Interaktive Mathe- und Wissenschafts-Lektionen

← Physik

Operationsverstärker & Gegenkopplung

Baue aus zwei Widerständen eine nichtinvertierende oder invertierende Verstärkerstufe. Gib dem OPV eine endliche Verstärkung und Bandbreite und lege ein Sinussignal an. Geh die Schwingung Schritt für Schritt durch: An jedem Knoten kannst du die Spannung ablesen, auch die kleine Differenz zwischen den beiden Eingängen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Lektion

Die Theorie — Operationsverstärker & Gegenkopplung

Ein Operationsverstärker multipliziert die Spannungsdifferenz zwischen seinen beiden Eingängen mit einer sehr großen Leerlaufverstärkung A: Vout = A(V+ − V−). Die Ausgangsspannung wird dabei durch die Versorgungsspannungen begrenzt. Bei der Gegenkopplung wird der Anteil β = Rg/(Rg + Rf) der Ausgangsspannung auf den invertierenden Eingang zurückgeführt. Die nichtinvertierende Stufe erhält dadurch die Verstärkung G = (1/β)/(1 + 1/(Aβ)). Mit wachsendem A nähert sie sich 1 + Rf/Rg; bei der invertierenden Stufe nähert sich die Verstärkung −Rf/Rg. Das Produkt Aβ heißt Schleifenverstärkung. In einem Modell mit einer Polstelle nimmt A mit der Frequenz gemäß A(f) = A₀/(1 + j f A₀/GBW) ab. Das Verstärkungs-Bandbreiten-Produkt GBW ist das Produkt aus A₀ und der Polfrequenz im Leerlauf. Es entspricht nahezu der Frequenz, bei der die Leerlaufverstärkung auf 1 gefallen ist.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

A
Leerlaufverstärkung des OPV: der Faktor, mit dem er V+ − V− multipliziert. A₀ bezeichnet den Wert bei Gleichspannung. Mit zunehmender Frequenz nimmt die Leerlaufverstärkung ab
β
Rückkopplungsfaktor Rg/(Rg + Rf): der Anteil der Ausgangsspannung, der auf den invertierenden Eingang zurückgeführt wird
Aβ
Schleifenverstärkung. Die relative Abweichung der Stufe von ihrer idealen Verstärkung beträgt genau 1/(1 + Aβ)
GBW
Verstärkungs-Bandbreiten-Produkt in Hertz: A₀ mal Polfrequenz im Leerlauf. Es entspricht nahezu der Frequenz, bei der die Leerlaufverstärkung auf 1 gefallen ist
Setzt voraus
Das Modell berücksichtigt genau eine Polstelle. Es gibt keine Begrenzung der Spannungsänderungsgeschwindigkeit, keine Eingangs-Offsetspannung und keinen Eingangsruhestrom. Eine zweite Polstelle fehlt ebenfalls. Die Widerstände haben exakt die angegebenen Werte, und der Ausgang lässt sich bis zu den Versorgungsspannungen aussteuern. Die begrenzte Kurve entsteht, indem der eingeschwungene, unbegrenzte Verlauf an den Versorgungsspannungen abgeschnitten wird. Das setzt voraus, dass der OPV die Sättigung sofort verlässt, sobald das Signal es zulässt; ein realer OPV braucht dafür Zeit. Bei vertauschten Eingängen wird das Umschalten zwischen den Versorgungsspannungen als sofortiger Sprung dargestellt.

