Elektrisches-Feld-Visualisierer

Platziere Ladungen und beobachte elektrische Feldlinien und Äquipotentiallinien in Echtzeit.

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Ladungen (q,x,y; ...)	1,0,0
Feldlinien	on
Äquipotentiallinien	off

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Manche Wege durch dieses Feld sind völlig kostenlos 🖖

Schalte die Äquipotentiallinien ein, und das Bild erhält eine zweite Kurvenfamilie. Eine Ladung entlang eines dieser Ringe zu verschieben kostet genau null Arbeit — nicht wenig, sondern null — egal wie weit herum, denn jeder Punkt des Rings liegt auf demselben Potential. Genau das macht das Feld konservativ, und die Folgerung ist noch schärfer: Führe eine Ladung auf einer beliebigen geschlossenen Schleife, so verschlungen sie will, und die Gesamtarbeit ist wieder null. Beachte außerdem, dass sich Feldlinien und Äquipotentiallinien überall und in jeder Voreinstellung im rechten Winkel treffen. Das ist keine Zierde. Das Feld zeigt in die Richtung des steilsten Potentialabfalls, und die steilste Abfallrichtung steht immer senkrecht auf der Höhenlinie, auf der man steht.

Einen unsichtbaren Schub sichtbar machen 🖖

Dieses Werkzeug macht etwas Unsichtbares sichtbar — den elektrischen Einfluss rund um eine Ladung. Jede Linie zeichnet den Weg nach, den eine winzige positive Probeladung nehmen würde: weg von positiven, hin zu negativen Ladungen. Die nützlichste Angewohnheit ist, auf die Dichte zu achten. Wo sich Linien drängen, ist das Feld stark; wo sie auseinanderlaufen, ist es schwach. Liniendichte ist Kraft in Bildform.

Warum sich eine Ladung nicht in der Luft festhalten lässt 🖖

Platziere zwei gleichnamige Ladungen, und dazwischen entsteht ein Nullpunkt, an dem das Feld exakt null ist. Er sieht aus wie ein Ruheplatz — ist aber ein Sattelpunkt, keine Mulde: Ein kleiner Stoß, und die Probeladung entweicht. Das Earnshaw-Theorem (1842) beweist, dass keine feste Ladungsanordnung eine weitere Ladung in stabilem statischem Gleichgewicht halten kann. Dieselbe Mathematik verbietet es, einen Magneten allein mit Magneten schweben zu lassen — man braucht Rotation, Diamagnetismus oder aktive Regelung.

Aufgaben vollständig gelöst

Die Dipolanordnung mit zwei Ladungen im Abstand von 4 Einheiten 6 Schritte
Zwei gleich große Ladungen mit entgegengesetztem Vorzeichen befinden sich 4 Einheiten voneinander entfernt. Bestimmen Sie das Feld und das Potenzial im Mittelpunkt zwischen ihnen und untersuchen Sie anschließend, wie sich das Feld in großer Entfernung verhält. Dies ist die Anordnung Dipol: q₁ = +1 bei (-2, 0), q₂ = -1 bei (+2, 0), mit der Messsonde im Ursprung.
1. Superposition ist das Grundprinzip der Elektrostatik: Jede Ladung baut ihr Feld so auf, als wäre die andere nicht vorhanden, und man addiert die Vektoren. Der maßgebliche Vektor zeigt von der Ladung zur Messsonde, wodurch das Vorzeichen von q darüber entscheidet, ob das Feld von der Ladung weg oder zu ihr hin verläuft.
  
  $E (p) = i \sum q_{i} \frac{p - x _{i}}{∣ p - x _{i} ∣ ^{3}}, p = (0, 0)$
2. Die positive Ladung befindet sich 2 Einheiten links, sodass ihr Vektor zur Messsonde 2 Einheiten nach rechts zeigt, und die dritte Potenz von 2 im Nenner ergibt 0,250. Positive Ladung, nach außen gerichtetes Feld: Dieser Beitrag zeigt nach rechts.
  
  $q_{1} = + 1, x_{1} = (- 2, 0) : r_{1} = (2.000, 0.000), r_{1} = 2.000, E_{1} = \frac{+ 1 \cdot ( 2 , 0 )}{2 ^{3}} = (0.250, 0.000)$
3. Die negative Ladung befindet sich 2 Einheiten rechts, sodass ihr Vektor nach links zeigt – und q ist negativ, was die Richtung erneut umkehrt. Zwei Umkehrungen, und der Beitrag zeigt ebenfalls nach rechts. Innehalten an dieser Stelle: Die Ladungen befinden sich auf gegenüberliegenden Seiten der Messsonde und tragen entgegengesetzte Vorzeichen, und diese beiden Gegensätze heben einander auf, anstatt sich zu verstärken.
  
