Die Wahl der Methode

Auf den bisherigen Seiten dieses Kapitels stand die Methode fest, bevor du das Integral gesehen hast. Hier sind die Aufgaben gemischt. Bevor sich das Antwortfeld öffnet, gibst du an, wie du anfangen würdest. Die Seite hat für dein Integral bereits alle fünf möglichen Einstiege geprüft. Sie zeigt dir, ob du mit deiner Wahl in höchstens drei Schritten zur Integraltabelle kommst und ob es einen kürzeren Weg gibt.

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Lektion

Die Theorie — Die Wahl der Methode

Eine Integrationsmethode wählen heißt, bei einem Integral ohne vorgegebene Methode den ersten Schritt festzulegen: direkt in der Integraltabelle nachschlagen, substituieren, partiell integrieren, in Partialbrüche zerlegen oder trigonometrisch umformen. Auf dieser Seite funktioniert ein Einstieg, wenn nach ihm und höchstens zwei weiteren Schritten nur noch Integrale aus der Tabelle übrig sind. Als Schritt zählt jede Anwendung einer Methode. Wenn du bei der partiellen Integration dv durch Substitution integrierst, zählt das als eigener Schritt. Eine Summe in ihre einzelnen Summanden aufzuteilen, zählt dagegen nicht als Schritt.

Setzt voraus: Die Suche kennt nur diese fünf Methoden. Eine quadratische Ergänzung kann sie nicht durchführen. Bei ∫dx/(x² + 2x + 5) würde sie deshalb melden, dass kein Weg zur Tabelle führt. Solche Aufgaben kommen hier nicht vor. Die trigonometrische Umformung umfasst das, was du auf der vorigen Seite gelernt hast: Bei einem ungeraden Exponenten bleibt ein Faktor für du stehen, bei geraden Exponenten nutzt du die Halbwinkelformeln. Aus tan² wird sec² − 1, der Exponent von secⁿ wird mit der Reduktionsformel verringert. Für √(a² − x²), √(x² + a²) und √(x² − a²) setzt du jeweils x = a sin u, x = a tan u oder x = a sec u.

Aufgaben vollständig gelöst

Im Zähler steht die Ableitung des Nenners 2 Schritte
Bestimme ∫x/(x² + 9) dx.
1. Signal: Der Zähler ist die halbe Ableitung des Nenners. Ansatz: Den Nenner substituieren.
  
  $\frac{d}{d x} (x^{2} + 9) = 2 x \Rightarrow u = x^{2} + 9, x d x = \frac{d u}{2}$
2. Ein Logarithmus, ganz ohne Betragsstriche, weil x² + 9 nie negativ wird:
  
  $\int \frac{x}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{2} \int \frac{d u}{u} = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 9) + C$
Antwort

½ ln(x² + 9) + C. Eine Partialbruchzerlegung hilft hier nicht: x² + 9 hat keine reellen Nullstellen zum Zerlegen.

$\int \frac{x}{x ^{2} + 9} d x = \frac{1}{2} ln (x^{2} + 9) + C$
Eine x-Potenz mal eine Exponentialfunktion 2 Schritte
Bestimme ∫x e^3x dx.
Lösung anzeigen
1. Signal: Ein Faktor wird beim Ableiten einfacher, der andere lässt sich leicht integrieren. Ansatz: Partielle Integration mit u = x.
  
  $u = x, d v = e^{3 x} d x, v = \frac{1}{3} e^{3 x}$
2. Ein Durchgang, und das verbleibende Integral steht in der Tabelle:
  
  $\int x e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{3} \int e^{3 x} d x = \frac{1}{3} x e^{3 x} - \frac{1}{9} e^{3 x} + C$
Antwort

e^3x(x/3 − 1/9) + C. Eine Substitution hilft hier nicht: Das x neben e^3x ist nicht die Ableitung von 3x.

$\int x e^{3 x} d x = e^{3 x} (\frac{x}{3} - \frac{1}{9}) + C$
Ein Nenner, der sich faktorisieren lässt 2 Schritte
Bestimme ∫5/((x + 1)(x − 4)) dx.
Lösung anzeigen
1. Signal: Eine rationale Funktion, deren Nenner bereits faktorisiert ist. Ansatz: Partialbruchzerlegung mit der Zuhaltemethode.
  
  $\frac{5}{( x + 1 ) ( x - 4 )} = \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 1}, A = \frac{5}{5} = 1, B = \frac{5}{- 5} = - 1$
2. Zwei Logarithmen:
  
  $\int (\frac{1}{x - 4} - \frac{1}{x + 1}) d x = ln ∣ x - 4∣ - ln ∣ x + 1∣ + C$
Antwort

ln|(x − 4)/(x + 1)| + C. Die 5 im Zähler wird bei der Zuhaltemethode geteilt: 5/(4 + 1) und 5/(−1 − 4).

