Stammfunktionen

Das Integrieren hat eine Potenzregel, genau wie das Ableiten, und jede Formelsammlung nennt eine Ausnahme: n = −1. Schiebe n durch diese Ausnahme und sieh, was passiert. Verfolge dann ein Integral Schritt für Schritt, und probiere eigene aus: Du tippst eine Stammfunktion ein, und die Seite leitet sie ab und vergleicht das Ergebnis mit dem Integranden.

Potenzregel	$\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq = - 1$
Die Ausnahme, n = −1	$\int \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣ + C$

Rechenbeispiel — Stammfunktionen

Konstante zwischen beiden Formen	100,00
Abstand zu ln x, geteilt durch n + 1	0,9654

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Stammfunktionen

Eine Stammfunktion von f auf einem Intervall ist eine Funktion F mit F′(x) = f(x) für jedes x des Intervalls. Ist F eine solche, dann auch F + C für jede Konstante C, und auf einem Intervall sind das alle; in einem zweigeteilten Definitionsbereich, wie x ≠ 0 bei 1/x, verlangt jedes Teilintervall seine eigene Konstante. Das unbestimmte Integral ∫f(x) dx bezeichnet die gesamte Familie.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

F_n: die Stammfunktion von xⁿ durch (1, 0): (xⁿ⁺¹ − 1)/(n + 1), was ∫₁^x tⁿ dt entspricht, und ln x bei n = −1
C: die Integrationskonstante. Ihre Ableitung ist 0, daher liefert jeder Wert eine Stammfunktion

Woher die Formel kommt

Warum 1/(n + 1) die zu entfernende Konstante ist. F_n(x) = ∫₁^x tⁿ dt ist die Fläche unter tⁿ von 1 bis x. Eine kleine Änderung in n ändert jede Höhe tⁿ ein wenig, also ändert sich auch die Fläche nur leicht: F_n darf nicht springen, wenn n die −1 passiert, und bei n = −1 muss es die Fläche unter 1/t von 1 bis x sein, was ln x ist. Die Lehrbuchform lautet F_n + 1/(n + 1), und genau diese Konstante explodiert.
$F_{n} (x) = \int_{1}^{x} t^{n} d t = \frac{x ^{n + 1} - 1}{n + 1} = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} - \to \pm \infty \frac{1}{n + 1}$
Der Grenzwert, berechnet. Setze h = n + 1 und entwickle xʰ als Reihe nach h. Der Abstand zu ln x beträgt etwa h(ln x)²/2, für x = 4 also 0,9609h: genau die Zahl, der die letzte Spalte der Tabelle zustrebt.
$x^{h} = e^{h l n x} = 1 + h ln x + \frac{h ^{2} ( ln x ) ^{2}}{2} + \dots \Rightarrow F_{n} (x) = \frac{x ^{h} - 1}{h} = ln x + \frac{h ( ln x ) ^{2}}{2} + \dots$

Setzt voraus: Die Prüfung ist numerisch. Die Seite leitet dein F exakt ab, nach denselben Regeln, die du verwenden würdest, vergleicht dann F′ an 120 über das Intervall verteilten Punkten (keiner davon eine ganze Zahl) mit f und akzeptiert eine relative Abweichung von bis zu 10⁻⁶; ein vergessener Faktor oder ein falsches Vorzeichen ergibt eine Abweichung in der Größenordnung 1. Wo f definiert ist und dein F nicht, ist die Antwort falsch. Wo f auf dem gesamten Intervall stetig ist, integriert die Seite f auch numerisch zwischen benachbarten Punkten und vergleicht das mit der Änderung in deinem F. Das entlarvt eine Antwort, die zwar stückweise richtig ist, aber Sprünge hat.

