Funktionsverkettungs-Rechner

Gib f(x), g(x) und x0 ein, um Funktionen zu verketten, die Reihenfolge zu vergleichen und jeden Auswertungsschritt zu sehen.

Startwerte — Funktionsverkettungs-Rechner

Äußere Funktion f(x)	x²
Ausdruck für f von x	x^2
Innere Funktion g(x)	sin(x)
Ausdruck für g von x	sin(x)
Auswertungspunkt x	0

Ändere oben einen Regler, und die Ergebnisse werden neu berechnet.

Interaktive Simulation wird geladen...

Die Reihenfolge zu tauschen ändert das Ergebnis, nicht nur die Schreibweise 🖖

Die Komposition ist nicht kommutativ, und der Unterschied ist nicht subtil. Nimm f(x) = x² und g(x) = 2x + 3 bei x = 2 — eine der Vorgaben dieses Werkzeugs. Zuerst durch g ergibt f(g(2)) = f(7) = 49. Zuerst durch f ergibt g(f(2)) = g(4) = 11. Dieselben zwei Funktionen, derselbe Eingabewert, und die Ergebnisse unterscheiden sich um 38. Deshalb lohnt es sich, die Tauschtaste hier tatsächlich zu drücken statt zu raten: f∘g und g∘f sind wirklich verschiedene Funktionen, und die gewohnte Regel a × b = b × a überträgt sich nicht.

Zwei Maschinen hintereinander 🖖

Funktionen zu verknüpfen heißt nichts anderes, als sie nacheinander auszuführen: f(g(x)) setzt x zuerst in g ein und verwendet das Ergebnis anschließend als Eingabe für f. Stell dir ein Fließband vor, an dem jede Station das Werkstück verändert und dann weitergibt. Rechne immer von der innersten Klammer nach außen: also zuerst g(x0), dann f.

Das Fraktal in der wiederholten Verkettung 🖖

Verkettet man eine einfache Funktion immer wieder mit sich selbst, verlässt man die Algebra und landet in der Chaostheorie. Die Iteration z ↦ z² + c — dieselbe Maschine, die ihre eigene Ausgabe zurückbekommt — ist genau die Vorschrift, die die Mandelbrot-Menge zeichnet: Ein Punkt gehört nur dann dazu, wenn diese endlose Selbstverkettung beschränkt bleibt. Der schlichte f(g(x))-Knopf ist also nur einen Schritt von unendlich feinen Fraktalen entfernt.

Häufiges Missverständnis

Eine Übereinstimmung an einem x-Wert beweist nicht, dass zwei verkettete Funktionen gleich sind. Um f(g(x)) = g(f(x)) als Funktionen zu zeigen, müssen sie im gesamten gemeinsamen Definitionsbereich übereinstimmen.

Aufgaben vollständig gelöst

Kompositionen von f(x) = x² und g(x) = 2x + 3 5 Schritte
f(x) = x², g(x) = 2x + 3, ausgewertet bei x₀ = 2. Verketten Sie in beiden Reihenfolgen und klären Sie dann die schwierigere Frage, die das Bedienfeld offen lässt: Ist die Abweichung ein Zufall der Wahl von x₀ = 2 oder weichen diese beiden Verkettungen bei jedem x voneinander ab?
1. Verketten Sie symbolisch, bevor Sie numerisch verketten. Bei f∘g wird die innere Funktion zuerst ausgeführt, sodass der gesamte Ausdruck 2x + 3 quadriert wird — nicht x und nicht die 3 für sich allein.
  
  $(f \circ g) (x) = f (2 x + 3) = (2 x + 3)^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9$
2. Kehrt man die Reihenfolge um, erfolgt das Quadrieren zuerst, sodass x² verdoppelt und verschoben wird. Beide Ergebnisse sind quadratische Funktionen, aber nur eine davon hat ein lineares Glied, und dieses Glied macht die gesamte Abweichung aus.
  
  $(g \circ f) (x) = g (x^{2}) = 2 x^{2} + 3$
3. Setzen Sie jeweils x₀ = 2 ein. Auf die Zwischenwerte kommt es an: In der einen Reihenfolge geht 7 in die äußere Funktion ein, in der anderen 4. Der äußeren Funktion wird also jedes Mal eine andere Frage gestellt. Das Bedienfeld gibt jeden einzelnen davon aus — 7 und 4 beim Eingang, 49 und 11 beim Ausgang.
  
  $(f \circ g) (2) = 7^{2} = 49, (g \circ f) (2) = 2 \cdot 4 + 3 = 11$
4. Durch Subtraktion wird aus einem Vergleich an einem einzelnen Punkt eine Funktion, die Sie überall befragen können. Ihr Wert bei 2 ist 38, was 49 − 11 entspricht; in der Algebra ist also nichts verloren gegangen.
  
