Kondensatoren & gespeicherte Energie

Stell Kapazität, Quellenspannung und Widerstand ein. Wähle, in wie vielen Stufen die Spannung steigen soll, und verfolge den Ladevorgang: Wie viel Energie speichert der Kondensator, wie viel wird zu Wärme? Weiter unten kannst du die Platten eines Kondensators auseinanderziehen und vergleichen, was bei abgeklemmter und bei angeschlossener Batterie geschieht.

Rechenbeispiel — Kondensatoren & gespeicherte Energie

Ladung des Kondensators	1,200 mC
Gespeicherte Energie	7,200 mJ
Der Quelle entnommene Energie	14,40 mJ
Wärme im Widerstand	7,200 mJ
Gespeicherter Anteil der zugeführten Energie	50,00%
Kapazität zu Beginn	354,2 pF
Gespeicherte Energie zu Beginn	1,771 µJ
Kapazität nach der Bewegung	118,1 pF

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Kondensatoren & gespeicherte Energie

Ein Kondensator besteht aus zwei Leitern, die durch einen Isolator getrennt sind. Trägt der eine die Ladung +Q und der andere −Q, liegt zwischen ihnen eine Spannung V an. Das Verhältnis C = Q/V heißt Kapazität und wird in Farad angegeben. Für zwei ebene Platten mit der Fläche A und dem Abstand d gilt C = ε₀εᵣA/d. Ein geladener Kondensator speichert die Energie U = ½CV² = Q²/2C. Eine Quelle mit der festen Spannung V liefert zum Übertragen der Ladung Q die Energie QV. Das ist doppelt so viel, wie am Ende gespeichert ist.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

C: Kapazität in Farad: Ladung pro Volt. Ein Farad ist sehr groß; auf dieser Seite liegen die Kapazitäten im Bereich von Mikrofarad und Pikofarad
Q: Ladung auf einer Platte in Coulomb. Die Ladungen der beiden Platten sind betragsgleich und haben entgegengesetzte Vorzeichen
V: Spannung zwischen den Platten. Bei einer Quelle bezeichnet V die Spannung, die sie unabhängig vom fließenden Strom hält
U: Energie, die im Feld zwischen den Platten gespeichert ist, in Joule
εᵣ: relative Permittivität des Materials zwischen den Platten: 1 im Vakuum, nahezu 1 in Luft. Sie gibt an, um welchen Faktor ein Isolator die Kapazität erhöht
d: Abstand zwischen den Platten. Die Kapazität ist proportional zu 1/d; bei halbem Abstand ist sie doppelt so groß
N: Anzahl der gleich großen Stufen, in denen die Quellenspannung steigt. Jeder Spannungssprung beträgt V/N

Setzt voraus: Wir rechnen mit idealen Bauteilen: Der Kondensator hat weder Leckstrom noch Eigenwiderstand, die Quelle hält ihre Spannung exakt, und der Widerstand folgt dem ohmschen Gesetz. Vor jeder neuen Spannungsstufe warten wir 15 Zeitkonstanten. Dann fehlen nur noch 3 von 10 Millionen Teilen des jeweiligen Ladevorgangs. Auch die Platten sind idealisiert. Das Feld zwischen ihnen gilt als homogen; das nach außen gewölbte Randfeld wird vernachlässigt. Das ist eine gute Näherung, solange der Abstand klein gegenüber der Plattenbreite ist. Die Platte bewegt sich langsam, sodass der Strom zur Batterie oder von ihr keine Wärme erzeugt.

