Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Färbst du die Fläche unter einer Kurve von einem festen Start a bis zu einem beweglichen Ende x ein, wird die Fläche selbst zu einer Funktion von x. Die Seite zeichnet ihren Verlauf direkt darunter auf, misst ihr Wachstum und stellt diese Rate neben die Höhe der Kurve bei x. Der erste Teil des Hauptsatzes besagt, dass beide Zahlen immer gleich sind. Und der zweite folgt direkt daraus: Eine Stammfunktion berechnet das bestimmte Integral.

Teil 1	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$
Teil 2	$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a), F^{'} = f$
Mit x² oder beliebigem g(x) an der oberen Grenze	$\frac{d}{d x} \int_{a}^{g (x)} f (t) d t = f (g (x)) g^{'} (x)$

Rechenbeispiel — Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Fläche von a bis x (Simpson)	0,7468
Höhe der Kurve bei x	0,3679

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Die Integralfunktion von f ab a ist A(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, der orientierte Flächeninhalt unter f zwischen a und x. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besteht aus zwei Teilen: A′(x) = f(x) an jeder Stelle, an der f stetig ist, und folglich ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) für jede Stammfunktion F von f.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

A(x): die Fläche unter f von a bis x; unterhalb der Achse wechselt ihr Vorzeichen, und noch einmal, wenn x links von a liegt
a: der feste Start; veränderst du ihn, verschiebt sich A um eine Konstante, während A′ unberührt bleibt

Woher die Formel kommt

Teil 1: Die Steigung der Fläche ist die Kurvenhöhe. Über einen kleinen Schritt von x nach x + h entspricht der Flächenzuwachs einem Streifen der Breite h mit einer Höhe von ungefähr f(x). Die Fläche wächst also mit der Rate f(x) pro x-Einheit.
$\frac{A ( x + h ) - A ( x )}{h} = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t ⟶ f (x)$
Teil 2: Berechnung mit einer beliebigen Stammfunktion. A und jede Stammfunktion F haben dieselbe Ableitung; sie unterscheiden sich daher nur um eine Konstante, die durch A(a) = 0 festgelegt wird.
$A (x) = F (x) + C, A (a) = 0 \Rightarrow C = - F (a) \Rightarrow \int_{a}^{b} f = F (b) - F (a)$

Setzt voraus: f ist auf dem Intervall stetig. Wo f Sprungstellen hat, besitzt die Flächenfunktion einen Knick und dort keine Steigung, bleibt aber dennoch definiert.

Aufgaben vollständig gelöst

Ein Integral mit x an der oberen Grenze ableiten 1 Schritte
Bestimme d/dx ∫₁^x √(1 + t³) dt.
1. Direkt nach Teil 1: Die Ableitung der Flächenfunktion ist der Integrand an der Stelle x.
  
  $\frac{d}{d x} \int_{1}^{x} 1 + t^{3} d t = 1 + x^{3}$
Antwort

√(1 + x³). Eine Stammfunktion von √(1 + t³) wird nicht benötigt – ein Glück, denn es gibt keine elementare.

$1 + x^{3}$
x² an der oberen Grenze: Die Kettenregel kommt ins Spiel 2 Schritte
Bestimme d/dx ∫₀^x² cos t dt.
Lösung anzeigen
1. Die Flächenfunktion lautet A(u) mit u = x². Leite also A an der Stelle u ab und multipliziere mit du/dx:
  
  $\frac{d}{d x} \int_{0}^{x^{2}} cos t d t = cos (x^{2}) \cdot 2 x$
2. Gegenprobe durch vorheriges Integrieren:
  
  $\int_{0}^{x^{2}} cos t d t = sin (x^{2}) \Rightarrow \frac{d}{d x} sin (x^{2}) = 2 x cos (x^{2})$
Antwort

2x cos(x²). Wer nur cos(x²) notiert, vergisst die innere Ableitung, genau wie bei jeder anderen Kettenregel.

$2 x cos (x^{2})$
x in beiden Grenzen 3 Schritte
Bestimme d/dx ∫_x^2x t² dt.
Lösung anzeigen
1. Teile das Integral an einem beliebigen Punkt, etwa 0, sodass jedes Teilintegral x nur noch in einer Grenze trägt:
  
  $\int_{x}^{2 x} t^{2} d t = \int_{0}^{2 x} t^{2} d t - \int_{0}^{x} t^{2} d t$
2. Leite beide Teile ab, beim oberen mit der Kettenregel:
  
  $\frac{d}{d x} = (2 x)^{2} \cdot 2 - x^{2} = 8 x^{2} - x^{2} = 7 x^{2}$
3. Gegenprobe durch vorheriges Integrieren:
  
  $\int_{x}^{2 x} t^{2} d t = \frac{8 x ^{3} - x ^{3}}{3} = \frac{7 x ^{3}}{3} \Rightarrow 7 x^{2}$
Antwort

7x². Die untere Grenze geht mit einem Minuszeichen ein, da ein größeres x dort Fläche wegnimmt.

$7 x^{2}$
Ein bestimmtes Integral über eine Stammfunktion berechnen 1 Schritte
Berechne ∫₀^π sin x dx.

Öffne diese Aufgabe im Tool
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1. −cos x ist eine Stammfunktion von sin x, Teil 2 greift also direkt:
  
  $\int_{0}^{π} sin x d x = [- cos x]_{0}^{π} = - cos π + cos 0 = 1 + 1$
Antwort

2. Öffne das Problem im Tool: Auch Streifen für Streifen aufsummiert beträgt die Fläche 2, und die Flächenfunktion verläuft bei π flach – an ihrem höchsten Punkt.

