Das Induktionsgesetz: Ein einfacher Generator

Eine Spule dreht sich in einem Magnetfeld. Du kannst sie mit konstanter Drehzahl oder konstantem Drehmoment antreiben. Du hast die Wahl, ob du eine Last anschließt oder sie im Leerlauf belässt. Diese Seite verfolgt den magnetischen Fluss, die Spannung, den Strom und das Gegendrehmoment während jeder Umdrehung. Die Tabelle unter den Diagrammen übernimmt dabei das Rechnen.

Rechenbeispiel — Das Induktionsgesetz: Ein einfacher Generator

Winkelgeschwindigkeit	314,2 rad/s
Frequenz	50,00 Hz
Spitzen-Flussverkettung	0,03000 Wb
Spitzeninduktionsspannung	9,425 V
Effektive Induktionsspannung	6,664 V
Spitzenstrom	0,6283 A
Spitzen-Gegendrehmoment	0,01885 N·m
Mittleres Gegendrehmoment	0,009425 N·m

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Das Induktionsgesetz: Ein einfacher Generator

Faradaysches Induktionsgesetz: Ein sich ändernder magnetischer Fluss durch eine Spule erzeugt eine Induktionsspannung, ε = −dΦ ÷ dt. Für eine Spule mit N Windungen und der Fläche A, die sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω in einem Feld B dreht, gilt Φ = NBA cos ωt und ε = NBAω sin ωt. Das lenzsche Gesetz liefert das Vorzeichen. Der induzierte Strom fließt immer so, dass sein eigenes Magnetfeld der Ursache der Induktion entgegenwirkt. Bei einem Generator äußert sich das als eine Kraft, die die Bewegung bremst. Bei einer Last R und einem Spulenwiderstand r beträgt der Strom i = ε ÷ (R + r). Die vom Gegendrehmoment aufgenommene Leistung, τ_eω, entspricht genau der elektrischen Leistung, die an beide Widerstände abgegeben wird. Ein realer Antrieb muss zusätzlich noch die Reibung überwinden.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

Φ: die Flussverkettung, N B A cos ωt, in Weber. Am größten, wenn die Spulenfläche senkrecht zum Feld steht
ε: die Induktionsspannung in Volt. Am größten, wenn sich der Fluss am schnellsten ändert, also eine Vierteldrehung später
ω: die Winkelgeschwindigkeit in rad/s. Die Induktionsspannung ist proportional dazu
r: der Innenwiderstand der Spule. Jeder hindurchfließende Strom verursacht einen Wärmeverlust von i²r
τ_e: das Gegendrehmoment, das durch den Strom im Magnetfeld entsteht. Im Leerlauf ist es null

Versagt, wenn: Die optimale Last entspricht nur dann r, wenn die Drehzahl absolut konstant bleibt. Treibst du den Rotor hingegen mit einem konstanten Drehmoment an, bremst eine stärkere Last ihn ab. Das wiederum senkt die Spannung. Die optimale Last ist dann größer als r. Bei der Voreinstellung für das konstante Drehmoment sind es 48 Ω anstelle von 3 Ω. Diese Seite sucht diesen Punkt aktiv, anstatt ihn einfach vorauszusetzen. Reale Dynamos begrenzen ihren Strom außerdem durch die Induktivität der Spule, die in diesem Modell jedoch vernachlässigt wird.

Kein Stromkreis, kein Widerstand 🖖

Klick auf Leerlauf. Die Spule dreht sich mit 3.000 U/min und erzeugt in der Spitze 9,425 V. Das Gegendrehmoment ist dabei exakt null. In diesem Modell setzt nichts der Drehung einen Widerstand entgegen, solange kein Strom fließt. Klick nun auf Fahrraddynamo und schließe eine Lampe mit 12 Ω an. Jetzt fließt ein Strom. Dieser Strom befindet sich in einem Magnetfeld und das Feld übt eine Kraft auf ihn aus. Diese wirkt immer entgegen der Drehrichtung. Diese Gegenkraft beschreibt das lenzsche Gesetz. Im Durchschnitt beträgt sie hier 0,009425 N·m. Genau diese Kraft muss der Radfahrer aufbringen. Stell den Antrieb auf Konstantes Drehmoment um, dann zeigt sich dieser Effekt bei der Drehzahl. Der Rotor dreht sich im Leerlauf mit 1.000 rad/s. Innerhalb von etwa einer Sekunde nach Zuschalten der Last pendelt er sich auf 250 rad/s ein. Die Zeitkonstante beträgt dabei 0,25 s. Aus genau diesem Grund tritt sich ein Fahrraddynamo schwerer, sobald man das Licht einschaltet.