  $q_{2} = - 1, x_{2} = (2, 0) : r_{2} = (- 2.000, 0.000), r_{2} = 2.000, E_{2} = \frac{- 1 \cdot ( - 2 , 0 )}{2 ^{3}} = (0.250, 0.000)$
4. Die beiden Beiträge addieren sich also Spitze an Anfang, anstatt gegeneinander zu wirken, und das Paar liefert 0,500, wo jede Ladung für sich allein 0,250 liefern würde.
  
  $E = E_{1} + E_{2} = (0.500, 0.000), ∣ E ∣ = 0.500$
5. Das Potenzial verhält sich bei denselben beiden Ladungen genau umgekehrt. V ist ein Skalar, trägt also nur das Vorzeichen von q und sonst nichts, und die beiden Abstände sind gleich – die Terme lauten +0,500 und -0,500, und der Mittelpunkt liegt bei V = 0. Feld und Potenzial sind nicht zwei Messwerte derselben Größe: Hier verdoppelt sich die eine Größe, während die andere am selben Punkt verschwindet.
  
  $V = i \sum \frac{q _{i}}{r _{i}} = \frac{+ 1}{2.000} + \frac{- 1}{2.000} = 0.500 - 0.500 = 0.000$
6. Verlassen Sie nun den Mittelpunkt. Platzieren Sie die Messsonde in der Höhe y auf der Mittelsenkrechten, wo beide Ladungen gleich weit entfernt sind. Die vertikalen Komponenten heben sich aus Symmetriegründen auf und die horizontalen bleiben erhalten, was eine einzige Formel für die gesamte Linie ergibt. Setzt man darin y = 0 ein, muss sie den Wert reproduzieren, den Sie bereits haben – und das tut sie, woran man erkennt, dass die Formel dieselbe Physik beschreibt und keine neue.
  
  $p = (0, y) : E_{y} = 0, E_{x} = \frac{2 q a}{( a ^{2} + y ^{2} ) ^{3/2}}, a = 2; y = 0 : \frac{4}{8} = 0.500$
Antwort

Das Tool gibt |E| = 0,500 am Ursprung aus, zusammengesetzt aus zwei gleichgerichteten Beiträgen von 0,250, sowie V = 0,000 an demselben Punkt. Schritt 6 ist derjenige, den man sich merken sollte. Weit außerhalb heben sich die beiden 1/r²-Felder beinahe vollständig auf, und was übrig bleibt, wird durch den Abstand bestimmt und fällt wie 1/y³ ab – eine ganze Potenz des Abstands schneller als bei einer einzelnen Ladung. Das Verhältnis beträgt 2a/y = 4/y, sodass dieses Paar bei y = 20 knapp ein Fünftel dessen aufbringt, was eine einzelne Ladung derselben Größe dort erzeugen würde. Der Grund steht eine Zeile über dem Feld gedruckt: Q_total = 0,00. Der 1/r²-Term gehört zur Gesamtladung, und wenn diese null ist, bleibt nur noch der Abstand spürbar. Ein neutrales Paar ist nicht unsichtbar – es ist kurzreichweitig, und das sind zwei verschiedene Dinge.

$y ≫ a : E_{x} \to \frac{2 q a}{y ^{3}} = \frac{4}{y ^{3}}, \frac{E _{x}}{q / y ^{2}} = \frac{2 a}{y} = \frac{4}{y}; y = 20 : 0.2$
Zwei identische positive Ladungen im Abstand von 3 Einheiten 5 Schritte
Zwei identische positive Ladungen, 3 Einheiten voneinander entfernt. Bestimmen Sie das Feld und das Potenzial im Mittelpunkt und entscheiden Sie anschließend, ob eine dort losgelassene positive Testladung verbleiben würde. Dies ist die Anordnung Zwei +: q₁ = +1 bei (-1,5, 0), q₂ = +1 bei (+1,5, 0), Messsonde im Ursprung.
1. Gleiche Messsonde, gleiche Superposition, entgegengesetztes Ergebnis. Beide Ladungen sind 1,500 vom Ursprung entfernt und beide sind positiv, sodass die beiden Beiträge gleich groß sind und in genau entgegengesetzte Richtungen zeigen. Sie heben sich gegenseitig auf, und das Feld im Mittelpunkt ist 0.
  
  $E_{1} = \frac{( 1.500 , 0 )}{1. 5 ^{3}} = (0.444, 0.000), E_{2} = \frac{( - 1.500 , 0 )}{1. 5 ^{3}} = (- 0.444, 0.000) ⟹ ∣ E ∣ = 0.000$
2. Das Potenzial kann sich nicht aufheben, da ein Skalar keine Richtung hat, in der er sich aufheben könnte. Beide Terme betragen +0,667 und V ist 1,333. Ein Punkt, an dem E = 0, aber V ≠ 0 ist, ist kein Paradoxon: E ist die Steigung von V, und eine Steigung von null sagt nichts über die Höhe aus.
  
