Partialbruchzerlegung

Jede rationale Funktion besitzt eine Stammfunktion, die sich aus einem rationalen Teil, Logarithmen und Arkustangens zusammensetzt, sobald der Nenner faktorisiert ist. Gehe eine Zerlegung Schritt für Schritt durch und gib dann eigene Antworten ein. Die Seite leitet deine Eingabe ab und zeigt dir, wo sie vom Integranden abweicht.

Jeder lineare Anteil	$\int \frac{A d x}{x - a} = A ln ∣ x - a ∣ + C$
Jeder quadratische Anteil	$\int \frac{d x}{( x - h ) ^{2} + k ^{2}} = \frac{1}{k} arctan \frac{x - h}{k} + C$
Dessen Koeffizient bei einer einfachen Nullstelle a	$A = \frac{P ( a )}{Q ^{'} ( a )}$

Rechenbeispiel — Partialbruchzerlegung

Koeffizient über (x − 2), durch Zuhalten	3
Reelle Polstellen von f in [−5, 5]	2
Unabhängige Integrationskonstanten	3
Logarithmen (c negativ)	−1/x (c = 0)

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Partialbruchzerlegung

Eine Partialbruchzerlegung schreibt eine rationale Funktion P(x)/Q(x), bei der P einen kleineren Grad als Q aufweist, als Summe einfacher Brüche. Für jeden Faktor von Q über den reellen Zahlen gibt es eine Gruppe: A/(x − a)^k für jede Potenz eines linearen Faktors bis zu seiner Vielfachheit, und (Bx + C)/(x² + px + q)^k für jede Potenz eines quadratischen Faktors ohne reelle Nullstelle. Ist der Grad von P nicht kleiner, dividiere zuerst. Jeder Bruch integriert sich zu einer rationalen Funktion, einem Logarithmus oder einem Arkustangens.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

P/Q: der Integrand, Zähler über Nenner; die reellen Nullstellen von Q sind die Polstellen von f
C: eine Integrationskonstante, die auf jedem Intervall zwischen den Polstellen anders sein kann

Woher die Formel kommt

Ein einfacher Faktor: Halte ihn zu. Multipliziere die Identität mit x − a und setze x = a ein. Alle anderen Brüche verschwinden. A ist dann P(a), geteilt durch den verbleibenden Nenner an der Stelle a.
$\frac{P ( x )}{( x - a ) R ( x )} = \frac{A}{x - a} + \dots \Rightarrow A = \frac{P ( a )}{R ( a )}$
Ein mehrfacher Faktor braucht einen Bruch pro Potenz. Für (x − a)² schreibst du A/(x − a) + B/(x − a)². Die Zuhaltemethode liefert B. Für A vergleichst du die Koeffizienten einer Potenz von x oder setzt einen beliebigen anderen Wert für x ein.
$\frac{P ( x )}{( x - a ) ^{2} R ( x )} = \frac{A}{x - a} + \frac{B}{( x - a ) ^{2}} + \dots, B = \frac{P ( a )}{R ( a )}$
Ein quadratischer Faktor ohne reelle Nullstellen. Zerlege den Zähler in ein Vielfaches der Ableitung des quadratischen Terms und eine Konstante. Der erste Teil führt beim Integrieren auf einen Logarithmus, der zweite nach quadratischer Ergänzung auf einen Arkustangens.
$\frac{B x + C}{x ^{2} + p x + q} = \frac{B}{2} \cdot \frac{2 x + p}{x ^{2} + p x + q} + \frac{C - \frac{B p}{2}}{( x + \frac{p}{2} ) ^{2} + q - \frac{p ^{2}}{4}}$

Versagt, wenn: Die Zerlegung erfordert die Nullstellen von Q. Ab Grad fünf gibt es für sie möglicherweise keine Formel mit Wurzeln. Die Koeffizienten bleiben zwar exakte Zahlen, doch sie können sich Wurzelausdrücken ebenfalls entziehen. Bei der Aufgabe x⁵ − x − 1 lautet der erste Koeffizient exakt 1/(5r⁴ − 1), wobei r die reelle Nullstelle ist. Genau wie r besitzt er keine Formel mit Wurzeln. Die Seite arbeitet stattdessen mit numerischen Näherungen. Der rationale Teil der Lösung benötigt die Nullstellen ohnehin nie: Charles Hermite zeigte, dass er sich allein durch Polynomarithmetik finden lässt, und Hardys §4 beschreibt diese Methode.