$\int_{0}^{π} sin x d x = 2$
Eine Flächenfunktion am Integranden ablesen 3 Schritte
Gegeben sei g(x) = ∫₀^x (t² − 4) dt. Wo wächst g, wo liegen die Extrema, wo hat g einen Wendepunkt, und was ergibt g(2)?

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Nach Teil 1 gilt g′(x) = x² − 4, positiv außerhalb von [−2, 2] und negativ im Inneren:
  
  $g^{'} (x) = x^{2} - 4 : g^{'} > 0 ⟺ ∣ x ∣ > 2, g^{'} < 0 ⟺ ∣ x ∣ < 2$
2. g″(x) = 2x wechselt bei 0 das Vorzeichen, dort liegt also ein Wendepunkt:
  
  $g^{''} (x) = 2 x = 0 ⟺ x = 0$
3. Und g(2) nach Teil 2:
  
  $g (2) = [\frac{t ^{3}}{3} - 4 t]_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 8 = - \frac{16}{3}$
Antwort

g wächst auf (−∞, −2] und [2, ∞) und fällt auf [−2, 2]; Hochpunkt bei −2, Tiefpunkt bei 2, Wendepunkt bei 0; g(2) = −16/3 ≈ −5,3333. Jedes einzelne dieser Resultate ergab sich allein aus dem Vorzeichen von t² − 4 und dessen Steigung, noch bevor g selbst aufgeschrieben wurde.

$max : x = - 2, min : x = 2, g (2) = - \frac{16}{3} \approx - 5.3333$
Der Logarithmus als Flächeninhalt 1 Schritte
Berechne ∫₁^e dt/t.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. ln t ist eine Stammfunktion von 1/t für t > 0:
  
  $\int_{1}^{e} \frac{d t}{t} = [ln t]_{1}^{e} = ln e - ln 1 = 1 - 0$
Antwort

1. Von hinten gelesen ist dies der Ausgangspunkt vieler Lehrbücher: ln x ist die Fläche unter 1/t von 1 bis x, und e ist jene Zahl, bei der diese Fläche genau 1 erreicht.

$\int_{1}^{e} \frac{d t}{t} = 1$

Die Steigung der Fläche ist die Höhe der Kurve, mit oder ohne Formel 🖖

Klick auf e^(−t²): keine Formel. Um die untere Kurve zu zeichnen, nutzt diese Seite an keiner Stelle eine Stammfunktion: Sie summiert die Fläche unter e^−t² Streifen für Streifen auf. Bei x = 1 beträgt die Fläche 0,7468. Die untere Kurve steigt dort um 0,3679 pro Einheit an – exakt die Höhe der Glockenkurve bei 1. Verschiebe x wohin du willst: Beide Zahlen bleiben stets gleich. Die Erklärung passt in einen einzigen Satz: Verbreiterst du das Intervall von x auf x + h, wächst die Fläche um einen Streifen der Breite h und der ungefähren Höhe f(x). Sie wächst also mit der Rate f(x) pro x-Einheit. Nichts daran verlangt eine geschlossene Formel. Liouville bewies, dass e^−t² keine besitzt. Der Hauptsatz schenkt ihr trotzdem eine Stammfunktion: die Flächenfunktion selbst.

Jede Flächenfunktion ist eine Stammfunktion, aber nicht umgekehrt 🖖

Klick auf cos t ab a = 2. Verschiebst du den Startwert a, wandert die gesamte untere Kurve nach oben oder unten, ohne ihre Form zu verändern. Ihre Steigung bei x bleibt daher immer cos 1 = 0,5403, ganz egal wie a gewählt ist. Jede Wahl von a liefert eine Stammfunktion von cos t. Die Umkehrung gilt nicht: Auch sin t + 5 ist eine Stammfunktion von cos t, doch keine Flächenfunktion kann ihr gleichen. Eine Flächenfunktion hat an ihrem Startpunkt stets den Wert 0, während sin t + 5 niemals unter 4 fällt. Das Integral ∫ₐˣ wählt genau jene Stammfunktionen aus, die irgendwo eine Nullstelle besitzen. Für den Hauptsatz genügt ohnehin eine einzige.

Die Fläche erreicht ihr Maximum dort, wo die Kurve die Null nach unten schneidet 🖖

Klick auf sin t bis π. Die Fläche beträgt 2 und die untere Kurve verläuft waagerecht. Vor π liegt der Graph über der Achse und steuert Fläche bei, hinter π liegt er darunter und zieht Fläche ab. Bei π liegt also das Maximum. Klick auf t² − 4 bis 2: Hier beträgt die Fläche −5,3333 an einem Tiefpunkt, aus genau spiegelbildlichem Grund. In Klausuren wird oft verlangt, solche Punkte allein am Graphen von f abzulesen. Der Hauptsatz erklärt, warum das funktioniert: Die Flächenfunktion steigt, wo f positiv ist; sie fällt, wo f negativ ist; sie hat ein Extremum, wo f das Vorzeichen wechselt; und sie besitzt einen Wendepunkt, wo f selbst Hoch- oder Tiefpunkte hat. Die grauen Punkte im unteren Diagramm markieren ihre Extrempunkte.

Lernpfad

Anwendungen der Integralrechnung

Quellen (1)

Both parts as the page states them: Theorem 5.4 (if f is continuous on [a, b] and F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt, then F′(x) = f(x) on (a, b)) and Theorem 5.5 (∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) for any antiderivative F of a continuous f): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.3, “The Fundamental Theorem of Calculus”.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.