Zehn Stufen, ein Zehntel des Wärmeverlusts 🖖

Klick auf Zehn Stufen. Am Ende hat der Kondensator wie nach einem einzigen Sprung eine Spannung von 12 V und speichert 7,200 mJ. Im Widerstand entstehen aber nur 720,0 µJ Wärme statt 7,200 mJ. Jeder Sprung verursacht einen Wärmeverlust von ½C(ΔV)². Entscheidend ist das Quadrat: 10 Sprünge um jeweils 1,2 V ergeben 10 × ½C(1,2 V)², also ein Zehntel von ½C(12 V)². Der gespeicherte Anteil der zugeführten Energie steigt von 1/2 auf N/(N+1). Bei 10 Stufen sind das 90,91 %, bei 100 Stufen 99,01 %. Steigt die Quellenspannung stetig und langsam genug, geht fast keine Energie verloren. In der Schaltungstechnik heißt dieses Verfahren stufenweises Laden. Es gehört zu den adiabatischen Verfahren, mit denen kapazitive Lasten angesteuert werden, etwa die Gates großer Leistungstransistoren, Taktleitungen und Berührungssensoren.

Der Widerstand bestimmt die Ladedauer, der Wärmeverlust bleibt gleich 🖖

Klick auf Über 10 Ω, dann auf Über 1 MΩ. Unmittelbar nach dem Spannungssprung fließen im ersten Fall 1,200 A, im zweiten 12,00 µA. Die Stromstärken unterscheiden sich um den Faktor 100.000, die anfänglichen Wärmeleistungen um denselben Faktor. In der Wärmezeile steht beide Male 7,200 mJ. Bei kleinem Widerstand wird die Energie in einem kurzen, starken Impuls umgesetzt, bei großem Widerstand über eine lange Zeit mit geringer Leistung. Die Fläche unter der Leistungskurve I²R ist gleich. Das lässt sich an der Ladung verstehen: Jedes Coulomb verlässt die Quelle bei vollen 12 V. Die Kondensatorspannung beträgt dagegen, über die übertragene Ladung gemittelt, 6 V. Die Energiedifferenz wird auf dem Weg zum Kondensator in Wärme umgewandelt. Der Widerstandswert kommt in dieser Bilanz nicht vor.

Beim Auseinanderziehen kann die gespeicherte Energie sinken 🖖

Klick auf Dreifacher Abstand. Links wurde die Batterie vorher abgeklemmt, sodass die Ladung auf den Platten bleibt. Die Feldstärke zwischen ihnen hängt nur von dieser Ladung ab und bleibt bei 100 kV/m. Die Spannung ist Feldstärke mal Abstand und verdreifacht sich deshalb auf 300,0 V. Auch die gespeicherte Energie verdreifacht sich. Den Zuwachs lieferst du durch deine Arbeit beim Ziehen: 3,542 µJ. Rechts hält die Batterie die Spannung bei 100 V. Die Kapazität sinkt auf ein Drittel, zwei Drittel der Ladung fließen zurück zur Batterie, und die gespeicherte Energie fällt auf 590,3 nJ. Die Platten ziehen sich weiterhin an. Du verrichtest also auch hier Arbeit: 1,181 µJ, genau so viel, wie der Kondensator an Energie verliert. Beide Beiträge laden die Batterie wieder auf. Sie erhält 2,361 µJ, das Doppelte deiner Arbeit. Dieser Faktor gilt unabhängig von Plattenfläche, Spannung und den beiden Abständen.

Aufgabe vollständig gelöst

Die beste Zwischenspannung 6 Schritte
Ein Kondensator mit 100 µF soll über 1 kΩ auf 12 V geladen werden. Das Netzteil hat einen freien Ausgang, den du vorher zuschalten kannst. Wie viel Wärme entsteht bei einem einzigen Sprung auf 12 V? Wie viel, wenn der zusätzliche Ausgang 4 V liefert, und wie viel bei 6 V? Welche Spannung ist für eine einzige Zwischenstufe am besten? Wie viele gleich große Stufen brauchst du, damit der Wärmeverlust nur 1 % der gespeicherten Energie beträgt?

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Bei einem einzigen Sprung überträgt die Quelle 1,2 mC bei 12 V und liefert dabei 14,40 mJ. Der Kondensator speichert ½CV² = 7,200 mJ. Die übrigen 7,200 mJ werden im Widerstand zu Wärme. In der Simulation entspricht das N = 1.
  
