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Quadratische Gleichung lösen

reelle und komplexe Nullstellen, Schritt für Schritt

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Ein Vorzeichen unter der Wurzel entscheidet alles 🖖

Die quadratische Lösungsformel ist weit mehr als ein simpler Rechentrick. Sie macht tiefliegende Symmetrien sichtbar. Betrachtest du die allgemeine Form, markiert x = -b/(2a) die Symmetrieachse, das zentrale Rückgrat der Parabel. Der Term unter der Wurzel, b² - 4ac, heißt Diskriminante Δ. Ihr Vorzeichen verrät dir, auf welcher Seite der x-Achse der Scheitelpunkt liegt. Teilst du sie durch 4a, erhältst du den genauen Abstand zur Achse. Ist Δ > 0, schneidet die Parabel die Achse in zwei getrennten Punkten. Beide liegen völlig symmetrisch zum Scheitelpunkt. Bei Δ = 0 sitzt der Scheitelpunkt direkt auf der Achse und liefert eine doppelte Nullstelle. Fällt Δ < 0 aus, schwebt die Kurve losgelöst über oder unter der Achse. Ihre Lösungen wandern dann als konjugiert komplexes Paar in die komplexe Zahlenebene ab. In der modernen Mathematik bildet diese schlichte Formel ein Fundament der Körpertheorie: Um quadratische Gleichungen universell lösen zu können, musst du die rationalen Zahlen um Wurzeln erweitern. Daran zeigt sich, wie Geometrie und Algebra im Kern vereint sind.

Eine schnelle Wurzelprobe 🖖

Schon bevor es die Formel gab, entdeckten Mathematiker ein Muster in den Koeffizienten. Für jedes ax² + bx + c = 0 ergeben die beiden Wurzeln in der Summe stets -b/a und im Produkt c/a — bekannt als Satz von Vieta. Für x² - 5x + 6 müssen die Wurzeln sich also zu 5 addieren und zu 6 multiplizieren: 2 und 3. Das ist die schnellste Kontrolle der Lösung, ganz ohne Einsetzen.

Wenn die berühmte Formel leise versagt 🖖

Die Formel aus dem Lehrbuch kann dich am Computer böse im Stich lassen. Ist b² weitaus größer als 4ac, entspricht die Wurzel fast exakt |b|. In der Konsequenz ziehst du bei der Berechnung einer der beiden Nullstellen zwei beinahe identische Zahlen voneinander ab. Das passiert bei -b + √Δ, wenn b positiv ist, und bei -b − √Δ, wenn b negativ ist. Dabei gehen die meisten signifikanten Stellen verloren. Fachleute nennen diesen Effekt katastrophale Auslöschung. Numerische Bibliotheken umschiffen das Problem geschickt. Sie berechnen zuerst nur eine Nullstelle. Die andere bestimmen sie danach direkt über c/(a·x₁). Jahrhundertealte Algebra und moderne Gleitkommaarithmetik stehen hier in einem stillen Widerspruch.

THEORIE DER QUADRATISCHEN GLEICHUNG — ax² + bx + c LESEN, BEVOR MAN LÖST

Die Diskriminante: Wie viele Lösungen, und in welche Richtung geöffnet?

Zwei Zahlen legen die Form der Antwort fest, noch bevor du die Lösungsformel anwendest. Die Diskriminante Δ = b² − 4ac sagt dir, wie viele reelle Lösungen es gibt, und das Vorzeichen von a sagt dir, wohin die Parabel geöffnet ist und ob ihr Scheitel ein tiefster oder ein höchster Punkt ist.

Δ > 0 — zwei verschiedene reelle Lösungen Δ = b2 − 4ac > 0
Δ = 0 — eine doppelte reelle Lösung Δ = 0
Δ < 0 — zwei konjugiert komplexe Lösungen Δ < 0
a < 0 — die Parabel ist nach unten geöffnet a < 0

01

Δ > 0 — zwei verschiedene reelle Lösungen

Gegeben: Die Diskriminante b² − 4ac ist positiv. Die Parabel schneidet die x-Achse in zwei getrennten Punkten.

Lösungen: Δ = b2 − 4ac > 0

Rechenbeispiel: x² − 5x + 6 = 0 → Δ = 25 − 24 = 1 → x = 2 und x = 3

Diesen Fall öffnen: zwei Nullstellen
Δ > 0 — zwei verschiedene reelle Lösungen. Δ > 0: Die Kurve schneidet die Achse zweimal, symmetrisch zum Scheitel. Die Diskriminante b² − 4ac ist positiv. Die Parabel schneidet die x-Achse in zwei getrennten Punkten.
Δ > 0: Die Kurve schneidet die Achse zweimal, symmetrisch zum Scheitel.

02

Δ = 0 — eine doppelte reelle Lösung

Gegeben: Die Diskriminante ist genau null. Die Parabel berührt die x-Achse in einem Punkt, statt sie zu schneiden.

