PID-Regler-Tuner

Stelle einen PID-Regler ein und beobachte, wie der Ausgang einer Sprungführung durch eine PT1-Regelstrecke folgt.

Startwerte — PID-Regler-Tuner

Kp	1.2
Ki	0.4
Kd	0.1
Tau	1
Streckenverstärkung	1
Sollwert	1

Ändere oben einen Regler, und die Ergebnisse werden neu berechnet.

Interaktive Simulation wird geladen...

Bei einer Strecke erster Ordnung hat der D-Anteil nichts zu dämpfen 🖖

Der Proportionalanteil reagiert auf die aktuelle Regelabweichung, der Integralanteil beseitigt die bleibende Abweichung. Beobachte zunächst nur den P-Anteil: Bei k_p = 1,2 pendelt sich der Ausgang bei 0,5455 ein und bleibt dort. Sein Wert entspricht dauerhaft genau k_p/(1 + k_p). Mit k_i schließt sich die verbleibende Lücke. Der D-Anteil nimmt bei dieser Strecke eine Sonderrolle ein, denn k_d·de/dt führt die Änderungsrate des Ausgangs selbst zurück: Der Regelkreis wird zu (τ + k·k_d)ẏ = −y + k(k_pe + k_i∫e). Dadurch vergrößert sich die Zeitkonstante, ohne dass etwas gedämpft wird. Ist der Integralanteil aktiv, summiert eine langsamere Regelung die Abweichung länger auf. Erhöhst du bei k_p = 1,3 und k_i = 2,5 den Wert von k_d von 0 auf 0,6, steigt das Überschwingen von 6,6 % auf 14,6 %. Der D-Anteil ist bei Systemen sinnvoll, deren Trägheit er entgegenwirken kann. Diese Strecke besitzt keine.

Regeln über die Abweichung, nicht das Ziel 🖖

Der Regler erhält den Sollwert nie als unmittelbaren Befehl. Er kennt nur die Regelabweichung, also den Abstand zwischen dem aktuellen Ausgangswert und deinem gewünschten Wert. Jede Stellgröße ist eine Reaktion auf diesen Abstand und soll ihn gegen null führen. Beobachte die Sprungantwort: Der Sollwert springt, die Regelabweichung ist groß und der Regler greift kräftig ein. Je näher der Ausgang dem Sollwert kommt, desto mehr nimmt er die Stellgröße zurück. Gute Regelung reagiert auf die Abweichung, statt den perfekten Stellbefehl im Voraus zu kennen.

Aus dem Blick auf einen Rudergänger geboren 🖖

Das Dreiterm-Rezept wurde nicht zuerst aus Gleichungen abgeleitet. 1922 entwickelte Nicolas Minorsky die PID-Regelung, indem er einem erfahrenen Rudergänger beim Steuern des Schlachtschiffs USS New Mexico zusah. Er bemerkte, dass der Seemann nicht nur korrigierte, wie weit das Schiff vom Kurs abwich (proportional), sondern auch, wie lange es schon abgetrieben war (integral) und wie schnell sich der Kurs änderte (derivativ). Die automatische Steuerung ahmte den menschlichen Instinkt nach, bevor die Theorie nachzog.

Aufgaben vollständig gelöst

Wo sich ein Regler mit ausschließlich proportionaler Verstärkung tatsächlich einpendelt 5 Schritte
Ein Regler mit reinem Proportionalanteil soll eine Ausgangsgröße auf 1 halten. Bestimmen Sie, wo er sich tatsächlich einpendelt, und finden Sie heraus, warum in der Zeile für die Anstiegszeit steht, dass der Zielwert nie erreicht wurde. Dies ist Nur P: K_p = 1,2, K_i = 0, K_d = 0, Streckenzeitkonstante τ = 1 s, Streckenverstärkung K = 1, Sollwert r = 1.
1. Drei Zusammenhänge schließen den Regelkreis zu einer einzigen Gleichung. Der Regler wirkt mit dem K_p-fachen der Regelabweichung, die Strecke treibt dem K-fachen dessen entgegen, womit sie angesteuert wird, und die Regelabweichung ist das, was vom Sollwert nach Abzug der Ausgangsgröße verbleibt. Durch Einsetzen der letzten beiden Aussagen in die erste bleibt eine Beziehung, in der y nur noch mit sich selbst verknüpft ist.
  