Jedes Watt Lichtleistung ist ein Watt aus der Hand 🖖

Das Leistungsdiagramm zeichnet die vom Gegendrehmoment aufgenommene mechanische Leistung, τ_eω, über der Wärmeleistung in der Last und der Spule. Bei konstanter Drehzahl sind diese Werte in jedem einzelnen Moment identisch, nicht nur im Durchschnitt. Unter Fahrraddynamo liefert die Hand 2,961 W. Davon erreichen 2,369 W die Lampe und 0,5922 W erwärmen die Spule. Wie sich diese Leistung aufteilt, entscheidet allein die Last. Klick auf Hohe Last. Bei 0,5 Ω liefert die Hand 12,69 W. Das ist mehr als viermal so viel. Die Lampe erhält mit 1,813 W dennoch weniger als zuvor, da der Großteil lediglich die Spule aufheizt. Die Last, die am meisten Leistung abruft, ist exakt so groß wie der Spulenwiderstand. Das siehst du bei Angepasste Last (R = r) mit 3 Ω. Dort verpufft exakt die Hälfte der Energie ungenutzt. Das entspricht dem Prinzip der Leistungsanpassung durch den Innenwiderstand, hier allerdings vom Antrieb aus betrachtet.

Doppelte Drehzahl bringt doppelte Spannung und vierfache Leistung 🖖

Die Spannung hängt davon ab, wie schnell sich der magnetische Fluss durch die Spule ändert. Es gilt ε = N B A ω sin ωt. Die Spannung steigt also proportional zur Drehzahl. Klick auf Doppelte Drehzahl. Bei 6.000 U/min klettert der Spitzenwert von 9,425 auf 18,85 V. An der gleichen Lampe fließt bei doppelter Spannung auch der doppelte Strom. Sie zieht also die vierfache Leistung, nämlich 9,475 W im Vergleich zu den vorherigen 2,369. Das Gegendrehmoment verdoppelt sich ebenfalls. Wenn du die Spule doppelt so schnell gegen den doppelten Widerstand drehst, brauchst du die vierfache Leistung. Du musst also 11,84 W aus der Hand beisteuern. Ein Generator liefert mehr Energie nur für mehr Anstrengung, niemals umsonst.

Aufgabe vollständig gelöst

Was ein Fahrraddynamo den Radfahrer kostet 5 Schritte
Eine Spule mit 250 Windungen und einer Fläche von 4 cm² dreht sich mit 3.000 U/min in einem Feld von 0,3 T. Ihr Innenwiderstand beträgt 3 Ω und sie betreibt eine Lampe mit 12 Ω. Berechne den Spitzenwert der Induktionsspannung, die mittlere Leistung an der Lampe, die vom Radfahrer aufzubringende mittlere Leistung sowie das mittlere Gegendrehmoment. Klick auf Fahrraddynamo, um jeden Wert zu überprüfen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Die Winkelgeschwindigkeit und der Spitzenwert der Flussverkettung:
  
  $ω = \frac{2 π \cdot 3000}{60} = 314.16 rad/s, N B A = 250 \cdot 0.3 \cdot 4 \times 1 0^{- 4} = 0.03 Wb$
2. Der Spitzenwert der Induktionsspannung ist das Produkt aus Flussverkettung und Winkelgeschwindigkeit:
  
  $ε_{m a x} = N B A ω = 0.03 \cdot 314.16 = 9.425 V$
3. Die Induktionsspannung verläuft sinusförmig. Die mittlere Leistung an einem Widerstand R entspricht daher der Hälfte ihres Spitzenwerts, da der Mittelwert von sin² über eine Umdrehung ½ beträgt:
  
  $⟨ P_{R} ⟩ = \frac{ε _{m a x}^{2} R}{2 ( R + r ) ^{2}} = \frac{9 . 42 5 ^{2} \cdot 12}{2 \cdot 1 5 ^{2}} = 2.369 W$
4. Der Radfahrer liefert genau das, was Lampe und Spule zusammen verbrauchen:
  
  $⟨ P_{mech} ⟩ = \frac{ε _{m a x}^{2}}{2 ( R + r )} = \frac{9 . 42 5 ^{2}}{30} = 2.961 W$
5. Leistung ist Drehmoment mal Winkelgeschwindigkeit, das mittlere Gegendrehmoment beträgt also:
  
  $⟨ τ_{e} ⟩ = \frac{⟨ P _{mech} ⟩}{ω} = \frac{2 . 961}{314 . 16} = 0.009425 N m$
Antwort

Die Spule erreicht in der Spitze 9,425 V und die Lampe erhält im Durchschnitt 2,369 W. Der Radfahrer bringt 2,961 W auf, wovon 80 % in der Lampe ankommen. Dafür muss er gegen ein mittleres Gegendrehmoment von 0,009425 N·m antreten. Klemmst du die Lampe ab, fallen Drehmoment und Leistung auf null, während die Spannung erhalten bleibt.

$ε_{m a x} = 9.425 V, ⟨ P_{R} ⟩ = 2.369 W, ⟨ τ_{e} ⟩ = 0.009425 N m$

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.