Lösungen: Δ = 0

Rechenbeispiel: x² − 4x + 4 = 0 → Δ = 16 − 16 = 0 → x = 2, doppelt gezählt

Diesen Fall öffnen: doppelte Nullstelle
Δ = 0 — eine doppelte reelle Lösung. Δ = 0: Der Scheitel liegt genau auf der Achse — eine Berührung, kein Schnitt. Die Diskriminante ist genau null. Die Parabel berührt die x-Achse in einem Punkt, statt sie zu schneiden.
Δ = 0: Der Scheitel liegt genau auf der Achse — eine Berührung, kein Schnitt.

03

Δ < 0 — zwei konjugiert komplexe Lösungen

Gegeben: Die Diskriminante ist negativ. Die Parabel erreicht die x-Achse nie, es gibt also keine reelle Lösung.

Lösungen: Δ < 0

Rechenbeispiel: x² + 2x + 5 = 0 → Δ = 4 − 20 = −16 → x = −1 ± 2i

Diesen Fall öffnen: komplexe Nullstellen
Δ < 0 — zwei konjugiert komplexe Lösungen. Δ < 0: Die gesamte Kurve bleibt auf einer Seite der Achse. Die Diskriminante ist negativ. Die Parabel erreicht die x-Achse nie, es gibt also keine reelle Lösung.
Δ < 0: Die gesamte Kurve bleibt auf einer Seite der Achse.

04

a < 0 — die Parabel ist nach unten geöffnet

Gegeben: Der Leitkoeffizient a ist negativ. Das ist unabhängig von der Diskriminante: Es spiegelt die Kurve und macht den Scheitel zum Maximum.

Lösungen: a < 0

Rechenbeispiel: −x² + 4 = 0 → Δ = 0 + 16 = 16 > 0 → x = ±2, mit einem Maximum bei (0, 4)

Diesen Fall öffnen: nach unten geöffnet
a < 0 — die Parabel ist nach unten geöffnet. a < 0: Die Äste zeigen nach unten, der Scheitel ist das Maximum. Der Leitkoeffizient a ist negativ. Das ist unabhängig von der Diskriminante: Es spiegelt die Kurve und macht den Scheitel zum Maximum.
a < 0: Die Äste zeigen nach unten, der Scheitel ist das Maximum.
Quellen (1)

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Lösung von x² − 5x + 6 = 0 durch quadratische Ergänzung 5 Schritte

    Lösen Sie x² − 5x + 6 = 0 durch quadratische Ergänzung. Beantworten Sie dann etwas, das Ihnen die quadratische Lösungsformel nicht verrät: Die Diskriminante zählt die Nullstellen, aber was misst ihre Größe?

    1. Die quadratische Ergänzung ist kein Trick zum Lösen quadratischer Gleichungen — sie ist der Beweis für die Gültigkeit der quadratischen Lösungsformel, angewendet auf eine konkrete Gleichung. Halbieren Sie den Koeffizienten von x, quadrieren Sie ihn, addieren und subtrahieren Sie ihn. Die 6,25, die dabei entsteht, ist der Preis dafür, die ersten beiden Terme in ein vollständiges Quadrat zu zwingen, und er muss in derselben Zeile wieder beglichen werden.

    2. Die Scheitelpunktform bringt die Variable an genau eine Stelle, sodass die Operationen direkt rückgängig gemacht werden können: Isolieren Sie das Quadrat, ziehen Sie beide Wurzeln und addieren Sie 2,5. Es wurde keine Formel benötigt und keine auswendig gelernt.

    3. Nun zur Diskriminante. Hier ist Δ = 1, und da sie positiv ist, gibt es zwei reelle Nullstellen. Das ist der Teil, den jedes Lehrbuch erwähnt.

    4. Sie taucht noch zwei weitere Male auf, und keines von beiden wird üblicherweise laut ausgesprochen. Der Abstand zwischen den Nullstellen beträgt √Δ/|a|, weil das ± in der Formel zu jeder von ihnen ±√Δ/2a beiträgt. Und der Scheitelpunkt liegt Δ/4a unterhalb der Achse — die −0,25 in der Anzeige oben ist kein unabhängiges Ergebnis, sondern wieder die Diskriminante, geteilt durch vier.

    5. Der Satz von Vieta schließt den Kreis. Multiplizieren Sie a(x − x₁)(x − x₂) aus, vergleichen Sie es Term für Term mit ax² + bx + c, und Summe sowie Produkt der Nullstellen ergeben sich, ohne etwas lösen zu müssen.

    Antwort

    Die Nullstellen lauten x = 2 und x = 3, und das Werkzeug gibt den Scheitelpunkt aus derselben Ergänzung bei (2,5, −0,25) aus. Der Gewinn besteht darin, dass eine einzige Zahl drei getrennte Sachverhalte steuert. Δ = 1 macht die Nullstellen reell, platziert sie genau 1 voneinander entfernt und senkt den Scheitelpunkt genau 0,25 unter die Achse. Erhöhen Sie c gegen 6,25 und beobachten Sie, wie sich alle drei gemeinsam verändern: Die Nullstellen rücken zusammen, der Abstand schließt sich wie √Δ, und die Parabel steigt, bis sie bei Δ = 0 die Achse berührt. Es waren nie drei Zufälle — es ist eine einzige Größe, betrachtet aus drei Blickwinkeln.

Lernpfad

Jenseits quadratischer Gleichungen

Führt zu complex-numbers

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