Aufgaben vollständig gelöst

Erst ausmultiplizieren, dann integrieren 3 Schritte
Bestimme ∫(x² + 1)² dx.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Für eine Klammer gibt es keine Potenzregel. Multipliziere sie erst aus, damit jeder Summand eine Potenz von x wird:
  
  $(x^{2} + 1)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1$
2. Integriere gliedweise: Erhöhe jeden Exponenten um eins und teile durch den neuen Exponenten:
  
  $\int (x^{4} + 2 x^{2} + 1) d x = \frac{x ^{5}}{5} + 2 \cdot \frac{x ^{3}}{3} + x + C$
3. Probe durch Ableiten:
  
  $\frac{d}{d x} (\frac{x ^{5}}{5} + \frac{2 x ^{3}}{3} + x) = x^{4} + 2 x^{2} + 1$
Antwort

x⁵/5 + 2x³/3 + x + C. Stattdessen einfach den Exponenten der Klammer zu erhöhen und (x² + 1)³/3 zu schreiben, ist der klassische Ausrutscher. Dessen Ableitung lautet 2x(x² + 1)². Das 2x kommt aus dem Inneren der Klammer, was die reine Potenzregel nicht erfasst. Öffne die Aufgabe im Werkzeug und tippe dieses Ergebnis ein, um zu sehen, wie sich die beiden Kurven trennen.

$\int (x^{2} + 1)^{2} d x = \frac{x ^{5}}{5} + \frac{2 x ^{3}}{3} + x + C$
Erst dividieren, dann integrieren 3 Schritte
Bestimme ∫(x³ − 2√x + 5)/x dx für x > 0.

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1. Teile jeden Summanden durch x und schreibe ihn als Potenz:
  
  $\frac{x ^{3} - 2 x + 5}{x} = x^{2} - 2 x^{- 1/2} + 5 x^{- 1}$
2. Bei den ersten beiden gilt die Potenzregel:
  
  $\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}, - 2 \int x^{- 1/2} d x = - 2 \cdot \frac{x ^{1/2}}{1/2} = - 4 x$
3. Der dritte ist x⁻¹, die einzige Potenz, bei der die Regel nicht teilen kann:
  
  $5 \int x^{- 1} d x = 5 ln ∣ x ∣ = 5 ln x (x > 0)$
Antwort

x³/3 − 4√x + 5 ln x + C. Die Betragsstriche bei ln|x| kannst du weglassen, weil die Aufgabe ohnehin für x > 0 gestellt ist, was √x sowieso voraussetzt.

$\int \frac{x ^{3} - 2 x + 5}{x} d x = \frac{x ^{3}}{3} - 4 x + 5 ln x + C$
Drei Zeilen aus der Tabelle 2 Schritte
Bestimme ∫(2 cos x − 3 sin x + 4/(1 + x²)) dx.

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1. Jeder Summand steht in der Tabelle:
  
  $\int cos x d x = sin x, \int sin x d x = - cos x, \int \frac{d x}{1 + x ^{2}} = arctan x$
2. Behalte die Konstanten bei und ersetze jede Funktion durch ihre Stammfunktion:
  
  $2 sin x - 3 (- cos x) + 4 arctan x$
Antwort

2 sin x + 3 cos x + 4 arctan x + C. Der mittlere Summand ist die typische Stolperfalle. Die Stammfunktion von sin x ist −cos x, also wird aus −3 sin x beim Integrieren +3 cos x. Das Minus kommt vom Ableiten von cos x, das −sin x ergibt.

$\int (2 cos x - 3 sin x + \frac{4}{1 + x ^{2}}) d x = 2 sin x + 3 cos x + 4 arctan x + C$
Eine Bedingung legt die Konstante fest 2 Schritte
Bestimme f mit f′(x) = 6x² − 4x + 1 und f(1) = 5.

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1. Integriere zuerst und behalte C bei:
  
  $f (x) = \int (6 x^{2} - 4 x + 1) d x = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + C$
2. Setze dann x = 1 ein und löse nach C auf:
  
  $f (1) = 2 - 2 + 1 + C = 1 + C = 5 \Rightarrow C = 4$
Antwort

f(x) = 2x³ − 2x² + x + 4. Das Werkzeug prüft die Bedingung ebenso wie die Ableitung. Lässt du C bei 0, akzeptiert es F′ = f, meldet dann aber F(1) = 1 statt 5 und fordert dich auf, die Konstante um 4 anzupassen.

$f (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} + x + 4$
Zwei Integrationen, zwei Konstanten 2 Schritte
Bestimme f mit f″(x) = 12x − 6, f′(0) = 2 und f(0) = −1.