Aufgaben vollständig gelöst

Zwei Linearfaktoren: die Zuhaltemethode 3 Schritte
Bestimme ∫(x + 7)/((x − 1)(x + 3)) dx.
1. Ein Bruch für jeden Linearfaktor:
  
  $\frac{x + 7}{( x - 1 ) ( x + 3 )} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$
2. Halte nacheinander jeden Faktor zu und setze seine Nullstelle ein:
  
  $x = 1 : A = \frac{8}{4} = 2; x = - 3 : B = \frac{4}{- 4} = - 1$
3. Jeder Bruch liefert integriert einen Logarithmus:
  
  $\int (\frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 3}) d x = 2 ln ∣ x - 1∣ - ln ∣ x + 3∣ + C$
Antwort

2 ln|x − 1| − ln|x + 3| + C. Zwei Zeilen Rechnung, ganz ohne Gleichungssystem. Die Zuhaltemethode funktioniert, weil das Multiplizieren mit x − 1 und Einsetzen von x = 1 alle anderen Brüche zu null macht.

$\int \frac{x + 7}{( x - 1 ) ( x + 3 )} d x = 2 ln ∣ x - 1∣ - ln ∣ x + 3∣ + C$
Ein mehrfacher Faktor 3 Schritte
Bestimme ∫dx/(x²(x + 1)).
Lösung anzeigen
1. Weil x² ein mehrfacher Faktor ist, brauchst du zwei Brüche: einen für x und einen für x²:
  
  $\frac{1}{x ^{2} ( x + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x ^{2}} + \frac{C}{x + 1}$
2. Durch Zuhalten erhältst du B und C; der Koeffizient von x² liefert A:
  
  $x = 0 : B = 1; x = - 1 : C = 1; x^{2} : A + C = 0 \Rightarrow A = - 1$
3. Integriere jeden Teil einzeln. B/x² ist eine Potenz, kein Logarithmus:
  
  $\int (- \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x + 1}) d x = - ln ∣ x ∣ - \frac{1}{x} + ln ∣ x + 1∣ + C$
Antwort

ln|(x + 1)/x| − 1/x + C. Nur B/x² und C/(x + 1) anzusetzen, ist die klassische Falle: Zwei Brüche können in der Summe diesen Term nicht ergeben, und der Koeffizientenvergleich hätte keine Lösung.

$\int \frac{d x}{x ^{2} ( x + 1 )} = ln \frac{x + 1}{x} - \frac{1}{x} + C$
Ein quadratischer Faktor ohne reelle Nullstellen 2 Schritte
Bestimme ∫(3x + 1)/(x² + 1) dx.
Lösung anzeigen
1. x² + 1 lässt sich nicht weiter zerlegen. Spalte den Zähler daher in ein Vielfaches seiner Ableitung 2x und eine Konstante auf:
  
  $\frac{3 x + 1}{x ^{2} + 1} = \frac{3}{2} \cdot \frac{2 x}{x ^{2} + 1} + \frac{1}{x ^{2} + 1}$
2. Der erste Teil ist f′/f, der zweite der Arkustangens:
  
  $\int \frac{2 x}{x ^{2} + 1} d x = ln (x^{2} + 1), \int \frac{d x}{x ^{2} + 1} = arctan x$
Antwort

(3/2) ln(x² + 1) + arctan x + C. Keine Betragsstriche beim Logarithmus, da x² + 1 nie negativ wird.

$\int \frac{3 x + 1}{x ^{2} + 1} d x = \frac{3}{2} ln (x^{2} + 1) + arctan x + C$
Ein Linearfaktor mal ein quadratischer Faktor 3 Schritte
Bestimme ∫dx/(x(x² + 1)).
Lösung anzeigen
1. Der quadratische Faktor bekommt einen linearen Zähler, Bx + C:
  
  $\frac{1}{x ( x ^{2} + 1 )} = \frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x ^{2} + 1}$
2. Durch Zuhalten erhältst du A; der Koeffizientenvergleich für den Rest liefert B und C:
  
  $x = 0 : A = 1; 1 = (x^{2} + 1) + (B x + C) x \Rightarrow B = - 1, C = 0$
3. Ein Logarithmus, dazu der Logarithmus des quadratischen Terms:
  
  $\int (\frac{1}{x} - \frac{x}{x ^{2} + 1}) d x = ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Antwort

ln|x| − ½ ln(x² + 1) + C. Eine Konstante über x² + 1 reicht nicht aus: Über einem quadratischen Faktor darf der Zähler immer linear sein.