  $τ \frac{d y}{d t} = - y + K u, u = K_{p} e, e = r - y ⟹ τ \frac{d y}{d t} = - y + K K_{p} (r - y)$
2. Eingeschwungen bedeutet, dass die Ableitung 0 ist, was die Differentialgleichung in eine einfache Kopfrechnung verwandelt. Die Verstärkung tritt zweimal auf — einmal im Zähler und einmal in der Summe darunter — und das macht bereits die gesamte Struktur der Lösung aus.
  
  $\frac{d y}{d t} = 0 : y_{\infty} = \frac{K K _{p}}{1 + K K _{p}} r = \frac{1.2}{2.2} = 0.5455$
3. Subtrahieren Sie, um die verbleibende Regelabweichung zu erhalten, und beobachten Sie, wie sich r aus dem Bruch kürzt. Die bleibende Abweichung ist ein Bruchteil des jeweils geforderten Werts, kein fester Betrag: Verlangen Sie 100, verfehlen Sie das Ziel um 45,45; verlangen Sie 1, verfehlen Sie es um 0,4545. Dies ist eine Eigenschaft des Regelkreises, nicht der Anforderung.
  
  $e_{\infty} = r - y_{\infty} = \frac{r}{1 + K K _{p}} = \frac{1}{2.2} = 0.4545$
4. Warum der Regelkreis kein besseres Ergebnis erzielen kann, lässt sich in einer Zeile erklären, und das bildet den Kern der gesamten Aufgabenstellung. Die einzige Stellgröße des Reglers ist das K_p-fache der Regelabweichung. Eine Regelabweichung von null führt zu keinerlei Ansteuerung, und ohne Ansteuerung verharrt die Strecke bei null. Der Regler benötigt eine dauerhafte Regelabweichung, um die ständige Ansteuerung zu erzeugen, die y aufrechterhält — überprüfen Sie es: Die Ansteuerung im eingeschwungenen Zustand beträgt 0,5455, was exakt der gehaltenen Ausgangsgröße entspricht. Die bleibende Regelabweichung ist keine schlechte Einstellung, sie ist das Funktionsprinzip.
  
  $u_{\infty} = K_{p} e_{\infty} = 1.2 \times 0.4545 = 0.5455 = \frac{y _{\infty}}{K}$
5. Das erklärt auch die leere Zeile. Die Anstiegszeit ist der erste Zeitpunkt, an dem y den Wert 0,9r erreicht, und y kann seine eigene Obergrenze von 0,5455 niemals überschreiten. Die Anzeige teilt Ihnen also nicht mit, dass der Regelkreis langsam ist — sie zeigt Ihnen, dass das Ziel über dieser Obergrenze liegt. Löst man nach der Verstärkung auf, die die Obergrenze auf 0,9 anhebt, erhält man 9; somit führt jedes K_p unter 9 zu genau derselben Lücke.
  