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1. Integriere einmal, um f′ zu erhalten, und bestimme die Konstante mit der Bedingung für f′:
  
  $f^{'} (x) = \int (12 x - 6) d x = 6 x^{2} - 6 x + C_{1}, f^{'} (0) = C_{1} = 2$
2. Integriere noch einmal und nutze die Bedingung für f:
  
  $f (x) = \int (6 x^{2} - 6 x + 2) d x = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + C_{2}, f (0) = C_{2} = - 1$
Antwort

f(x) = 2x³ − 3x² + 2x − 1. Jede Integration bringt eine neue Konstante mit, die durch eine der Bedingungen festgelegt wird. Das Werkzeug startet in der zweiten Integration mit f′ als Integrand und f(0) = −1 als Bedingung.

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 1$
ln|x| im negativen Bereich 2 Schritte
Bestimme f mit f′(x) = 2/x für x < 0 und f(−1) = 3.

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1. Für negative x ist ln x nicht definiert, wohl aber ln(−x), und dessen Ableitung ist 1/x:
  
  $x < 0 : \frac{d}{d x} ln (- x) = \frac{- 1}{- x} = \frac{1}{x}$
2. Damit gilt f(x) = 2 ln|x| + C, und die Bedingung legt C fest:
  
  $f (x) = 2 ln ∣ x ∣ + C, f (- 1) = 2 ln 1 + C = C = 3$
Antwort

f(x) = 2 ln|x| + 3 für x < 0. Über positive x sagt die Bedingung nichts aus. Da 1/x an der Stelle 0 nicht definiert ist, würde eine Funktion, die für x > 0 gleich 2 ln x + 7 ist, die Aufgabe genauso erfüllen.

$f (x) = 2 ln ∣ x ∣ + 3 (x < 0)$
Berechne ln 4 mit einer Wurzel-Taste 4 Schritte
Ein Taschenrechner hat eine Wurzel-Taste, aber keine ln-Taste. Nutze den Grenzwert auf dieser Seite, um ln 4 auf vier Nachkommastellen genau zu berechnen. Klick zuerst auf n = −0,99: Die Kurve durch (1, 0) liefert 1,3959 bei x = 4, noch deutlich über ln 4 = 1,3863.

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1. Zehnmaliges Drücken der Wurzel-Taste bringt 4 auf 4 hoch 1/1024, also h = n + 1 = 1/1024:
  
  $4^{1/1024} = 1.001354720, h = n + 1 = \frac{1}{1024}$
2. Die Kurve durch (1, 0) bei diesem h, die Formel der Seite mit einer Subtraktion und einer Multiplikation:
  
  $F (h) = \frac{4 ^{h} - 1}{h} = 1.3872332$
3. Ihr Abstand zu ln 4 ist etwa h(ln 4)²/2, die letzte Spalte der Tabelle mal h. Das ist für vier Nachkommastellen zu groß:
  
  $\frac{h ( ln 4 ) ^{2}}{2} = \frac{0 . 9609}{1024} = 0.000938$
4. Ein weiteres Wurzelziehen halbiert h, und damit den Abstand. Das Doppelte des neuen Wertes minus dem alten hebt den führenden Term des Abstands auf:
  
  $2 F (\frac{h}{2}) - F (h) = 2 \times 1.3867637 - 1.3872332 = 1.386294$
Antwort

ln 4 ≈ 1,3863. Die Kombination 2F(h/2) − F(h) entfernt den Fehler, der proportional zu h ist, und hinterlässt einen, der proportional zu h² ist, hier etwa 2×10⁻⁷. Die Seite verschiebt n in Schritten von 0,01, somit liegt h = 1/2048 weit jenseits dessen, was ihr Schieberegler anzeigen kann.