$\int \frac{d x}{x ( x ^{2} + 1 )} = ln ∣ x ∣ - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Unechter Bruch: Zuerst dividieren 3 Schritte
Bestimme ∫(x³ + x)/(x − 1) dx.
Lösung anzeigen
1. Der Zähler hat den höheren Grad, dividiere also zuerst:
  
  $x^{3} + x = (x - 1) (x^{2} + x + 2) + 2$
2. Ein Polynom plus ein echter Bruch:
  
  $\frac{x ^{3} + x}{x - 1} = x^{2} + x + 2 + \frac{2}{x - 1}$
3. Integriere Term für Term:
  
  $\int (x^{2} + x + 2 + \frac{2}{x - 1}) d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 2 x + 2 ln ∣ x - 1∣ + C$
Antwort

x³/3 + x²/2 + 2x + 2 ln|x − 1| + C. Mit der Partialbruchzerlegung beginnst du erst, wenn der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist.

$\int \frac{x ^{3} + x}{x - 1} d x = \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 2 x + 2 ln ∣ x - 1∣ + C$
Quadratische Ergänzung 2 Schritte
Bestimme ∫dx/(x² + 4x + 13).
Lösung anzeigen
1. Die Diskriminante ist 16 − 52 < 0, es gibt also keine reelle Nullstelle. Ergänze quadratisch:
  
  $x^{2} + 4 x + 13 = (x + 2)^{2} + 9 = (x + 2)^{2} + 3^{2}$
2. Das entspricht der Arkustangens-Form mit h = −2 und k = 3:
  
  $\int \frac{d x}{( x + 2 ) ^{2} + 3 ^{2}} = \frac{1}{3} arctan \frac{x + 2}{3} + C$
Antwort

(1/3) arctan((x + 2)/3) + C. Der typische Stolperstein ist das 1/3 davor: Leitest du arctan((x + 2)/3) ab, erhältst du 3/(x² + 4x + 13), also das Dreifache des Integranden.

$\int \frac{d x}{x ^{2} + 4 x + 13} = \frac{1}{3} arctan \frac{x + 2}{3} + C$
Ein bestimmtes Integral zwischen den Polstellen 2 Schritte
Berechne ∫₀¹ dx/(x² − 4).
Lösung anzeigen
1. x² − 4 = (x − 2)(x + 2), und mit der Zuhaltemethode erhältst du ±1/4:
  
  $\frac{1}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{4} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x + 2})$
2. Beide Polstellen bei ±2 liegen außerhalb von [0, 1], du kannst die Formel also zwischen den Grenzen anwenden:
  
  $\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{2} - 4} = \frac{1}{4} [ln \frac{x - 2}{x + 2}]_{0}^{1} = \frac{1}{4} (ln \frac{1}{3} - ln 1)$
Antwort

−(ln 3)/4 ≈ −0,2747. Negativ, weil 1/(x² − 4) auf [0, 1] kleiner als null ist. Läge eine Polstelle im Intervall, würde dieselbe Subtraktion eine Zahl für ein Integral liefern, das gar nicht existiert. Genau davor warnt dich der Vertiefungsblock zu den Integrationskonstanten.

$\int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{2} - 4} = - \frac{ln 3}{4} \approx - 0.2747$
∫ dx/(x⁴ + 1): keine reellen Nullstellen, zwei reelle quadratische Terme 5 Schritte
Finde ∫₀^∞ dx/(x⁴ + 1). Der Nenner besitzt keine reelle Nullstelle, folglich gibt es keine Polstelle und keinen linearen Faktor. Keine der Aufgaben der Seite sieht so aus. Klick auf Ein Arkustangens für den Baustein.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. x⁴ + 1 hat keine reelle Nullstelle, ist aber nach Addition und Subtraktion von 2x² eine Differenz zweier Quadrate. Es zerfällt also in zwei reelle quadratische Terme:
  
  $x^{4} + 1 = (x^{2} + 1)^{2} - 2 x^{2} = (x^{2} + 2 x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$
2. Keiner dieser quadratischen Terme hat eine reelle Nullstelle (beide Diskriminanten sind 2 − 4 = −2), also erhält jeder einen linearen Zähler. Ein Koeffizientenvergleich liefert:
  
