Spulen und die Spannungsspitze beim Abschalten

Eine Spule, eine Spannungsquelle und ein Schalter. Schließ den Schalter und verfolge Schritt für Schritt, wie der Strom ansteigt. Öffne ihn dann mit unbeschalteter Spule, mit einer Diode oder mit Diode und Widerstand parallel zur Spule. Beobachte, welchen Weg der Strom nimmt und welche Spannung der Schalter aushalten muss.

Rechenbeispiel — Spulen und die Spannungsspitze beim Abschalten

Induktivität als lange Zylinderspule	0,1421 H
Strom bei geschlossenem Schalter	30,00 mA
Zeitkonstante	355,3 µs
Energie im Magnetfeld	63,96 µJ
Spitzenspannung am Schalter	360,2 V
Tiefste Spannung am Schalter	-318,4 V
Wärme in der Wicklung	64,03 µJ (100,11%)

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Lektion

Die Theorie — Spulen und die Spannungsspitze beim Abschalten

Eine Spule wirkt durch ihr Magnetfeld jeder Änderung des Stroms entgegen, der durch sie fließt. Ihre induktive Spannung beträgt v = L di/dt. Bei konstantem Strom ist diese Spannung null; eine sehr schnelle Stromänderung erfordert dagegen eine sehr hohe Spannung. L ist die Induktivität, gemessen in Henry. Für eine lange Zylinderspule mit N Windungen, der Querschnittsfläche A, der Länge ℓ und einem Kern mit der relativen Permeabilität μᵣ gilt L = μ₀μᵣN²A/ℓ. Bei einem Strom I ist im Magnetfeld die Energie U = ½LI² gespeichert. Liegt die Spule mit einem Widerstand R in Reihe an einer Spannungsquelle V, nähert sich der Strom dem Wert V/R mit der Zeitkonstante τ = L/R.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

L: Induktivität in Henry: die nötige Spannung in Volt je Ampere pro Sekunde Stromänderung
N: Windungszahl. L wächst mit N², weil jede Windung zum Magnetfeld beiträgt und zugleich vom magnetischen Fluss durchsetzt wird
μᵣ: relative Permeabilität des Kerns: für Luft 1; sie gibt an, um welchen Faktor der Kern L vergrößert
I₀: stationärer Strom bei geschlossenem Schalter, Vₛ/R
R: Widerstand der Wicklung selbst, den jede Spule besitzt und der die Energie schließlich in Wärme umwandelt
Rₛ: Widerstand in Reihe zur Diode; er erhöht die Begrenzungsspannung und verkürzt die Abklingzeit
C: Kapazität parallel zum offenen Schalter: die Eigenkapazität des Transistors und die der Verdrahtung. Sie ist klein; je kleiner sie ist, desto höher die Spannungsspitze
τ: L/R, die Zeitkonstante: Sie bestimmt, wie schnell der Strom nach dem Schließen des Schalters ansteigt und ungefähr auch, wie schnell er mit einer Diode allein abklingt

Setzt voraus: Die Spule wird als lange Zylinderspule behandelt: Das Magnetfeld im Inneren gilt als homogen, das äußere als null. Bei einer Spule, die wie die voreingestellte nur etwa doppelt so lang wie breit ist, wird L dadurch überschätzt. Der Kern gerät weder in Sättigung, noch verliert er Energie durch Wirbelströme. Der offene Schalter isoliert vollkommen und besitzt eine parallel liegende Kapazität. Bei einem echten Transistor mit einer Spannungsfestigkeit unterhalb der Spitze käme es zum Durchbruch, bei einem echten Schaltkontakt zum Lichtbogen. Die integrierte Diode eines MOSFETs würde das Schwingen unter Masse unterbinden. In den beiden Schaltungen mit Diode wird diese Kapazität vernachlässigt: Bei 30 mA lädt sich 1 nF in der Zeit C × V ÷ I₀ auf die Begrenzungsspannung auf. Das sind 0,425 µs mit der Diode allein und 1,425 µs mit 1 kΩ, gegenüber Abklingzeiten von Hunderten Mikrosekunden. Für die Diode gilt das Shockley-Modell von der Diodenseite bei 25 °C. „Auf ein Zehntel abgeklungen“ bedeutet, dass der Strom auf 10 % von I₀ fällt und dauerhaft unter dieser Schwelle bleibt. Bei einem Relais entspricht das 1 % der Anzugskraft. Beim Umwickeln für eine andere Spannung wird vorausgesetzt, dass im selben Wickelraum dieselbe Kupfermenge untergebracht wird.