$\int \frac{5 d x}{( x + 1 ) ( x - 4 )} = ln \frac{x - 4}{x + 1} + C$
Eine gerade Kosinuspotenz 2 Schritte
Bestimme ∫cos²x dx.
Lösung anzeigen
1. Signal: Eine gerade Potenz und kein ungerader Faktor, den man für du abspalten könnte. Ansatz: Halbwinkelformel anwenden.
  
  $cos^{2} x = \frac{1}{2} (1 + cos 2 x)$
2. Gliedweise integrieren:
  
  $\int \frac{1}{2} (1 + cos 2 x) d x = \frac{x}{2} + \frac{sin 2 x}{4} + C$
Antwort

x/2 + sin 2x/4 + C. u = sin x funktioniert nicht: Ein cos x wird zu du, doch der andere bleibt wegen der geraden Potenz als √(1 − u²) stehen.

$\int cos^{2} x d x = \frac{x}{2} + \frac{sin 2 x}{4} + C$
Sieht nach partieller Integration aus, ist aber eine Substitution 2 Schritte
Bestimme ∫(ln x)/x dx für x > 0.
Lösung anzeigen
1. Signal: 1/x ist die Ableitung von ln x und steht direkt daneben. Schritt: Substituiere u = ln x.
  
  $u = ln x, d u = \frac{d x}{x}$
2. Eine Potenz von u:
  
  $\int \frac{ln x}{x} d x = \int u d u = \frac{u ^{2}}{2} = \frac{( ln x ) ^{2}}{2} + C$
Antwort

(ln x)²/2 + C. Partielle Integration ginge auch, das Integral reproduziert sich dabei selbst: I = (ln x)² − I. Die Substitution kommt mit einer Zeile aus.

$\int \frac{ln x}{x} d x = \frac{( ln x ) ^{2}}{2} + C$
Keine reellen Nullstellen: quadratisch ergänzen 2 Schritte
Bestimme ∫dx/(x² − 6x + 10).
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1. Signal: Die Diskriminante 36 − 40 ist negativ, es lässt sich also nichts faktorisieren. Schritt: Ergänze quadratisch.
  
  $36 - 40 < 0; x^{2} - 6 x + 10 = (x - 3)^{2} + 1$
2. Die Arkustangensform, um 3 verschoben:
  
  $\int \frac{d x}{( x - 3 ) ^{2} + 1} = arctan (x - 3) + C$
Antwort

arctan(x − 3) + C. Diesen einen Schritt beherrscht die Suche dieser Seite nicht. Es lohnt sich also, ihn einmal von Hand durchzurechnen.

$\int \frac{d x}{x ^{2} - 6 x + 10} = arctan (x - 3) + C$
Unechter Bruch: zuerst dividieren 2 Schritte
Bestimme ∫x³/(x² + 1) dx.
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1. Signal: Der Zählergrad ist höher als der Nennergrad. Schritt: Dividiere.
  
  $x^{3} = x (x^{2} + 1) - x \Rightarrow \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} = x - \frac{x}{x ^{2} + 1}$
2. Dann eine Potenz und ein f′/f:
  
  $\int (x - \frac{x}{x ^{2} + 1}) d x = \frac{x ^{2}}{2} - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Antwort

x²/2 − ½ ln(x² + 1) + C. Zwei Schritte, der zweite eine Substitution. Keiner von beiden ist zu sehen, bevor der erste getan ist.

$\int \frac{x ^{3}}{x ^{2} + 1} d x = \frac{x ^{2}}{2} - \frac{1}{2} ln (x^{2} + 1) + C$
Eine Fläche ohne erkennbaren Anhaltspunkt 3 Schritte
Berechne ∫₀^π²/4 sin √x dx. Klick auf Kein Merkmal passt. Die Seite findet die Stammfunktion in zwei Schritten, erst durch Substitution, dann durch partielle Integration. Die Auswertung an den Grenzen bleibt dir.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Substituiere u = √x, also x = u² und dx = 2u du. Passe auch die Grenzen an: Aus x = 0 folgt u = 0, aus x = π²/4 folgt u = π/2.
  
  $\int_{0}^{π^{2} /4} sin x d x = \int_{0}^{π /2} 2 u sin u d u$
2. Integriere partiell: Leite 2u ab und integriere sin u:
  
  $\int 2 u sin u d u = - 2 u cos u + \int 2 cos u d u = 2 sin u - 2 u cos u$
3. Setze die neuen Grenzen ein. Dabei gilt cos(π/2) = 0 und sin(π/2) = 1:
  
  $[2 sin u - 2 u cos u]_{0}^{π /2} = (2 - 0) - (0 - 0) = 2$
Antwort

Genau 2. In beiden Grenzen kommt π vor, im Ergebnis nicht mehr. Durch die Substitution wird aus π²/4 die Grenze π/2; dort ist der Sinus 1 und der Kosinus 0. Die Simpsonregel liefert für den ursprünglichen Integranden mit 4.000 Teilintervallen den Wert 1,999999. Die Näherung nähert sich der 2 nur langsam von unten, weil √x bei 0 eine unendliche Steigung hat.

