Produktregel und Quotientenregel

Ein Rechteck mit der Breite u und der Höhe v. Rückt x um h vor, wachsen rechts ein Streifen, oben ein Streifen und eine kleine Ecke an. Verkleinere h, teile jedes Teilstück durch h und schau, was davon bleibt.

Die Produktregel	$(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$
Die Quotientenregel	$(\frac{u}{v})^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}, v \neq = 0$

Rechenbeispiel — Produktregel und Quotientenregel

Fläche bei x	6
Rechter Streifen	3
Oberer Streifen	4
Ecke	2
Flächenzuwachs, alle drei	9
u′ mal v	3
u mal v′	4
Produktregel, (uv)′	7

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Produktregel und Quotientenregel

Sind u und v an der Stelle x differenzierbar, so lautet die Ableitung ihres Produkts u′v + uv′ und die ihres Quotienten (u′v − uv′)/v², wo immer v ≠ 0 ist. Beide entspringen einem einzigen Bild: einem Rechteck der Breite u und Höhe v, das mit wachsendem x größer wird.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

u: die Breite des Rechtecks, eine differenzierbare Funktion von x
v: seine Höhe, ebenfalls eine
h: der Schritt in x; Δu = u(x + h) − u(x), und ebenso Δv

Woher die Formel kommt

Das Rechteck wächst. Erhöhe x um h. Die Breite wird zu u + Δu, die Höhe zu v + Δv. Die neue Fläche abzüglich der alten zerfällt in drei Teile: ein Streifen rechts, ein Streifen oben und die Ecke. Im Bild sind das die blauen, bernsteinfarbenen und karmesinroten Flächen.
$(u + Δ u) (v + Δ v) - uv = Δ u v + u Δ v + Δ u Δ v$
Teile durch h und lass h schrumpfen. Δu/h strebt gegen u′ und Δv/h gegen v′, die beiden Streifen liefern also u′v + uv′. Die Ecke ist (Δu/h)·Δv, eine Änderungsrate mal eine Änderung. Und diese Änderung Δv geht gegen 0, weil eine an der Stelle x differenzierbare Funktion dort stetig ist. Im zweiten Feld fällt die Linie der Ecke daher auf null ab, während sich die Streifen einpendeln. Die verlockende Antwort u′v′ ist das eine Stück, das verschwindet.
$\frac{Δ A}{h} = \frac{Δ u}{h} v + u \frac{Δ v}{h} + \to u^{'} \frac{Δ u}{h} \to 0 Δ v ⟶ u^{'} v + u v^{'}$
Der Quotient aus dem Produkt. Nenne den Quotienten q = u/v, sodass u = q·v gilt. Leite dieses Produkt mit der eben gefundenen Regel ab und löse nach q′ auf. Das Minuszeichen ist der obere Streifen qv′, auf die andere Seite der Gleichung gebracht.
$u = q v \Rightarrow u^{'} = q^{'} v + q v^{'} \Rightarrow q^{'} = \frac{u ^{'} - q v ^{'}}{v} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}$

Setzt voraus: Das Bild setzt voraus, dass beide Seiten positiv sind. Die Regeln nicht: Diese gelten für alle an der Stelle x differenzierbaren u und v, beim Quotienten mit v(x) ≠ 0.

Aufgaben vollständig gelöst

Zwei Polynome und die Tangente bei x = 2 4 Schritte
Leite f(x) = (x² + 1)(3x − 2) ab, überprüfe das Ergebnis durch vorheriges Ausmultiplizieren und bestimme die Tangente bei x = 2.

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1. Benenne die beiden Faktoren und leite sie einzeln ab. Mehr als die Potenzregel brauchst du hier nicht:
  
  $u = x^{2} + 1, u^{'} = 2 x; v = 3 x - 2, v^{'} = 3$
2. Setze u′v + uv′ zusammen und fasse gleichartige Terme zusammen:
  
  $f^{'} (x) = 2 x (3 x - 2) + 3 (x^{2} + 1) = 9 x^{2} - 4 x + 3$
3. Multipliziere zuerst aus und leite termweise ab. Es kommt dasselbe Polynom heraus – die ehrliche Probe auf die Regel:
  
  $f (x) = 3 x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 2 \Rightarrow f^{'} (x) = 9 x^{2} - 4 x + 3$
4. Bei x = 2 steht die Kurve bei 20 und steigt mit 31. Die Tangente verläuft also durch (2, 20) mit der Steigung 31:
  
  $f (2) = 5 \cdot 4 = 20, f^{'} (2) = 36 - 8 + 3 = 31, y - 20 = 31 (x - 2)$
Antwort

f′(x) = 9x² − 4x + 3 und die Tangente bei x = 2 lautet y = 31x − 42. Die Seite zeigt für die Regel bei x = 2 den Wert 31 an: 16 vom rechten Streifen, u′v = 4 × 4, und 15 vom oberen Streifen, uv′ = 5 × 3.

