Ausmultiplizieren und Faktorisieren

Verändere die Klammern und beobachte das Rechteck. Die vier Flächenstücke sind die vier Terme. Ein Wechsel zum Faktorisieren stellt exakt dieselbe Frage von der anderen Seite.

Rechenbeispiel — Ausmultiplizieren und Faktorisieren

Diskriminante	1 (eine Quadratzahl)

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Die vier Buchstaben von FOIL stehen für vier Rechtecke 🖖

Lege ein Rechteck mit den Seitenlängen x + 2 und x + 3 neben den ausmultiplizierten Term. Es zerfällt in vier Teile, da sich jede Seite in zwei Abschnitte aufteilt: x², zwei Streifen mit 3x und 2x sowie eine 6 in der Ecke. Diese vier Flächen sind die vier Terme. Ihre Summe ergibt die Gesamtfläche. Genau das bedeutet „ausmultiplizieren“. In welcher Reihenfolge du die Flächen betrachtest, ist unwichtig. Deshalb funktioniert jede Merkregel, und deshalb ist auch keine einzige davon nötig. Ziehst du einen Koeffizienten in den negativen Bereich, wandert ein Streifen aus dem Block heraus und wird schraffiert. Eine negative Fläche ist schlichtweg eine Subtraktion. Das visuelle Modell funktioniert weiterhin tadellos, was man von bloßen Merkregeln nicht immer behaupten kann.

Faktorisieren ist dasselbe Bild, und deshalb ist es schwieriger 🖖

Wechsle zu Faktorisieren, und die Frage kehrt sich um: Die Fläche ist gegeben – wie lang waren die Seiten? Ein neuer Gedanke ist dafür nicht nötig. Ausmultiplizieren ist eine Rechnung, Faktorisieren dagegen eine Suche. Du kennst die Summe der vier Teilflächen und musst sie so anordnen, dass ein Rechteck entsteht. Wegen dieser Asymmetrie lässt sich die eine Richtung als Verfahren lehren, während die andere oft als Kunstgriff erscheint. Aus demselben Grund ist es leicht, zwei Primzahlen zu multiplizieren, während die Zerlegung ihres Produkts die Grundlage von RSA bildet.

Ein Test verrät, ob sich die Suche überhaupt lohnt 🖖

Bevor du nach Faktoren suchst, berechne b² − 4ac. Ist die Diskriminante eine Quadratzahl, lässt sich das Trinom über den ganzen Zahlen faktorisieren. Andernfalls gibt es keine passende Anordnung; langes Probieren ändert daran nichts. Klick auf Nicht faktorisierbar: x² + x + 1 hat die Diskriminante −3, das gesuchte Rechteck existiert also nicht. Dieselbe Diskriminante bestimmt auch die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion. Das ist kein Zufall: In den Seitenlängen des Rechtecks verbergen sich die Nullstellen, und ganzzahlige Seiten zu suchen heißt, nach rationalen Nullstellen zu fragen. Prüfst du sämtliche Trinome mit a zwischen 1 und 8 sowie b und c zwischen −12 und 12, erhältst du 733 mit quadratischer Diskriminante. Alle 733 lassen sich faktorisieren.

Aufgaben vollständig gelöst

Faktorisieren von 6x² + 5x − 4, um zu sagen, ob es aufgeht 7 Schritte
Faktorisiere 6x² + 5x − 4 und sag vorab, ob es funktionieren wird.
1. Berechne zuerst die Diskriminante. Das kostet nur eine Zeile und entscheidet, ob es überhaupt etwas zu finden gibt.
  
  $b^{2} - 4 a c = 5^{2} - 4 (6) (- 4) = 25 + 96 = 121$
2. 121 ist 11², somit existiert eine Faktorisierung in den ganzen Zahlen. Jetzt lohnt sich die Suche.
  
  $121 = 1 1^{2}$
3. Die Nullstellen leiten sich aus derselben Zahl ab. Da die Diskriminante eine Quadratzahl ist, sind sie rational.
  
  $x = \frac{- 5 \pm 11}{12} = \frac{1}{2}, - \frac{4}{3}$
4. Eine Nullstelle bei 1/2 bedeutet einen Faktor (2x − 1). Eine Nullstelle bei −4/3 führt zum Faktor (3x + 4). Das Auflösen der Nenner verwandelt die Nullstellen direkt in Klammerausdrücke.
  
  $(2 x - 1) (3 x + 4)$
5. Mach immer die Probe durch Ausmultiplizieren. Die beiden mittleren Streifen sind 8x und −3x. Zusammen ergeben sie genau die geforderten 5x.
  
  $6 x^{2} + 8 x - 3 x - 4 = 6 x^{2} + 5 x - 4 ✓$
6. Ändere nun das konstante Glied in −5 und wiederhole den ersten Schritt. Die Diskriminante ist dann 25 + 120 = 145. Das ist keine Quadratzahl, also gibt es kein Rechteck mit ganzzahligen Seiten und keinen Grund, danach zu suchen.
  