Du öffnest den Schalter, der Strom fließt weiter 🖖

Klick auf Spule ohne Beschaltung und geh schrittweise bis zu dem Moment, in dem sich der Schalter öffnet. Unmittelbar davor fließen 30 mA. Dieser Strom kann nicht schlagartig verschwinden: Nach v = L di/dt wäre eine unendlich hohe Spannung nötig, um ihn in verschwindend kurzer Zeit zu stoppen. Also fließt er weiter, und zwar in die einzige noch verfügbare Kapazität: die 1 nF parallel zum offenen Schalter. Dabei steigt die Spannung, bis der Strom zum Stillstand kommt. In der Kapazität sind dann 64,89 µJ gespeichert. Darin stecken die 63,96 µJ des Magnetfelds und die Energie, die die weiterhin angeschlossene Spannungsquelle nachgeliefert hat, abzüglich der Wärmeverluste in der Wicklung. Die Spitzenspannung beträgt 360,2 V, bei einer Versorgung mit 12 V. Klick auf Nur 100 pF am Schalter: Ein Zehntel der Kapazität muss nahezu dieselbe Energie aufnehmen, und die Spitze erreicht 1.134 V. Ob ein echter Schalter das übersteht, hängt von seiner Spannungsfestigkeit ab. Bei einem Transistor mit niedrigerer Spannungsfestigkeit kommt es zum Durchbruch; zwischen sich öffnenden Schaltkontakten entsteht ein Lichtbogen.

Die Diode schützt den Schalter und lässt den Spulenstrom schneller abklingen 🖖

Ohne Beschaltung klingt der Spulenstrom nur langsam ab, sofern der Schalter die Spannung überhaupt übersteht. Zwar fällt der Strom schon nach 17,70 µs auf ein Zehntel. Doch dabei ist die Energie lediglich in die Kapazität gewandert und fließt gleich darauf in Gegenrichtung zurück. Sie pendelt zwischen Spule und Kapazität, bis der Wicklungswiderstand sie in Wärme umgewandelt hat. Das geschieht nur, solange die Energie in der Spule steckt, also während ungefähr der Hälfte jeder Schwingung. Insgesamt dauert es 1,614 ms. Klick auf Freilaufdiode: Am Schalter liegen 12,74 V an, die Versorgungsspannung plus die Durchlassspannung der Diode. Der Strom fließt im Kreis durch Spule und Diode und ist nach 674,7 µs auf ein Zehntel abgeklungen. Mit einem Widerstand in Reihe zur Diode lässt sich die Abklingzeit weiter verkürzen, allerdings bei höherer Spannung. Klick auf Diode mit 1 kΩ: 219,8 µs bei einer Spitzenspannung von 42,74 V. In der Tabelle siehst du, wie mit jedem größeren Widerstand die Begrenzungsspannung steigt und die Abklingzeit sinkt.

Eine 48-V-Spule erzeugt keine höhere Abschaltspitze als eine 12-V-Spule 🖖

Wickelst du denselben Spulenkörper für 48 V statt für 12 V, brauchst du die vierfache Windungszahl und Draht mit einem Viertel des Querschnitts. Die Induktivität wächst mit dem Quadrat der Windungszahl. Für den Widerstand gilt dasselbe, denn der Draht ist viermal so lang und sein Querschnitt viermal so klein. L/R bleibt deshalb bei 355,3 µs. Der Strom sinkt auf ein Viertel, im Magnetfeld bleiben dieselben 63,96 µJ gespeichert. Auch die Durchflutung, das Produkt aus Strom und Windungszahl, bleibt bei 150 Amperewindungen und zieht den Anker mit derselben Kraft an. Klick auf Spule für 48 V gewickelt: Ohne Beschaltung erreicht die Spannung am Schalter 368,3 V, gegenüber 360,2 V bei der 12-V-Wicklung. Entscheidend für die Abschaltspitze sind die Größe der Spule und die Leistung, für die sie gewickelt ist. Ihre Nennspannung spielt kaum eine Rolle. Bei der Diode macht sie sich dagegen bemerkbar: Deren 0,74 V bremsen den Strom einer 5-V-Wicklung stärker als den einer 48-V-Wicklung. Mit Diode klingt der Strom der 5-V-Wicklung daher in 547,3 µs auf ein Zehntel ab, der der 48-V-Wicklung in 777,0 µs.

Aufgabe vollständig gelöst

Den Serienwiderstand zur Freilaufdiode bemessen 6 Schritte
Ein Transistor mit einer Spannungsfestigkeit von 60 V schaltet die 12-V-Spule dieser Seite: 400 Ω und 0,1421 H, mit einer Diode parallel zur Spule. Welchen größten Widerstand aus der E12-Reihe (1,0, 1,2, 1,5, 1,8 kΩ und so weiter) kannst du in Reihe zur Diode schalten, damit die Spannung am Schalter unter 60 V bleibt? Wie lange braucht der Strom dann, um auf ein Zehntel abzuklingen, verglichen mit der Diode allein? Wie viel Energie nimmt der Widerstand bei jedem Abschalten als Wärme auf?