$f^{'} (x) = 9 x^{2} - 4 x + 3, y = 31 x - 42$
Potenz mal Sinus 3 Schritte
Leite f(x) = x² sin x ab und bestimme die Steigung bei x = π/2.

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1. Die Faktoren und ihre Ableitungen:
  
  $u = x^{2}, u^{'} = 2 x; v = sin x, v^{'} = cos x$
2. Setze alles zusammen. Das x kannst du ausklammern – genau in dieser Form lässt du das Ergebnis stehen:
  
  $f^{'} (x) = 2 x sin x + x^{2} cos x = x (2 sin x + x cos x)$
3. Bei π/2 ist der Sinus 1 und der Kosinus 0. Der zweite Summand fällt weg, übrig bleibt nur u′v:
  
  $f^{'} (\frac{π}{2}) = 2 \cdot \frac{π}{2} \cdot 1 + (\frac{π}{2})^{2} \cdot 0 = π$
Antwort

f′(x) = 2x sin x + x² cos x und f′(π/2) = π ≈ 3,1416. Auf der Seite steht der obere Streifen uv′ dort bei 0. Am Hochpunkt wächst die Höhe sin x nicht mehr. Die gesamte Änderungsrate kommt allein aus der Breite.

$f^{'} (x) = 2 x sin x + x^{2} cos x, f^{'} (\frac{π}{2}) = π \approx 3.1416$
Wo x·eˣ waagerecht verläuft 4 Schritte
Bestimme, wo der Graph von f(x) = x eˣ eine waagerechte Tangente hat, und entscheide, ob es ein Maximum oder ein Minimum ist.

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1. Die Faktoren und ihre Ableitungen. eˣ ist seine eigene Ableitung:
  
  $u = x, u^{'} = 1; v = e^{x}, v^{'} = e^{x}$
2. Setze alles zusammen und klammere dann den gemeinsamen Faktor eˣ aus. In der Prüfung will man das faktorisiert sehen – ein Produkt ist schließlich nur dort null, wo einer seiner Faktoren null ist:
  
  $f^{'} (x) = e^{x} + x e^{x} = e^{x} (1 + x)$
3. eˣ wird nie null. Die Steigung verschwindet also nur dort, wo die Klammer null wird:
  
  $e^{x} > 0 \Rightarrow f^{'} (x) = 0 ⟺ x = - 1, f (- 1) = - e^{- 1} \approx - 0.3679$
4. Teste links und rechts davon. Bei −2 ist die Steigung negativ, bei 0 positiv. Die Kurve fällt also erst und steigt danach:
  
  $f^{'} (- 2) = - e^{- 2} < 0, f^{'} (0) = 1 > 0$
Antwort

Ein Minimum bei (−1, −1/e) ≈ (−1, −0,3679). Bei x = −1 zeigt die Seite für die Regel den Wert 0 an: Die zwei Streifen mit 0,3679 und −0,3679 heben sich genau auf. Das Rechteck lässt sich dort nicht zeichnen, weil eine Seite mit u = −1 negativ ist. Der Regel ist das egal.

$f_{m i n} = f (- 1) = - \frac{1}{e} \approx - 0.3679$
Potenz mal Logarithmus 3 Schritte
Leite f(x) = x³ ln x für x > 0 ab und bestimme, wo die Funktion aufhört zu fallen.

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1. Die Faktoren und ihre Ableitungen:
  
  $u = x^{3}, u^{'} = 3 x^{2}; v = ln x, v^{'} = \frac{1}{x}$
2. Zusammensetzen. Der zweite Summand vereinfacht sich, x³ · 1/x = x², und x² ist beiden gemeinsam:
  
  $f^{'} (x) = 3 x^{2} ln x + x^{3} \cdot \frac{1}{x} = 3 x^{2} ln x + x^{2} = x^{2} (3 ln x + 1)$
3. Für x > 0 ist x² positiv, also kann nur die Klammer null werden:
  
  $3 ln x + 1 = 0 \Rightarrow ln x = - \frac{1}{3} \Rightarrow x = e^{- 1/3} \approx 0.7165$
Antwort

f′(x) = x²(3 ln x + 1), null bei x = e^(−1/3) ≈ 0,7165. Links davon ist die Klammer negativ und f fällt; rechts davon steigt f. Bei x = 1 zeigt die Seite u′v = 0, da ln 1 = 0 ist; die gesamte Änderungsrate von 1 stammt aus dem zweiten Streifen. Zieh x von 0,71 auf 0,72 und beobachte, wie das Ergebnis das Vorzeichen wechselt: von −0,0138 zu 0,0075.

