Rechner für komplexe Zahlen

Führe Rechenoperationen mit komplexen Zahlen durch und sieh die Ergebnisse in der Gaußschen Zahlenebene.

Rechenbeispiel — Rechner für komplexe Zahlen

z2	1+2i
Ergebnis	4+4i

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Die Multiplikation mit der Konjugierten wirft den Imaginärteil absichtlich weg 🖖

Die Voreinstellung conjugate multipliziert 3 + 2i mit 3 − 2i, und das Ergebnis ist 13 — ohne jeden Imaginärteil. Das ist kein besonderes Paar: (a + bi)(a − bi) fällt immer auf a² + b² zusammen, weil die gemischten Terme +abi und −abi sind. Und 13 ist genau 3² + 2², also |z|², das Quadrat des Abstands vom Ursprung, den das Werkzeug in der Ebene zeichnet. Genau darauf beruht die komplexe Division: man erweitert mit der Konjugierten, und der Nenner wird reell.

Ein Punkt, zwei Adressen 🖖

Eine komplexe Zahl ist einfach ein Punkt in der Ebene. Die kartesische Form a + bi benennt ihn über Koordinaten — so weit nach rechts, so weit nach oben —, die Polarform r∠θ über Abstand und Richtung vom Ursprung. Derselbe Punkt, zwei Bezeichnungen; schalte die Polarform-Anzeige um, um beide zugleich zu sehen. Faustregel: kartesische Form zum Addieren, Polarform zum Multiplizieren und Potenzieren.

Imaginäre Zahlen für reelle Antworten 🖖

Komplexe Zahlen wurden nicht erfunden, um x² + 1 = 0 zu lösen — das interessierte niemanden. Erzwungen wurden sie durch kubische Gleichungen. Cardanos Formel von 1545 für x³ = px + q führt mitunter über Quadratwurzeln negativer Zahlen, selbst wenn alle drei Lösungen gewöhnliche reelle Zahlen sind. 1572 zeigte Bombelli, dass sich diese „unmöglichen“ Größen wegheben und die richtigen reellen Antworten liefern. Das Imaginäre war ein Umweg zum Reellen.

Die Multiplikation mit i ist eine Vierteldrehung 🖖

Bei der Multiplikation addieren sich die Argumente und multiplizieren sich die Beträge. Die Multiplikation mit i — das bei |z| = 1, arg = 90° liegt — ist deshalb eine reine Vierteldrehung. Trage 3 + 2i in z₁ und i in z₂ ein, und die Antwort lautet −2 + 3i; tippe −2 und 3 zurück in z₁, und die Anzeige nennt arg(z₁) = 123.7° gegenüber den 33.7° davor, bei |z₁| = 3.606 in beiden Fällen. Gedreht, nicht gestreckt. Die Voreinstellung De Moivre n=4 ist dieselbe Regel viermal: 45° hoch vier landet auf −1 + 0i, also 180°. Die Anzeige gibt |z₁| und arg(z₁) nur für z₁ aus, sodass man das Addieren der Winkel erst sieht, wenn man die Antwort zurück ins erste Feld setzt.

Aufgabe vollständig gelöst

Multiplikation von 3 + 2i mit seiner Konjugierten, um ein Produkt zu beweisen 5 Schritte
Multiplizieren Sie 3 + 2i mit ihrer Konjugierten und wandeln Sie das Ergebnis in einen Beweis dafür um, dass ein Produkt zweier Summen von zwei Quadraten wieder eine Summe von zwei Quadraten ist. Dies ist Multiplizieren mit z₁ = 3 + 2i und z₂ = 3 − 2i.
1. Die beiden gemischten Terme sind gleich groß und entgegengesetzt vorzeichenbehaftet, heben sich also auf. Übrig bleibt das −b²i², das sein Vorzeichen wechselt und addiert wird, anstatt subtrahiert zu werden — daher ergibt das Produkt eines konjugierten Paares stets eine reelle Zahl, und diese Zahl setzt sich aus Quadraten zusammen.
  
  $(a + bi) (a - bi) = a^{2} - b^{2} i^{2} = a^{2} + b^{2} ⟹ (3 + 2 i) (3 - 2 i) = 9 + 4 = 13$
2. Diese reelle Zahl hat bereits einen Namen. Der Betrag ist der Abstand vom Ursprung, daher ist |z|² nach dem Satz des Pythagoras a² + b², und die 3,606 des Bedienfelds ist √13, aufgerundet an der dritten Dezimalstelle.
  
  $∣ z ∣ = a^{2} + b^{2} = 13 = 3.605551, z \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2} = 13$
3. Nun das allgemeine Produkt zweier komplexer Zahlen, wobei i² = −1 einen Term hinüberwechseln lässt, um sich dem Realteil anzuschließen. Hier treten noch keine Beträge auf.
  
