eine 100-m-Leitung führt den Strom 100 m hin und 100 m zurück. Der Leiter ist also insgesamt 200 m lang.

    3. Nun zu ρL/A, mit Kupfer bei 1,68 × 10⁻⁸ Ω·m: 2,2399 Ω.

    4. Nimm den Strom, der sich aus der Nennleistung des Heizgeräts ergibt: 8,696 A. Dabei würden 19,478 V entlang der Leitung abfallen und 169,4 W darin als Wärme verbleiben. Das sind die beiden Werte, die das Werkzeug ausgibt.

    5. Dieser Strom ist jedoch falsch. Der Grund dafür stand in der vorherigen Lektion: Leitung und Heizgerät sind in Reihe geschaltet, die Stromquelle sieht also beides. Ein 2-kW-Heizgerät an 230 V hat 26,45 Ω. Zusammen ergibt das 28,6899 Ω, und der tatsächliche Strom liegt bei 8,0168 A.

    6. Berechne die beiden Werte nun mit dem Strom, der tatsächlich fließt. Am Heizgerät liegen noch 212,04 V an und es liefert 1.699,9 W. Das Kabel nimmt 144,0 W auf.

    Antwort

    Das Heizgerät liefert 1.699,9 W seiner 2.000, es fehlen also schlichtweg 300,1 W an Heizleistung. Nur 144,0 W dieser Differenz erwärmen das Kabel. Die restlichen 156,1 W werden erst gar nicht aus dem Netz bezogen, denn das Heizgerät ist ein Widerstand, und ein Widerstand nimmt bei 212 V weniger Strom auf als bei 230 V. Das ist der Teil, den die naive Rechnung zwar falsch, aber in die sichere Richtung macht: Sie überschätzt den Strom und damit auch den Verlust in der Leitung um 18 %. Die Gefahr, die sie unterschätzt, liegt woanders. Sie steckt in den 144 W, die im Inneren einer aufgerollten Kabeltrommel festsitzen und nirgendwohin abfließen können.

Lernpfad

Was das ohmsche Gesetz ausklammert

Quellen (3)

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.