$f^{'} (x) = x^{2} (3 ln x + 1), f^{'} (e^{- 1/3}) = 0, e^{- 1/3} \approx 0.7165$
Quadratwurzel mal Polynom 4 Schritte
Leite f(x) = √x (x² − 4) ab und fasse das Ergebnis zu einem einzigen Bruch zusammen.

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1. Schreibe √x zuerst als Potenz; dann greift die Potenzregel wie gewohnt:
  
  $u = x^{1/2}, u^{'} = \frac{1}{2} x^{- 1/2} = \frac{1}{2 x}; v = x^{2} - 4, v^{'} = 2 x$
2. Zusammensetzen:
  
  $f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 4}{2 x} + 2 x x$
3. Bringe beide Summanden auf den Nenner 2√x. Da √x · √x = x ist, wird der zweite Summand zu 4x²/(2√x):
  
  $2 x x = \frac{4 x ^{2}}{2 x} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{x ^{2} - 4 + 4 x ^{2}}{2 x} = \frac{5 x ^{2} - 4}{2 x}$
4. Eine Probe bei x = 4, wo √x = 2 ist:
  
  $f^{'} (4) = \frac{80 - 4}{2 \cdot 2} = \frac{76}{4} = 19$
Antwort

f′(x) = (5x² − 4)/(2√x). Bei x = 4 zeigt die Seite 19: 3 aus dem Streifen rechts und 16 aus dem Streifen oben.

$f^{'} (x) = \frac{5 x ^{2} - 4}{2 x}$
eˣ sin x, zweimal abgeleitet 3 Schritte
Bestimme f′(x) und f″(x) für f(x) = eˣ sin x.

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1. Die Faktoren und ihre Ableitungen:
  
  $u = e^{x}, u^{'} = e^{x}; v = sin x, v^{'} = cos x$
2. Zusammensetzen und eˣ ausklammern:
  
  $f^{'} (x) = e^{x} sin x + e^{x} cos x = e^{x} (sin x + cos x)$
3. f′ ist selbst wieder ein Produkt: eˣ mal (sin x + cos x). Also greift die Regel ein zweites Mal. Die Sinusterme heben sich auf:
  
  $f^{''} (x) = e^{x} (sin x + cos x) + e^{x} (cos x - sin x) = 2 e^{x} cos x$
Antwort

f′(x) = eˣ(sin x + cos x) und f″(x) = 2eˣ cos x. Bei x = 0 zeigt die Seite f′ = 1, und zwar vollständig aus dem oberen Streifen, e⁰ cos 0. Die zweite Ableitung geht einen Schritt über die Seite hinaus, aber du kannst sie dazu bringen: Gib u = e^x und v = sin(x) + cos(x) ein, und die Regel liefert bei 0 genau f″(0) = 2.

$f^{'} (x) = e^{x} (sin x + cos x), f^{''} (x) = 2 e^{x} cos x$
Ein Quader mit drei veränderlichen Seiten 4 Schritte
Erweitere das Rechteck um die Tiefe w = 3 − x, sodass der Quader die Seiten x + 1, 2x + 1 und 3 − x hat. Bestimme die Änderungsrate seines Volumens bei x = 1 und anschließend den exakten Wert von ΔV/h für eine Schrittweite h. Klicke auf Musteraufgabe: Bei x = 1 zeigt die Seite (uv)′ = 7 und ΔA/h = 8 bei h = ½.

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1. Fasse den Quader als Rechteck uv mal Tiefe w auf und wende die Produktregel zweimal an. Den inneren Schritt hat das Werkzeug bereits berechnet:
  
  $(uv w)^{'} = (uv)^{'} w + uv w^{'} = 7 \cdot 2 + 6 \cdot (- 1) = 8$
2. Die Gegenprobe in Prozent: Die Seiten ändern sich um 1 von 2, 2 von 3 und −1 von 2 ihrer selbst, und beim Produkt addieren sich die Raten:
  
  $\frac{V ^{'}}{V} = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{3}, V^{'} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$
3. Nun zum exakten Schritt. Wegen der linearen Seiten gilt Δu = h, Δv = 2h und Δw = −h. Beim Ausmultiplizieren bleiben drei Platten, drei Kanten und ein Eckwürfel:
  