  $\frac{1}{x ^{4} + 1} = \frac{\frac{x}{2 2} + \frac{1}{2}}{x ^{2} + 2 x + 1} + \frac{- \frac{x}{2 2} + \frac{1}{2}}{x ^{2} - 2 x + 1}$
3. Jeder quadratische Teil zerfällt in ein Vielfaches der Nennerableitung, was einen Logarithmus ergibt, und in eine Konstante über einem vollständigen Quadrat, die zu einem Arkustangens wird:
  
  $\frac{\frac{x}{2 2} + \frac{1}{2}}{x ^{2} + 2 x + 1} = \frac{1}{4 2} \cdot \frac{2 x + 2}{x ^{2} + 2 x + 1} + \frac{\frac{1}{4}}{( x + \frac{1}{2} ) ^{2} + \frac{1}{2}}$
4. Die auf der gesamten Zahlenachse gültige Stammfunktion lautet daher:
  
  $F (x) = \frac{1}{4 2} ln \frac{x ^{2} + 2 x + 1}{x ^{2} - 2 x + 1} + \frac{1}{2 2} (arctan (2 x + 1) + arctan (2 x - 1))$
5. Bei x = 0 ist der Logarithmus ln 1 = 0, und die Arkustangens-Terme heben sich auf. Wenn x wächst, strebt der Logarithmus wieder gegen ln 1 = 0 und jeder Arkustangens gegen π/2:
  
  $\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{x ^{4} + 1} = \frac{1}{2 2} (\frac{π}{2} + \frac{π}{2}) - 0 = \frac{π}{2 2} = 1.1107$
Antwort

π/(2√2) ≈ 1,1107. Der Entdecker auf der Seite endet bei x² + c. Eine Funktion vierten Grades ohne reelle Nullstellen verlangt dieselben zwei Schritte, einen Logarithmus und einen Arkustangens. Du führst sie zweimal aus, mit √2 in jedem Koeffizienten.

$\int_{0}^{\infty} \frac{d x}{x ^{4} + 1} = \frac{π}{2 2} \approx 1.1107$

Ein Arkustangens ist ein Logarithmus, dessen Nullstellen komplex wurden 🖖

Klick auf Zwei Logarithmen und schau dir den Entdecker unter dem Trainingsbereich an. Bei c = −1 ist der Integrand 1/(x² − 1). Sein Nenner hat die reellen Nullstellen ±1, er zerfällt in zwei Partialbrüche und integriert sich zu Logarithmen. Die Fläche von 2 bis 3 beträgt ½ ln(3/2) = 0,2027. Klick auf Ein Arkustangens. Bei c = 1 hat der Nenner x² + 1 keine reelle Nullstelle. Über den reellen Zahlen zerfällt nichts, und die Lösung lautet arctan 3 − arctan 2 = 0,1419. Zieh nun c durch die Null. Die Formel ändert sich zweimal. Sie wechselt von Logarithmen zu −1/x bei exakt c = 0, wo die Fläche 1/6 = 0,1667 beträgt, und dann zu einem Arkustangens. Die Kurve rechts merkt davon nichts: Es gibt keinen Sprung und keinen Knick. Sie sind eine einzige Funktion, die auf drei Arten geschrieben wird. Wenn du komplexe Zahlen zulässt, zerfällt x² + 1 = (x − i)(x + i) wie jeder andere quadratische Term. Der Arkustangens ist dann ebenfalls ein Logarithmus. Brian Conrads Notizen zum Satz von Liouville zeigen durch Ableiten, dass 2i·arctan x plus eine Konstante ein Logarithmus von (x − i)/(x + i) ist. „Logarithmen und Arkustangens“ ist die Art und Weise, wie die reellen Zahlen „Logarithmen“ sagen.