Halbierst du die Leerlaufverstärkung, ändert sich erst die vierte Ziffer 🖖

Die erste Stufe soll um den Faktor 10 verstärken. Mit einer Leerlaufverstärkung von 100.000 erreicht sie 9,9990. Die Ergebnistabelle berechnet auch den Wert für ein halbiertes A: 9,9980. Eine Änderung der Leerlaufverstärkung um 50 % verändert die Verstärkung der Stufe also nur um 0,01 %. Ihre relative Abweichung von 1 + Rf/Rg beträgt genau 1/(1 + Aβ). Bei Aβ = 10.000 ist das ein Hundertstel Prozent. Halbierst oder verdoppelst du A, verdoppelt oder halbiert sich lediglich dieses Hundertstel Prozent. Die Verstärkung wird damit fast vollständig von den beiden Widerständen bestimmt, die mit einer Toleranz von 0,1 % erhältlich sind. Der OPV hat darauf kaum Einfluss. Harold Black beschrieb diesen Zusammenhang 1934 für Verstärker in Trägerfrequenz-Telefonsystemen: Seine gegengekoppelten Verstärker hielten ihre Verstärkung innerhalb von 0,01 dB, während die Anodenversorgung zwischen 240 und 260 V schwankte. Bei einem gewöhnlichen Verstärker änderte sich die Verstärkung dabei um 0,7 dB. Dafür wird ein großer Teil der verfügbaren Verstärkung aufgegeben. Soll derselbe OPV eine ×1000-Stufe antreiben, sinkt Aβ auf 100. Sie erreicht nur 990,10, volle 1 % unter dem Idealwert. Das siehst du in der letzten Zeile der zweiten Tabelle.

Bei einem Hertz beträgt der virtuelle Kurzschluss hundert Mikrovolt 🖖

Nach der üblichen Faustregel liegen die beiden Eingänge eines gegengekoppelten OPV auf derselben Spannung. Tatsächlich erreicht ihre Spannungsdifferenz am Scheitelpunkt |Vout| / |A(f)|. Wenn du die Schwingung schrittweise durchgehst, zeigt die Schaltung diesen Wert an: 100,49 µV am Scheitelpunkt der ersten Voreinstellung. Klick nun auf Gleiche Stufe, 1 kHz. Der Ausgang hat sich kaum verändert, doch die Eingangsdifferenz beträgt jetzt 9,999 mV, das Hundertfache. A in Vout / A bezeichnet die Leerlaufverstärkung bei der Signalfrequenz. Ein OPV mit einer Gleichspannungsverstärkung von 100.000 und einem Verstärkungs-Bandbreiten-Produkt von 1 MHz liegt schon bei 10 Hz um 3 dB unter seinem Gleichspannungswert. Bei 1 kHz bleiben etwa 1.000 übrig. Die gestrichelte Linie im Frequenzgang zeigt diesen Abfall. Klick anschließend auf An der Aussteuergrenze. Der Ausgang müsste 19,998 V erreichen, wird aber bei 15 V begrenzt. Dort kann die Gegenkopplung die Eingangsspannungen nicht mehr aneinander angleichen: Ihre Differenz beträgt 0,5000 V. Die Gegenkopplung hält diese Differenz nur klein, solange sich die Ausgangsspannung ändern kann. Wer bei einer übersteuerten Stufe einen virtuellen Kurzschluss annimmt, liegt um ganze Volt daneben.

Spannungsfolger und invertierende Stufe: gleicher Verstärkungsbetrag, doppelte Bandbreite 🖖

Klick auf ×100 bei 20 kHz. Die Bandbreite beträgt 10.010 Hz, die Gleichspannungsverstärkung 99,9001. Ihr Produkt ergibt bis auf die letzte Ziffer 1.000.000 Hz, das Verstärkungs-Bandbreiten-Produkt des OPV. Bei einem Modell mit einer Polstelle gilt diese Identität für jede nichtinvertierende Stufe. Deshalb enden vier Zeilen der zweiten Tabelle mit derselben Zahl. Für die invertierenden Stufen gilt sie nicht. Die Stufe mit der Verstärkung −1 erreicht 500.010 Hz, der Spannungsfolger mit der Verstärkung +1 dagegen 1.000.010 Hz. Entscheidend für die Bandbreite ist 1/β: die Verstärkung, die dieselben beiden Widerstände bei einem Signal am nichtinvertierenden Eingang ergeben würden. Bei einer invertierenden Stufe mit der Verstärkung −1 ist dieser Wert 2. Eine invertierende Stufe beansprucht also stets eine Verstärkungseinheit mehr, als sie tatsächlich liefert. Das kostet bei ×−100 etwa 1 % der Bandbreite, bei ×−1 die Hälfte.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. 20 kHz durch einen ×100-Vorverstärker 6 Schritte