  $(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$
4. Wenden Sie Schritt 1 auf dieses Produkt an. Ein zweites Paar gemischter Terme, −2abcd und +2abcd, hebt sich beim Ausmultiplizieren auf, und die vier verbleibenden Terme lassen sich in zwei Klammern faktorisieren. Jeder Buchstabe ist eine ganze Zahl, wenn man dies möchte, und nichts in der letzten Zeile erwähnt i.
  
  $(a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2} = a^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} = (a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2})$
5. Ein Paar ganzzahliger Paare erzeugt also ein drittes. 3 + 2i trägt 13 und 1 + 2i trägt 5; ihr Produkt trägt 65. Die Konjugation des zweiten Faktors spiegelt ihn an der reellen Achse und liefert ein anderes Paar mit derselben Summe.
  
  $(3 + 2 i) (1 + 2 i) = - 1 + 8 i : 1^{2} + 8^{2} = 65 = 13 \times 5; (3 + 2 i) (1 - 2 i) = 7 - 4 i : 7^{2} + 4^{2} = 65$
Antwort

Das Bedienfeld zeigt das konjugierte Produkt als 13 und den Betrag als 3,606 an, und 3,606² = 13,003 ist der Rundung geschuldet und keine Abweichung. Festhaltenswert ist, dass die Identität das Entfernen der komplexen Zahlen übersteht: (a² + b²)(c² + d²) = (ac − bd)² + (ad + bc)² ist eine Aussage über vier ganze Zahlen, in der kein i mehr vorkommt. Diophant hielt genau diese Zahl im dritten Jahrhundert fest — 65 zerfalle in 1 + 64 und in 16 + 49, bemerkte er, da sie 13 × 5 ist und jeder Faktor selbst eine Summe zweier Quadrate ist — rund dreizehn Jahrhunderte bevor Cardano zum ersten Mal die Quadratwurzel einer negativen Zahl niederschrieb. Zwei Primfaktoren, zwei Darstellungen: 13 allein hat nur 9 + 4, und 5 allein hat nur 1 + 4. Die komplexe Multiplikation ist die Maschine, die die zweite Darstellung erzeugt, und die Konjugation ist der Hebel, der zwischen ihnen umschaltet.

$(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) = (a c - b d)^{2} + (a d + b c)^{2}$

Lernpfad

Jenseits quadratischer Gleichungen

Führt zu Polynomdivision

Quellen (1)

Insight block 3 — the cubic that made imaginary numbers unavoidable: G. Cardano, Artis Magnae, sive de Regulis Algebraicis. Nuremberg, 1545, chapter XXXVII. R. Bombelli, L'Algebra, Book I. Bologna, 1572 — where the "impossible" quantities are shown to cancel and leave the real roots.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

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Beispielaufgaben

Mit i multiplizieren - Die Zahl z₁ = 1 hat den Betrag 1 und das Argument 0°, und nach der Multiplikation mit i steht dort 0+1i. Hier wurde nichts gestreckt. Der Betrag ist weiterhin 1, nur das Argument hat sich um eine Vierteldrehung verschoben. Das ist schon alles, was i mit einer Zahl anstellt. Deshalb gilt auch i² = −1, denn das sind ganz einfach zwei Vierteldrehungen.
De Moivre n=4 - Bei arg(z₁) steht 45° und für |z₁| eine 1. Die vierte Potenz landet demnach exakt bei −1+0i: Potenzieren multipliziert das Argument und lässt einen Betrag von eins völlig unangetastet. Pass aber bei der Rundung auf – 0,707 ist nur ein auf zwei Nachkommastellen gerundeter Ersatz für 1/√2. In Wahrheit liegt der Betrag also knapp unter 1. Die Anzeige hat das hier einfach glattgebügelt.
4. Einheitswurzeln - Die vier vierten Wurzeln aus 1 erscheinen als 1+0i, 0+1i, −1+0i und 0−1i – genau die Ecken eines Quadrats auf dem Einheitskreis. Addierst du sie, erhältst du 0. Das gilt für die n-ten Einheitswurzeln bei jedem n größer als 1. Sie bilden nämlich stets die Eckpunkte eines regelmäßigen Vielecks mit dem Ursprung als Mittelpunkt.
konjugiertes Paar - |z₁| zeigt 3,606 und (3+2i)(3−2i) liefert 13+0i – das Betragsquadrat, 3² + 2², ganz ohne Imaginärteil. Ein konjugiert komplexes Paar ergibt bei der Multiplikation immer eine reelle Zahl. Das ist der eigentliche Trick bei der Division durch komplexe Zahlen. Multipliziere oben und unten mit der Konjugierten, und schon wird der Nenner reell.