$ln 4 \approx 1.3863$

ln x ist der Grenzwert der Potenzregel selbst 🖖

Klick auf n = −0,99. Die Lehrbuch-Stammfunktion von xⁿ ist xⁿ⁺¹/(n + 1), die bei n = −1 durch null teilt, und genau deshalb führen Formelsammlungen ∫x⁻¹ dx = ln|x| als eigene Regel auf. Der gestrichelte Schatten zeigt, was die Formel auf dem Weg dorthin macht: Bei x = 4 steht sie bei 101,40 und wächst grenzenlos, wenn n näher rückt. All dieses Wachstum steckt in der Konstante. Zieh 1/(n + 1) ab, hier also 100,00, und du erhältst die Stammfunktion durch (1, 0), die durchgezogene Kurve, bei 1,3959 gegenüber ln 4 = 1,3863. Klick auf Lass n von −2 bis 0 laufen und beobachte, wie n die −1 passiert: Der Schatten verlässt das Diagramm, die durchgezogene Kurve springt nie, und bei n = −1 ist sie ln x. Sie kann nicht springen, weil sie die Fläche unter tⁿ von 1 bis x ist, und eine kleine Änderung in n ändert jede Höhe tⁿ nur ein wenig. Grégoire de Saint-Vincent stieß in seinem Opus geometricum von 1647 von der anderen Seite auf dieselbe Tatsache: Die Fläche unter der Hyperbel von a bis b hängt nur von b/a ab. Sein Schüler Alphonse Antonio de Sarasa erkannte, dass dies die Fläche zu einem Logarithmus macht.

ln x ist nur auf der halben Zahlengeraden die Lösung für 1/x 🖖

Klick auf ln x für 1/x. Der Trainer verlangt eine Stammfunktion von 1/x für −4 ≤ x ≤ 4, und es wurde ln x eingetippt. Überall, wo ln x existiert, ist seine Ableitung 1/x, also sieht es richtig aus, aber die Prüfung lehnt es ab: Bei x = −2,75, wo 1/x den Wert −0,364 hat, besitzt ln x keinen Wert. Was auf beiden Seiten funktioniert, ist ln|x|, da ln(−x) zu −1/(−x) = 1/x abgeleitet wird. Tippe das ein, und das obere Feld zeichnet zwei Äste mit grauen Kopien, die jeden Ast um einen anderen Betrag verschieben. Auch diese würden bestehen. Tippe ln|x| + 3sgn(x) ein, was rechts von 0 gleich ln|x| + 3 und links davon ln|x| − 3 ist, und es besteht; das Feld zeichnet die Differenz zu ln|x| als zwei flache Stücke, bei 3 und −3. 1/x ist bei 0 undefiniert, daher bindet nichts die Konstante auf der linken an die auf der rechten Seite. Formelsammlungen schreiben ln|x| + C mit einem einzigen C, aber über den gesamten Definitionsbereich hat die allgemeine Stammfunktion für jede Seite eine eigene Konstante. Wo der Integrand auf dem Intervall stetig ist, wie bei x³, lehnt die Prüfung eine springende Lösung ab, selbst wenn ihre Ableitung überall dort passt, wo sie existiert.

Zwei Antworten, die völlig verschieden aussehen, können beide richtig sein 🖖

Klick auf Zwei Formen einer Lösung. Der Integrand ist (x + 1)². Erhöhe den Exponenten und teile, und du erhältst (x + 1)³/3; multipliziere zuerst aus, und es ergibt sich x³/3 + x² + x. Nebeneinander betrachtet wirken sie wie eine richtige und eine falsche Antwort, aber der Trainer akzeptiert beide. Die Zeile Dein F minus unseres, F₀ erklärt, warum: −1/3 an jedem Punkt, weil (x + 1)³/3 zu x³/3 + x² + x + 1/3 wird. Klick auf 2 sin x cos x für ein noch extremeres Beispiel. sin²x, −cos²x und −cos(2x)/2 teilen keinen sichtbaren Term, und alle drei sind richtig, mit Abständen von 1 und ½ voneinander. Die Prüfung entscheidet also nie durch einen Vergleich deiner Antwort mit der auf der Seite. Sie leitet deine ab – denn das Ableiten ist ein Vorgang mit einem einzigen Ergebnis – und vergleicht das mit dem Integranden. Eine Stammfunktion zu finden ist eine Suche, und zwei gute Suchen können bei unterschiedlichen Konstanten enden.

Lernpfad

Integrationstechniken

Quellen (2)

The definition the page checks against (“F is an antiderivative of f if F′(x) = f(x) for all x in the domain of f”), the power rule with its exception (Theorem 4.15: for n ≠ −1, ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C), and the derivation of d/dx ln|x| = 1/x from ln(−x) on x < 0: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.10, “Antiderivatives”.
Grégoire de Saint-Vincent's Opus geometricum (Antwerp, 1647) showed that the area under a rectangular hyperbola over [a, b] equals the area over [c, d] when a/b = c/d, and his pupil Alphonse Antonio de Sarasa made the connection with logarithms: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Grégoire de Saint-Vincent”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated November 2010).

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.