    Ein Sensor liefert 50 mV. Das Signal soll bei Frequenzen bis 20 kHz auf 5 V verstärkt werden. Deine OPV haben A₀ = 100.000 und ein Verstärkungs-Bandbreiten-Produkt von 1 MHz. Reicht eine nichtinvertierende ×100-Stufe mit Rf = 99 kΩ und Rg = 1 kΩ aus? Falls nicht, welche Schaltung eignet sich?

    Öffne diese Aufgabe im Tool

    1. β = 1/(1 + 99) = 0,01. Damit ist Aβ = 1.000, und die Gleichspannungsverstärkung beträgt 100/(1 + 1/1.000) = 99,9001. Bei niedrigen Frequenzen werden aus 50 mV also 4,9950 V. Zu 5 V fehlen die 0,1 %, die sich aus 1/(1 + Aβ) ergeben.

    2. Die Polfrequenz des OPV im Leerlauf liegt bei GBW/A₀ = 10 Hz. Die Gegenkopplung erhöht sie um den Faktor 1 + Aβ = 1.001 auf 10.010 Hz. Das ist die Bandbreite der Stufe. Ihr Produkt mit der Verstärkung beträgt 99,9001 × 10.010 = 1.000.000 Hz.

    3. Bei 20 kHz, also etwa der doppelten Bandbreite, beträgt die Verstärkung 99,9001/√(1 + (20.000/10.010)²) = 44,7124. Die Ausgangsamplitude erreicht damit 2,2356 V, weniger als die Hälfte des Zielwerts.

    4. Verteile die Verstärkung auf zwei ×10-Stufen mit jeweils Rf = 9 kΩ und Rg = 1 kΩ. Jede hat Aβ = 10.000, eine Gleichspannungsverstärkung von 9,9990 und eine Bandbreite von 100.010 Hz. Das ist die zehnfache Bandbreite der einzelnen ×100-Stufe. Stell im Werkzeug eine solche ×10-Stufe bei 20 kHz ein: Du liest eine Verstärkung von 9,8049 ab.

    5. Bei hintereinandergeschalteten Stufen multiplizieren sich die Verstärkungen: 9,8049² ≈ 96,14. Aus 50 mV werden bei 20 kHz somit 4,8068 V.

    6. Die Gesamtschaltung hat zwei Polstellen bei 100.010 Hz. Ihre −3-dB-Grenze liegt unter der jeder einzelnen Stufe. Der quadrierte Amplitudengang der einzelnen Stufe ist um den Faktor √2 gefallen, wenn 1 + (f/100.010)² = √2 gilt. Daraus folgt f = 100.010 · √(√2 − 1) = 64.366 Hz.

    Antwort

    Eine ×100-Stufe liefert bei 20 kHz 2,2356 V; zwei ×10-Stufen liefern 4,8068 V. Das sind 96 % des Zielwerts. Die Gesamtschaltung erreicht ihre −3-dB-Grenze bei 64.366 Hz. Jeder OPV bringt sein eigenes Verstärkungs-Bandbreiten-Produkt ein. Deshalb hat jede ×10-Stufe die zehnfache Bandbreite der ×100-Stufe; zusammen erreichen sie die 6,4-fache Bandbreite. Das Werkzeug zeigt jeweils eine Stufe. Für die Hintereinanderschaltung rechnest du mit den angezeigten Werten weiter. Der letzte Schritt macht deutlich, weshalb: Zwei identische Stufen zusammen haben eine geringere Bandbreite als eine einzelne.

Lernpfad

Was kein Widerstand ist

Quellen (1)

· Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.