$\int_{0}^{π^{2} /4} sin x d x = 2$

Treffen beide Merkmale zu, wähle die Substitution 🖖

Klick auf Beide Merkmale passen. 2x·e^(x²) ist ein Produkt aus einer Potenz und einer Exponentialfunktion, wie man es meist mit partieller Integration angeht. Damit kommst du tatsächlich zur Integraltabelle, in drei Schritten: Mit u = e^(x²) und dv = 2x dx bleibt im Integral 2x³e^(x²) übrig, ein längerer Ausdruck als zu Beginn. Die Substitution braucht nur einen Schritt. Denn x² steht im Exponenten, und die Ableitung 2x steht schon als Faktor daneben. Die Seite hat denselben Vergleich für 1.100 erzeugte Aufgaben durchgeführt. Bei 113 trafen beide Merkmale zu. Bei allen 113 war die Substitution der kürzeste Einstieg, bei keiner die partielle Integration. In 26 Fällen führte die partielle Integration innerhalb von drei Schritten gar nicht zur Tabelle. Wenn nur das Merkmal für partielle Integration zutraf, ohne das für Substitution, lag es bei 181 von 188 Aufgaben richtig.

Bei den meisten dieser Integrale gibt es mehrere mögliche erste Schritte 🖖

Klick auf Zwei Wege zum Ziel. sin x·cos x lässt sich mit der Substitution u = sin x in einem Schritt integrieren. Mit partieller Integration geht es ebenfalls in einem Schritt: u = sin x und dv = cos x dx liefern dasselbe Integral zurück, I = sin²x − I, also I = sin²x/2. Auch die trigonometrische Umformung, bei der du einen Faktor für du stehen lässt, braucht nur einen Schritt. Von den 1.100 Aufgaben ließen sich 842 mit mindestens zwei der fünf Methoden beginnen und trotzdem innerhalb von drei Schritten auf Tabellenintegrale zurückführen. Bei 650 war ein zweiter Weg höchstens einen Schritt länger als der kürzeste. Einige dieser zweiten Wege sind Umwege, die eine Lehrkraft kaum wählen würde, etwa die partielle Integration bei einer rationalen Funktion. Sie gehen in die Zählung ein, weil sie zum Ziel führen. Deshalb verlangt die Seite keine bestimmte Methode: Jeder Einstieg, der ans Ziel führt, wird als richtig gewertet. Unter den Schaltflächen steht, ob es einen kürzeren gibt. Zwei Wege können zu Ergebnissen führen, die unterschiedlich aussehen. Warum beide richtig sind, zeigt die erste Seite dieses Kapitels, Stammfunktionen.

Die Länge eines Integrals verrät kaum etwas über die nötige Schrittzahl 🖖

Klick auf Die Kürze täuscht. arctan x ist zwei Symbole lang und braucht zwei Schritte: zunächst partielle Integration mit dv = 1·dx, wobei x/(x² + 1) übrig bleibt, dann eine Substitution. Unter den ähnlich aussehenden Aufgaben ist −6x⁴ − 2/√(1 − x²) fünfzehn Symbole lang und steht bereits so in der Integraltabelle. Bei den 1.100 Aufgaben beträgt die mediane Länge für die direkt aus der Tabelle lösbaren Integrale 8 Symbole, für Aufgaben mit einem Schritt 10 und für Aufgaben mit zwei Schritten 9. Das längste Tabellenintegral hat 15 Symbole, das kürzeste Integral mit zwei Schritten 3. Die Merkmale erfassen den Aufbau des Ausdrucks: Was steht innerhalb welcher Funktion? Welcher Faktor wird beim Ableiten einfacher? Lässt sich ein Nenner zerlegen? Ist der Exponent einer Sinuspotenz gerade oder ungerade?

Lernpfad

Integrationstechniken

Quellen (2)

A strategy for picking the technique, with the page's three findings in it: look for a simple substitution before the heavier techniques (u = x² − 1 for x/(x² − 1), which partial fractions would also do), “a polynomial times a trig function, exponential, or logarithm” as the sign that parts may work, “some integrals can be done in more than one way”, and a substitution that leads on to parts or partial fractions: P. Dawkins, “Integration Strategy”, Paul's Online Notes, Calculus II, section 7.7, Lamar University (page last modified 31 July 2026).
The both-cues integral done by parts: ∫t³e^(t²) dt, where the strict LIATE choice fails and dv = t·e^(t²) dt is taken instead, an integral that is itself a substitution (Example 3.4, “When LIATE Doesn't Quite Work”); and ∫sin(ln x) dx with dv = 1·dx, solved after two rounds (Example 3.5): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 2, OpenStax (2016), section 3.1, “Integration by Parts”.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.