  $Q = C V = 1.2 mC, Q V = 14.40 mJ, \frac{1}{2} C V^{2} = 7.200 mJ$
2. Ein Spannungssprung um ΔV verursacht beim Laden eines Kondensators einen Wärmeverlust von ½C(ΔV)². Das gilt unabhängig vom Widerstand und von der Anfangsspannung des Kondensators. Eine Zwischenstufe bei x Volt teilt den Ladevorgang in zwei Sprünge. Zusammen erzeugen sie die Wärme ½C[x² + (12 − x)²].
  
  $E_{heat} = \frac{1}{2} C [x^{2} + (12 - x)^{2}]$
3. Bei 4 V: ½ × 100 µF × (16 + 64) V² = 4,000 mJ. Eine Zwischenstufe bei 8 V ergibt denselben Wert; die beiden Sprünge tauschen nur ihre Reihenfolge.
  
  $x = 4 V : \frac{1}{2} \cdot 100 μ F \cdot (16 + 64) V^{2} = 4.000 mJ$
4. Bei 6 V: ½ × 100 µF × (36 + 36) V² = 3,600 mJ, die Hälfte des Wärmeverlusts bei einem einzigen Sprung. Stell in der Simulation N = 2 ein und vergleiche die Wärmezeile.
  
  $x = 6 V : \frac{1}{2} \cdot 100 μ F \cdot (36 + 36) V^{2} = 3.600 mJ$
5. Die beste Zwischenspannung liegt dort, wo x² + (12 − x)² am kleinsten ist. Die Ableitung 2x − 2(12 − x) wird bei x = 6 V null, also genau in der Mitte. Dasselbe Argument gilt für beliebig viele Sprünge: Ist ihre Summe V fest vorgegeben, wird die Summe ihrer Quadrate am kleinsten, wenn alle Sprünge gleich groß sind. Sie beträgt dann N(V/N)² = V²/N.
  
  $\frac{d}{d x} [x^{2} + (12 - x)^{2}] = 2 x - 2 (12 - x) = 0 \Rightarrow x = 6 V$
6. Gleich große Stufen ergeben also den geringsten Wärmeverlust. Deshalb bietet die Simulation nur solche Stufen an. Die entstehende Wärme ist dann die gespeicherte Energie geteilt durch N. Damit sie nur 1 % von 7,200 mJ beträgt, muss N mindestens 100 sein.
  
  $N (\frac{V}{N})^{2} = \frac{V ^{2}}{N}, \frac{7 . 200 mJ}{N} \leq 0.072 mJ \Rightarrow N \geq 100$
Antwort

7,200 mJ bei einem einzigen Sprung, 4,000 mJ über 4 V, 3,600 mJ über 6 V. Eine einzige Zwischenstufe liegt am besten in der Mitte. Bei mehreren Zwischenstufen sind gleiche Spannungsabstände optimal; dann gilt Wärme = ½CV²/N. Für einen Wärmeverlust von 1 % der gespeicherten Energie brauchst du 100 Stufen. In der letzten Zeile der Stufentabelle siehst du die verbleibenden 72,00 µJ. Ungleiche Stufen, etwa mit einer Zwischenspannung von 4 V, erzeugen immer mehr Wärme. Die Simulation bildet nur gleiche Stufen ab; mit der Quadratsumme aus Schritt 2 kannst du den zusätzlichen Verlust bei ungleichen Stufen berechnen.

$4.000 mJ (4 V) > 3.600 mJ (6 V), N = 100 : 72.00 μ J$

Lernpfad

Was kein Widerstand ist

Quellen (2)

The parallel-plate capacitance and the three forms of the stored energy in the definition and the results table: S. J. Ling, J. Sanny and W. Moebs, University Physics Volume 2. OpenStax. §8.1 "Capacitors and Capacitance" (Equation 8.3) and §8.3 "Energy Stored in a Capacitor" (Equation 8.10).
Stepwise charging as a real circuit technique, for the last sentence of the first insight: E. J. Carlson and J. R. Smith, "An Analytical Model for Stepwise Adiabatic Driver Energy Consumption." arXiv:2210.16680, 29 October 2022. §1.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.