Ein einziges +C reicht nicht 🖖

Klick auf Zwei Polstellen und dann auf Eine Antwort zeigen: Die Seite schreibt 3 ln|x − 2| − 3 ln|x + 1| für f = 9/((x − 2)(x + 1)). Klick jetzt auf Konstanten verschieben. Die Polstellen bei −1 und 2 zerschneiden die Achse in drei Intervalle. Die Seite addiert auf jedem davon eine andere Konstante, zeichnet die verschobenen Äste über die alten und befragt die Prüfung erneut. Stimmt immer noch: Auf jedem Intervall hat eine Konstante die Ableitung null. Nichts verknüpft ein Intervall mit dem nächsten. Die allgemeine Stammfunktion besitzt hier drei unabhängige Konstanten. Das „+ C“ benennt lediglich den Ausschnitt, in dem alle drei gleich sind. Zähle die reellen Polstellen und addiere eins. Ein Sprung an jeder anderen Stelle ist falsch, was die Prüfung auch erkennt: Füge + sign(x) zur Antwort hinzu. Das springt bei 0, wo f glatt verläuft, und wird abgelehnt. Genau hier rächen sich die Konstanten. Das Integral dieses f von 0 bis 3 existiert nicht, da es durch die Polstelle bei 2 verläuft. Ziehst du jedoch die Werte der Formel bei 0 und 3 voneinander ab, erhältst du eine völlig überzeugende Zahl: −3 ln 8.

Der Satz verspricht die Form der Lösung, nicht eine Formel für ihre Zahlen 🖖

Klick auf x⁵ − x − 1. Über den reellen Zahlen zerfällt jedes Polynom in lineare und quadratische Teile. Jede rationale Funktion integriert sich somit zu einem rationalen Teil, Logarithmen und Arkustangens, und so auch diese hier. Es gibt einen Logarithmus für die reelle Nullstelle nahe 1,1673 und für jedes der zwei komplexen Paare den Logarithmus eines quadratischen Terms und einen Arkustangens. Gehe das gelöste Beispiel Schritt für Schritt durch, um alle fünf Terme zu sehen. Was der Satz nicht liefert, ist eine Formel für die Nullstellen. Für diesen Nenner existiert keine. Modulo 5 lässt er sich überhaupt nicht faktorisieren, und modulo 2 lautet er (x² + x + 1)(x³ + x² + 1). Zusammen erzwingen diese beiden Eigenschaften, dass seine Galoisgruppe die S₅ ist. Keine einzige Nullstelle lässt sich dann mit +, −, ×, ÷ und Wurzeln schreiben. Die Seite berechnet die Nullstellen daher numerisch auf etwa fünfzehn signifikante Stellen genau. Der Prüfer akzeptiert die aus ihnen gebildete Stammfunktion. Kopierst du stattdessen die auf vier Dezimalstellen gerundeten Koeffizienten des letzten Schritts in das Antwortfeld, weist der Prüfer die Lösung ab, da er eine Übereinstimmung auf ein Millionstel genau verlangt. G. H. Hardy drückte es 1916 deutlich aus: Die Nullstellen „können in der Regel in keiner expliziten Form bestimmt werden. Die Methode der Partialbrüche unterliegt daher ernsthaften Einschränkungen.“

Lernpfad

Integrationstechniken

Quellen (3)

The integral of a rational function as a rational part plus Σ A log(x − a), with the coefficient over a simple root a given by P(a)/Q′(a) (§1, pp. 12–13), and the page's third claim in his words: “The roots of Q(x) = 0 are not in general explicit algebraical functions of the coefficients, and cannot as a rule be determined in any explicit form. The method of partial fractions is therefore subject to serious limitations” (§3, p. 15). §4 credits Hermite with finding the rational part without the roots: G. H. Hardy, The Integration of Functions of a Single Variable, 2nd ed., Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics no. 2, Cambridge University Press (1916), Chapter IV, §§1–4.
The arctangent as a logarithm: Example 2.1 (p. 4) checks by differentiation that 2i tan⁻¹(x), plus a constant, is a logarithm of the non-vanishing function (x − i)/(x + i), and why that matters: allowing only real exponentials and logarithms, 1/(1 + x²) would not be elementarily integrable at all (p. 7): B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, Clay Mathematics Institute Academy Colloquium lecture notes (2005), §2, Example 2.1, and §3, p. 7.
Why x⁵ − x − 1 has Galois group S₅: Dedekind's theorem turns a factorisation mod p into distinct irreducibles of degrees d₁, …, dₘ into a permutation of cycle type (d₁, …, dₘ) in the Galois group, and Theorem 2.1 says “a transitive subgroup of Sₙ that contains a transposition and a p-cycle for some prime p > n/2 is Sₙ”. The page supplies the factorisations (irreducible mod 5; (x² + x + 1)(x³ + x² + 1) mod 2) and its check verifies them: K. Conrad, “Recognizing Galois groups Sₙ and Aₙ”, expository note, University of Connecticut, §1 and Theorem 2.1.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.