Explorer für rationale Funktionen
Verschiebe Nullstelle, Polstelle und Verstärkung und beobachte, wie sich die Kurvenäste ändern
Pol- und Nullstellenanalyse 🖖
Rationale Funktionen offenbaren die Spannung zwischen Zähler- (Nullstellen) und Nennerwurzeln (Polstellen). Bei Annäherung an einen Pol detoniert die Funktion gegen Unendlich. Das Verhältnis der führenden Polynome diktiert horizontale Asymptoten.
Jede Kurve hier ist eine Hyperbel 🖖
Das Werkzeug berechnet f(x)=k(x−z)/(x−p): den Abstand zu einer Nullstelle geteilt durch den Abstand zu einem Pol, skaliert mit k. Egal welche Werte du wählst, der Graph behält stets dieselbe Form — eine Hyperbel, genau die Kurve von y=1/x. Das Verschieben von z und p verschiebt sie nur; das Ändern von k streckt sie und kehrt um, in welche Richtung sich die beiden Äste öffnen. Fazit: Wer y=1/x beherrscht, beherrscht sie alle.
Ein Pol ist nur nach Wahl unendlich 🖖
Als (ax+b)/(cx+d) geschrieben ist jede Funktion mit einer Nullstelle und einem Pol eine Möbiustransformation — die Abbildungen, die komplexe Analysis und hyperbolische Geometrie beherrschen. Fügt man einen einzigen Punkt im Unendlichen hinzu (die Riemannsche Zahlenkugel), hört der Pol auf, eine Katastrophe zu sein: x=p wird einfach auf diesen neuen Punkt abgebildet und x=∞ auf die horizontale Asymptote y=k. Auf der Kugel ist die Funktion eine glatte, umkehrbare Bijektion — die „Explosion" ist nur ein Artefakt der flachen Karte.
Beispielaufgaben
- einfach - Einfache Form mit einer Nullstelle und einem Pol sowie deutlichen Asymptoten.
- steile Polstelle - Ein Pol nahe dem Ursprung erzeugt eine starke lokale Divergenz.
- negative Verstärkung - Ein negativer Verstärkungsfaktor kehrt die Ausrichtung der Äste an den Asymptoten um.
- fast gekürzt - Eine fast vollständige Kürzung von Nullstelle und Pol ahmt lokal eine hebbare Definitionslücke nach.