  $5^{2} - 4 (6) (- 5) = 25 + 120 = 145 \neq = k^{2}$
7. An diesem Punkt stoppt das Werkzeug, und eine wichtige Unterscheidung beginnt. 6x² + 5x − 5 lässt sich in den reellen Zahlen wunderbar faktorisieren, nämlich in Klammerausdrücke, die √145 enthalten. „Nicht faktorisierbar“ bedeutet immer „nicht innerhalb der Zahlen, auf die wir uns geeinigt haben“. Meistens bleibt diese Vereinbarung jedoch unausgesprochen.
  
  $6 x^{2} + 5 x - 5 = 6 (x - \frac{- 5 + 145}{12}) (x - \frac{- 5 - 145}{12})$
Antwort

(2x − 1)(3x + 4), und die Diskriminante von 121 = 11² hat dies schon vor der eigentlichen Suche verraten. Ändert man die −4 in eine −5, wird die Diskriminante zu 145. Das ist keine Quadratzahl. Dasselbe Trinom lässt sich in den ganzen Zahlen nicht mehr faktorisieren, bleibt aber in den reellen Zahlen problemlos zerlegbar.
Die Differenz zweier Quadrate, und die Zahl 8.051 7 Schritte
Multipliziere (x − 5)(x + 5) aus und sag, warum der mittlere Term verschwindet. Rechne dann 95 × 105 im Kopf, und entscheide, ob dasselbe Bild auch eine bloße Zahl zerlegen kann.
1. Die vier Teile des Rechtecks, in Leserichtung: die Ecke mit x², die beiden Streifen und die konstante Ecke.
  
  $x \cdot x + x \cdot 5 + (- 5) \cdot x + (- 5) \cdot 5$
2. Die beiden Streifen sind 5x und −5x. Sie heben sich auf, und das Trinom, das das Feld ausgibt, hat überhaupt keinen mittleren Term.
  
  $= x^{2} + 5 x - 5 x - 25 = x^{2} + 0 x - 25$
3. Die Diskriminantenkarte zeigt 100, eine Quadratzahl, es gibt also Klammern mit ganzen Zahlen darin. Hier wissen wir das bereits, weil wir sie selbst gebaut haben.
  
  $b^{2} - 4 a c = 0^{2} - 4 (1) (- 25) = 100 = 1 0^{2}$
4. Die Aufhebung war kein Glück. Gib den beiden Konstanten entgegengesetzte Vorzeichen, und die Streifen sind dasselbe Rechteck zweimal gezählt, einmal addiert und einmal abgezogen, welche Zahlen du auch wählst.
  
  $(x + q) (x - q) = x^{2} + q x - q x - q^{2} = x^{2} - q^{2}$
5. Nichts an dieser Überlegung verlangt, dass x ein Buchstabe ist. Setz 100 ein, und aus einer Multiplikation wird eine Subtraktion.
  
  $95 \times 105 = (100 - 5) (100 + 5) = 10 0^{2} - 5^{2} = 10, 000 - 25 = 9, 975$
6. Je zwei Zahlen lassen sich als ein Mittelpunkt und ein Abstand nach beiden Seiten schreiben, das funktioniert also bei jedem Paar, dessen Mittelwert leicht zu bilden ist.
  
  $47 \times 53 = (50 - 3) (50 + 3) = 2, 500 - 9 = 2, 491$
7. Rückwärts gelesen erledigt es die schwerere Arbeit. Um 8.051 zu faktorisieren, such ein Quadrat, das sie um ein weiteres Quadrat übertrifft: 90² ist das erste, das es tut, und die beiden Klammern sind die Faktoren. Das ist Fermats Methode, und sie ist genau dann schnell, wenn die beiden Faktoren nahe beieinanderliegen, wie 83 und 97 es tun.
  
  $9 0^{2} - 8, 051 = 8, 100 - 8, 051 = 49 = 7^{2} ⟹ 8, 051 = 83 \times 97$
Antwort

x² − 25, und 95 × 105 = 9.975. Der mittlere Term verschwindet, weil die beiden Streifen gleich groß und entgegengesetzt sind, sodass nur q² stehen bleibt. Lässt man die Identität rückwärts laufen, zerlegt sie Zahlen statt Ausdrücke: 8.051 = 90² − 7² = 83 × 97.

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b) ⟺ N = m^{2} - d^{2} = (m - d) (m + d)$

Lernpfad

Jenseits quadratischer Gleichungen

Führt zu Quadratische Lösungsformel die Produktform.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-09-03

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Beispielaufgaben

(x + 2)(x + 3) - Vier Teile: x², 3x, 2x und 6. Die beiden mittleren Streifen ergeben zusammen die 5x. Betrachtet man sie als einzelne Rechtecke, wird sofort klar, warum der mittlere Term eine Summe ist und kein Mysterium.
Etwas schwieriger - (2x − 1)(3x + 4) hat eine negative Seite. Deshalb wird ein Streifen außerhalb des Blocks gezeichnet und schraffiert. Seine Fläche beträgt −3x. In diesem Bild entspricht eine negative Fläche genau einer Subtraktion.
Quadratdifferenz - (x − 5)(x + 5) liefert 5x und −5x, die sich aufheben. Das Rechteck besitzt zwei Streifen gleicher Größe, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen. Darin besteht das gesamte Prinzip der Differenz zweier Quadrate.
Nicht faktorisierbar - x² + x + 1 hat die Diskriminante −3. Ein Rechteck mit ganzzahligen Seiten und diesem Flächeninhalt gibt es nicht; das stand schon vor der Suche fest.