  $\frac{K K _{p}}{1 + K K _{p}} \geq 0.9 ⟺ K_{p} \geq \frac{9}{K} = 9$
Antwort

Das Werkzeug gibt y(10 s) = 0,55 und eine stationäre Regelabweichung von 0,455 aus, wobei sowohl Anstiegszeit als auch Ausregelzeit unerreicht bleiben. Nun der Haken: Der Faktor 1 + K·K_p = 2,2, durch den die Regelabweichung geteilt wird, teilt auch die Zeitkonstante der Strecke; dieser Regelkreis erreicht sein falsches Ergebnis somit in 0,4545 s statt in den 1 s der Strecke selbst. Geschwindigkeit und Genauigkeit hängen am selben Stellrad, und dieses Stellrad ist teuer: Um die Regelabweichung auf 1 % zu drücken, ist K_p ≥ 99 erforderlich, und bei t = 0 entspricht die Regelabweichung dem vollen Sollwert, sodass der Regler zu Beginn das 99-fache der Ausgangsgröße fordert, die er zu erzeugen versucht. Ein Proportionalbeiwert beseitigt die bleibende Regelabweichung nie — er macht sie lediglich klein genug, um ignoriert zu werden, und fordert dafür eine heftige Auftaktbewegung. Ihre Beseitigung erfordert einen Anteil, der weiter ansteuert, wenn sich die Regelabweichung nicht mehr ändert.

$e_{\infty} = \frac{r}{1 + K K _{p}}, τ^{'} = \frac{τ}{1 + K K _{p}} = \frac{1.00}{2.2} = 0.4545 s$
Wie viel Abweichung einen Integrator nach 10 s übersteht 5 Schritte
Ein Integrator soll die bleibende Regelabweichung verschwinden lassen. Bestimmen Sie, wie viel davon nach 10 s noch vorhanden ist, und ermitteln Sie die Verstärkung, bei der dieser Regelkreis stattdessen zu schwingen beginnen würde. Dies ist PI: K_p = 1, K_i = 0,6, K_d = 0, τ = 1 s, K = 1, r = 1.
1. Dass die bleibende Regelabweichung verschwindet, ist eine prinzipielle Überlegung, keine Rechnung. Angenommen, der Regelkreis schwingt sich mit einer konstanten Regelabweichung ungleich 0 ein. Dann wächst sein laufendes Integral unbeschränkt, somit wächst die Ansteuerung unbeschränkt und folglich auch die Ausgangsgröße unbeschränkt — was kein eingeschwungener Zustand ist. Die einzige konstante Regelabweichung, die ein eingeschwungener PI-Regelkreis haben kann, ist 0, unabhängig von den Verstärkungen.
  
  $\overset{y}{˙} = 0, e \equiv c \neq = 0 : \int_{0}^{t} e d t = c t \to \infty ⟹ u \to \infty ⟹ c = 0$
2. Zu wissen, dass das Ziel erreicht wird, sagt nichts darüber aus, wann dies geschieht. Differenzieren Sie die Regelkreisgleichung einmal, um das Integralzeichen zu eliminieren, und beachten Sie, was mit der Ordnung geschehen ist: Eine Strecke erster Ordnung unter PI-Regelung ist ein System zweiter Ordnung mit all dem Verhalten, das dies impliziert.
  
  $τ \overset{y}{˙} = - y + K (K_{p} e + K_{i} \int e d t), \overset{e}{˙} = - \overset{y}{˙} ⟹ τ \overset{y}{¨} + (1 + K K_{p}) \overset{y}{˙} + K K_{i} y = K K_{i} r$
3. Die Regelabweichung gehorcht derselben Gleichung ohne die Anregung durch den Sollwert; sie ist somit eine Summe von Exponentialfunktionen, deren Abklingraten den Wurzeln entsprechen. Hier ist die Diskriminante positiv, beide Wurzeln sind reell und negativ, und es gibt keinen Schwingungsanteil — weshalb in der Zeile für das Überschwingen 0,0 % statt eines kleinen Prozentwerts steht.
  
  $\overset{e}{¨} + 2 \overset{e}{˙} + 0.6 e = 0, s = - 1 \pm 1 - 0.6 = - 0.3675, - 1.6325$
4. Zwei Anfangsbedingungen legen die beiden Gewichtungen fest. Bei t = 0 hat sich noch nichts bewegt, sodass die Regelabweichung dem gesamten Sollwert entspricht; und die Anfangssteigung der Strecke beträgt K·K_p·r/τ = 1, womit die Anfangssteigung der Regelabweichung -1 ist. Löst man das Gleichungssystem, ergeben sich beide Gewichtungen zu exakt 0,5, was ein Zufall dieser speziellen Verstärkungswerte ist und kein allgemeines Ergebnis.
  