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Bei geschlossenem Schalter fließt der Strom I₀ = 12 V ÷ 400 Ω = 30 mA. Im Magnetfeld ist die Energie ½LI₀² = ½ × 0,1421 H × (30 mA)² = 63,96 µJ gespeichert.
  
  $I_{0} = \frac{12 V}{400 Ω} = 30 mA, \frac{1}{2} L I_{0}^{2} = \frac{1}{2} \times 0.1421 H \times (30 mA)^{2} = 63.96 μ J$
2. Unmittelbar nach dem Öffnen des Schalters fließen durch die Spule weiterhin 30 mA, nun über die Diode und Rₛ. Am Schalter addieren sich die Versorgungsspannung, die Durchlassspannung der Diode bei 30 mA und die Spannung am Widerstand: 12 V + 0,738 V + 0,03 A × Rₛ.
  
  $v_{sw} = V_{S} + V_{D} (I_{0}) + I_{0} R_{s} = 12 V + 0.738 V + 0.03 A \times R_{s}$
3. Damit die Spannung unter 60 V bleibt, muss Rₛ ≤ (60 − 12,738) V ÷ 0,03 A = 1.575 Ω sein. Der größte darunterliegende E12-Wert ist 1,5 kΩ; damit ergeben sich 57,74 V. Bei 1,8 kΩ wären es 66,74 V.
  
  $R_{s} \leq \frac{( 60 - 12 . 738 ) V}{0 . 03 A} = 1575 Ω \Rightarrow 1.5 kΩ : 57.74 V$
4. Der Strom klingt nun über R + Rₛ = 1.900 Ω ab, mit der Zeitkonstante L ÷ 1.900 Ω = 74,80 µs. Nimmst du für die Durchlassspannung der Diode konstant 0,738 V an, gilt i = (I₀ + V_D/R′)e^(−t/τ′) − V_D/R′ mit V_D/R′ = 0,3885 mA. Der Strom erreicht 3 mA nach t = 74,80 µs × ln(30,39 ÷ 3,388) = 164,1 µs.
  
  $τ^{'} = \frac{L}{R + R _{s}} = \frac{0 . 1421 H}{1900 Ω} = 74.80 μ s, t = τ^{'} ln \frac{30 . 39}{3 . 388} = 164.1 μ s$
5. Wähle in der Simulation „Diode + Widerstand“ und stell Rₛ = 1.500 Ω ein. Die Simulation berücksichtigt die tatsächliche Diodenkennlinie und ergibt 164,5 µs. Mit der Diode allein waren es 674,7 µs. Der Widerstand verkürzt die Abklingzeit also um den Faktor 4,10.
  
  $\frac{674 . 7 μ s}{164 . 5 μ s} = 4.10$
6. Von den 63,96 µJ nimmt der Widerstand 49,29 µJ auf, also 77,07 %. Unmittelbar nach dem Öffnen des Schalters setzt er die Leistung I₀²Rₛ = (30 mA)² × 1.500 Ω = 1,350 W in Wärme um. Wenige Hundert Mikrosekunden später ist es fast nichts mehr.
  
  $\int R_{s} i^{2} d t = 49.29 μ J (77 . 07%), I_{0}^{2} R_{s} = 1.350 W$
Antwort

1,5 kΩ ergeben am Schalter 57,74 V. Das liegt 2,26 V unter seiner Spannungsfestigkeit. Der Strom klingt in 164,5 µs statt in 674,7 µs auf ein Zehntel ab, und der Widerstand nimmt bei jedem Abschalten 49,29 µJ auf. Die Simulation endet nach einem einzelnen Schaltvorgang. Schaltest du das Relais zehnmal pro Sekunde, beträgt die mittlere Leistung am Widerstand 49,29 µJ × 10 pro Sekunde = 0,4929 mW. Die anfänglichen 1,350 W klingen innerhalb weniger Hundert Mikrosekunden ab.

$R_{s} = 1.5 kΩ : 57.74 V, 164.5 μ s, 49.29 μ J; 10 Hz : 0.4929 mW$

Lernpfad

Was kein Widerstand ist

Quellen (1)

v = L di/dt, the long-solenoid inductance, ½LI² and the RL time constant in the definition and the results table: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2. OpenStax. §14.2 "Self-Inductance and Inductors" (Equations 14.10 and 14.13), §14.3 "Energy in a Magnetic Field" (Equation 14.20) and §14.4 "RL Circuits" (Equations 14.24 and 14.25).

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.