  $V = \frac{1}{1.500} + \frac{1}{1.500} = 0.667 + 0.667 = 1.333$
3. Eine Steigung von null entspricht einer Kuppe, einem Tal oder einem Pass, und nur an einer dieser drei Stellen bleibt ein Ball liegen. Verschieben Sie die Testladung um die Strecke x entlang der Verbindungslinie der Ladungen. Die nähere Ladung drückt nun stärker als die entferntere, die Differenz zeigt zurück zum Ursprung, und die rücktreibende Steifigkeit beträgt 4q/a³ = 1,1852.
  
  $E_{x} (x, 0) = \frac{q}{( a + x ) ^{2}} - \frac{q}{( a - x ) ^{2}} = \frac{- 4 q a x}{( a ^{2} - x ^{2} ) ^{2}} \approx - \frac{4 q}{a ^{3}} x = - 1.1852 x$
4. Verschieben Sie sie stattdessen senkrecht dazu. Nun befinden sich beide Ladungen hinter ihr, beide drücken in dieselbe Richtung, und sie bewegt sich weiter. Dieselben zwei Ladungen, dieselbe Messsonde, entgegengesetztes Ergebnis – und die abstoßende Steifigkeit beträgt 2q/a³ = 0,5926, genau die Hälfte der rücktreibenden.
  
  $E_{y} (0, y) = \frac{2 q y}{( a ^{2} + y ^{2} ) ^{3/2}} \approx + \frac{2 q}{a ^{3}} y = + 0.5926 y, E_{z} \approx + 0.5926 z$
5. Aus der Ebene heraus entspricht wieder dem senkrechten Fall, da zwei Punkte keine Möglichkeit haben, eine Richtung um ihre Achse von einer anderen zu unterscheiden. Es gibt also drei Steifigkeiten, eine negative und zwei positive, und ihre Summe ergibt null. Nicht annähernd null.
Antwort

Das Tool gibt |E| = 0,000 aus zwei Beiträgen von 0,444 aus, die sich aufheben, und V = 1,333 aus zwei Beiträgen von 0,667, die dies nicht tun. Die Nullstelle ist ein Sattelpunkt, kein Tal: stabil entlang der Verbindungslinie der Ladungen, instabil quer dazu. Das war nie eine Frage der Wahl, wo die Ladungen platziert werden. Die drei Steifigkeiten sind die drei zweiten Ableitungen von V, und ihre Summe ist die Divergenz von E, die überall dort null ist, wo sich keine Ladung befindet – jede Richtung, die eine Testladung zurückzieht, muss also durch Richtungen bezahlt werden, die sie wegschieben. Keine feste Anordnung von Ladungen kann eine andere Ladung festhalten, egal wie klug sie angeordnet ist. Das ist der Satz von Earnshaw, und Sie haben ihn gerade aus drei Zahlen abgeleitet, deren Ausgangspunkt das Tool ausgegeben hat. Alles, was ein geladenes Teilchen tatsächlich einfängt, tut dies daher nicht mit Elektrostatik allein.

$\frac{\partial E _{x}}{\partial x} + \frac{\partial E _{y}}{\partial y} + \frac{\partial E _{z}}{\partial z} = - \frac{4 q}{a ^{3}} + \frac{2 q}{a ^{3}} + \frac{2 q}{a ^{3}} = - 1.1852 + 0.5926 + 0.5926 = 0$

Quellen (1)

Insight block 3 — why the null point between two like charges is a saddle and not a trap: S. Earnshaw, "On the nature of the molecular forces which regulate the constitution of the luminiferous ether." Transactions of the Cambridge Philosophical Society 7, 97–112, 1842.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

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Beispielaufgaben

Einzelladung + - Eine Ladung im Ursprung: Das Feld zeigt überall radial nach außen, die Äquipotentiallinien verlaufen als Kreise um die Ladung. Dies ist die einzige vorgegebene Konfiguration ohne besonderen Punkt.
Dipol - Auf der gesamten Mittellinie zwischen den Ladungen beträgt das Potential genau 0, das Feld jedoch nicht: 0,500 im Mittelpunkt, 0,177 zwei Einheiten weiter oben. Ein Potential von null bedeutet nicht, dass auch das Feld null ist.
Zwei + - Im Mittelpunkt ist das Feld genau 0, das Potential beträgt dort 1,3333. Das Spiegelbild des Dipols: Das Feld ist null, das Potential nicht.
Quadrupol - An den Ecken eines Quadrats sitzen zwei positive und zwei negative Ladungen. Im Mittelpunkt sind sowohl das Feld als auch das Potential genau null. Bei keiner anderen vorgegebenen Konfiguration verschwinden beide zugleich.