Quadratische Gleichung lösen

Die quadratische Formel ist mehr als ein algebraischer Trick — sie ist eine Abbildung von Symmetrie. In der Standardform stellt x = -b/(2a) die Symmetrieachse dar, das zentrale Rückgrat der Parabel. Der Term unter der Quadratwurzel, b² - 4ac, ist die Diskriminante Δ. Sie misst, wie weit der Scheitelpunkt der Parabel von der x-Achse entfernt ist. Wenn Δ > 0, schneidet die Parabel die Achse an zwei verschiedenen Punkten, symmetrisch zum Scheitelpunkt. Wenn Δ = 0, liegt der Scheitelpunkt exakt auf der Achse, was eine doppelte Wurzel ergibt. Und wenn Δ < 0, schwebt die Parabel über oder unter der Achse, und ihre Wurzeln weichen als konjugiert komplexes Paar in die komplexe Ebene aus. In der modernen Mathematik ist diese einfache Formel die Grundlage der Feldtheorie: Das Lösen quadratischer Gleichungen erfordert die Erweiterung der rationalen Zahlen um Radikale, was zeigt, wie Geometrie und Algebra grundlegend vereint sind.

Schon bevor es die Formel gab, entdeckten Mathematiker ein Muster in den Koeffizienten. Für jedes ax² + bx + c = 0 ergeben die beiden Wurzeln in der Summe stets -b/a und im Produkt c/a — bekannt als Satz von Vieta. Für x² - 5x + 6 müssen die Wurzeln sich also zu 5 addieren und zu 6 multiplizieren: 2 und 3. Das ist die schnellste Kontrolle der Lösung, ganz ohne Einsetzen.

Auf dem Computer kann die Schulformel trügen. Ist b² viel größer als 4ac, liegt die Wurzel nahe bei |b|, sodass der Schritt -b + √Δ zwei fast gleiche Zahlen subtrahiert und dabei die meisten gültigen Stellen vernichtet — ein Effekt namens Auslöschung. Numerische Bibliotheken berechnen deshalb zuerst eine Wurzel und die andere über c/(a·x₁). Jahrhundertealte Algebra und moderne Gleitkommaarithmetik geraten hier still in Konflikt.