  $Δ V = (2 + h) (3 + 2 h) (2 - h) - 12 = 8 h - 3 h^{2} - 2 h^{3}$
4. Teile durch h. Die Platten liefern die Ableitung; die Kanten und der Würfel tragen die Potenzen von h, die im Grenzwert verschwinden:
  
  $\frac{Δ V}{h} = 8 - 3 h - 2 h^{2}, h = 1 : 3, h = \frac{1}{2} : 6$
Antwort

Exakt gilt V′(1) = 8 und ΔV/h = 8 − 3h − 2h². Die drei Platten u′vw, uv′w und uvw′ (6, 8 und −6) überstehen den Grenzübergang. Die drei Kanten, zusammen −3, behalten ein h; der Würfel u′v′w′ = −2 behält h². Ein Schritt um eine ganze Einheit ändert das Volumen um 3, von 12 auf 15, weit entfernt von 8: Bei h = 1 wiegen Kanten und Würfel genauso schwer wie die Platten.

$V^{'} (1) = 8, \frac{Δ V}{h} = 8 - 3 h - 2 h^{2}$

Die falsche Regel ist die Ecke 🖖

Klick auf Die Ecke und schau dir einen ganzen Schritt an. Das Rechteck gewinnt einen Streifen rechts, einen oben und eine kleine Ecke. Genau diese Ecke ist u′v′. Halbiere nun h. Und gleich noch einmal. Durch h geteilt behalten die beiden Streifen ihre Größe; die Ecke schrumpft mit h und verschwindet im Grenzwert. Die Vermutung (uv)′ = u′v′ behält also ausgerechnet das eine Stück, das der Grenzwert verwirft, und verwirft die beiden, die er behält. Leibniz notierte diese Vermutung in einem Manuskript vom 11. November 1675 – und widerlegte sie ein paar Seiten später an x mal x selbst.

In Prozent addieren sich Raten beim Produkt und subtrahieren sich beim Quotienten 🖖

Klick auf Prozent. Eine Seite wächst pro x-Einheit um 3 % ihres Werts, die andere um 2 %, und der Flächeninhalt wächst um 5 %. Teile die Produktregel durch uv: Sie zeigt dir an jeder Stelle x für jedes Paar, dass sich relative Raten schlicht addieren. Das gilt auch, wenn eine davon negativ ist. Erhöhst du Preise um 3 %, während der Absatz um 2 % nachgibt, steigt der Umsatz um rund 1 %. Klick auf Verhältnis: Dieselben zwei Seiten ergeben einen Quotienten, der um 1 % wächst, weil sich Raten beim Quotienten subtrahieren. Das Minuszeichen in der Quotientenregel ist genau diese Subtraktion.

Zwei Streifen, die sich im Produkt aufheben, addieren sich im Quotienten 🖖

Klick auf Gleichgewicht: Bei x = π/4 sind die Seiten sin x und cos x. Die Breite wächst exakt so schnell, wie die Höhe schrumpft. Beide Streifen sind gleich groß und wirken gegeneinander, sodass der Flächeninhalt für einen Moment stillsteht. Größer wird dieses Rechteck nie. Klick auf tan x: Dieselben zwei Streifen wandern in die Quotientenregel, wo das Minuszeichen aus dem gegenseitigen Aufheben eine Summe macht. Ein schrumpfendes v vergrößert den Quotienten. Den Streifen, den das Produkt verloren hat, gewinnt der Quotient hinzu.

Lernpfad

Differenzieren: Wie Änderungsraten ineinandergreifen

Quellen (2)

Leibniz's guess that d(xy) is dx·dy, its apparent agreement with one example, and its refutation with x times x (“becomes 2βx, which is quite a different thing from” the product of the increments), in a manuscript dated 11 November 1675; and the later derivation d(xy) = (x + dx)(y + dy) − xy = x dy + y dx + dx dy with dx dy omitted as infinitely small: J. M. Child, The Early Mathematical Manuscripts of Leibniz, translated from the Latin texts published by Carl Immanuel Gerhardt, with critical and historical notes. Chicago and London: Open Court, 1920. Pp. 100–102 (manuscript dated 11 November 1675) and p. 143 (Elementa calculi novi, undated).
The product rule (Theorem 3.5) and quotient rule (Theorem 3.6) as the page states them; the warning that the derivative of a product is not the product of the derivatives, with x² as the example (2x, not 1·1); the proof of the product rule from the limit definition, which uses the continuity of the second factor (the lesson's `assumes`): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.3, “Differentiation Rules”.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.