  $e (0) = 1, \overset{e}{˙} (0) = - \frac{K K _{p} r}{τ} = - 1 ⟹ e (t) = 0.5 e^{- 0.3675 t} + 0.5 e^{- 1.6325 t}$
5. Nach 10 s ist die schnelle Wurzel längst abgeklungen — ihr Term ist auf 4×10⁻⁸ gesunken —, sodass die langsame die gesamte Antwort ausmacht und ihr nur 3,7 ihrer eigenen Zeitkonstanten zur Verfügung standen. Es ist nichts schiefgegangen; der Regelkreis ist schlichtweg noch unterwegs.
  
  $e (10) = 0.5 e^{- 3.675} + 0.5 e^{- 16.325} = 0.01268 + 4 \times 1 0^{- 8} = 0.0127, y (10) = 0.9873$
Antwort

Das Werkzeug gibt y(10 s) = 0,99 und eine verbleibende Regelabweichung von 0,013 aus. Die Regelabweichung verschwindet zwar, liegt am Ende des Zeitfensters aber immer noch bei 1,3 %, und das ist der ehrliche Preis der Integralwirkung: Sie beseitigt die Abweichung im Prinzip und braucht in der Praxis ihre Zeit. Das Erreichen von 0,1 % erfordert ln(500)/0,3675 = 16,9 s, was jenseits des rechten Diagrammrands liegt; dieses Fenster kann Ihnen einen fertig eingeschwungenen PI-Regelkreis bei diesen Verstärkungen also nicht zeigen. Erhöht man K_i, um ihn zu beschleunigen, stößt man an eine Grenze — die Diskriminante wird bei K_i = 1 negativ, woraufhin die Wurzeln komplex sind und die Antwort schwingt. Der tiefere Unterschied wiegt schwerer als jede der beiden Zahlen. Die bleibende Abweichung beim P-Regler betrug r/(1 + K·K_p), was die Streckenverstärkung enthält; ein verschmutztes Ventil oder ein schwächer werdender Motor verändert somit das Ergebnis: Halbiert man K, wächst die Fehlmenge beim reinen P-Regler von 0,455 auf 0,625. Der Einschwingpunkt des PI-Reglers enthält überhaupt kein K. Deshalb besitzen industrielle Regelkreise einen Integrator — nicht weil er heute genauer ist, sondern weil er genau bleibt, wenn sich die Strecke darunter verändert.

$(1 + K K_{p})^{2} - 4 τ K K_{i} \geq 0 ⟺ K_{i} \leq \frac{( 1 + K K _{p} ) ^{2}}{4 τ K} = 1$

Quellen (1)

Insight block 3 — the helmsman, and the three terms taken from watching him: N. Minorsky, "Directional stability of automatically steered bodies." Journal of the American Society for Naval Engineers 34(2), 280–309, 1922.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-05-31

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Beispielaufgaben

Nur P - Mit kp = 1,2 allein pendelt sich der Ausgang bei 0,5455 ein und bleibt dort. Die Abweichung von 45,5 % entspricht genau kp/(1 + kp). Ein reiner P-Regler kann die letzte Lücke nicht schließen.
PI - Dieselbe Strecke erreicht mit dem zusätzlichen Wert ki = 0,6 nach zehn Sekunden 0,9873 und nähert sich weiter dem Sollwert. Erst der Integralanteil beseitigt die Abweichung, die beim reinen P-Regler bestehen bleibt.
mit D-Anteil - Mit kd = 0,2 zusätzlich zu kp = 1,3 und ki = 0,5 ändert sich kaum etwas: Nach zehn Sekunden liegt der Ausgang bei 0,9663, beim PI-Regler dagegen bei 0,9873. Bei einer Strecke erster Ordnung bewirkt der D-Anteil eine zusätzliche Verzögerung statt einer Dämpfung.