  $D (x) = (f \circ g) (x) - (g \circ f) (x) = 2 x^{2} + 12 x + 6, D (2) = 38$
5. Die Differenz ist eine quadratische Funktion mit einem positiven x²-Koeffizienten, sodass sie höchstens zweimal null werden kann — und die Diskriminante 36 − 12 ist positiv, also wird sie tatsächlich zweimal null. Es bleibt nur noch das Lösen.
  
  $D (x) = 0 ⟺ x^{2} + 6 x + 3 = 0 ⟺ x = - 3 \pm 6 = - 0.5505, - 5.4495$
Antwort

49 gegenüber 11, eine Differenz von 38, mit 7 und 4 als Zwischenwerten, die das Bedienfeld daneben ausgibt. Das stärkere Ergebnis ist dasjenige, das das Bedienfeld nicht erreichen kann: Auf der gesamten reellen Gerade stimmen diese beiden Verkettungen an genau 2 Punkten überein, x = −3 ± √6, was −0,5505 und −5,4495 entspricht. Nur der erste liegt innerhalb des Fensters von −3 bis 3, das der Graph zeichnet. x₀ = 2 war also keine zufällig günstige Wahl — fast jedes x₀ hätte zu einer Abweichung geführt, und das Urteil des Bedienfelds „nicht gleich“ ist die Antwort, die es bei allen außer 2 Eingaben geben würde. Sie schneiden sich auch, anstatt sich nur zu berühren, und die Kettenregel zeigt dies: Das Ableiten der Differenz ergibt 2(2x + 3)·2 − 2·2x = 4x + 12, was an den beiden Nullstellen +9,798 und −9,798 beträgt — gleich groß, aber mit entgegengesetztem Vorzeichen, weil zwischen den Nullstellen g∘f höher verläuft, um 12 bei x = −3, wo das Graphfenster beginnt.

$D^{'} (x) = 2 (2 x + 3) \cdot 2 - 2 \cdot 2 x = 4 x + 12, D^{'} (- 3 \pm 6) = \pm 46 = \pm 9.798$
Definitionsbereich der Kompositionen für f(x) = √x und g(x) = x² − 1 5 Schritte
f(x) = √x, g(x) = x² − 1, bei x₀ = 0,5. Die eine Reihenfolge liefert eine Zahl, die andere liefert gar nichts. Bestimmen Sie den Definitionsbereich jeder Verkettung und finden Sie dann jedes x, an dem die beiden übereinstimmen.
1. Verfolgen Sie f∘g durch die Mitte und beobachten Sie, wo die Verkettung scheitert. 0,5 ist eine völlig zulässige Eingabe für g, und −0,75 ist eine völlig zulässige Ausgabe von g. Was unzulässig ist, ist die Übergabe: Aus −0,75 kann man keine Quadratwurzel ziehen. Das Bedienfeld gibt −0,75 aus und hat dann keine Zahl, die es für die Verkettung selbst ausgeben könnte.
  
  $g (0.5) = 0. 5^{2} - 1 = - 0.75 ⟹ f (g (0.5)) = - 0.75 \in / R$
2. Die andere Reihenfolge übersteht dieselbe Übergabe, da √0,5 = 0,707107 eine zulässige Eingabe für g ist. Beide Zahlen befinden sich auf dem Bedienfeld, und keiner der beiden Verkettungen wurde ein anderes x₀ übergeben.
  
  $f (0.5) = 0.5 = 0.707107 ⟹ g (f (0.5)) = 0.70710 7^{2} - 1 = - 0.5$
3. Schreiben Sie die beiden Definitionsbereiche von innen nach außen sauber auf. f∘g verlangt, dass die Ausgabe von g nicht-negativ ist, was eine Bedingung für x² darstellt; g∘f verlangt nur, dass aus x selbst die Quadratwurzel gezogen werden kann.
  
  $f \circ g : x^{2} - 1 \geq 0 ⟺ ∣ x ∣ \geq 1; g \circ f : x \geq 0$
4. Auf ihrem jeweiligen Definitionsbereich vereinfacht sich jede Verkettung, und eine davon vereinfacht sich überraschend stark: Das Quadrieren einer Quadratwurzel macht diese rückgängig, sodass g∘f eine gerade Linie ist. Die Verkettung von 2 gekrümmten Funktionen hat etwas hervorgebracht, das keinerlei Krümmung aufweist.
  
  $(f \circ g) (x) = x^{2} - 1, (g \circ f) (x) = (x)^{2} - 1 = x - 1$
5. Wo beide definiert sind, fragen Sie sich, wann sie gleich sind. Das x² kürzt sich auf beiden Seiten weg und was übrig bleibt, ist linear, sodass es höchstens 1 Lösung gibt.
  
  $x^{2} - 1 = x - 1 ⟺ x^{2} - 1 = x^{2} - 2 x + 1 ⟺ x = 1$
Antwort

f(g(0,5)) hat keinen Wert, während g(f(0,5)) = −0,5 ist, mit −0,75 und 0,707107 auf dem Bedienfeld als den zwei Zwischenwerten, die dies entschieden haben. Die Reihenfolge hat hier den Definitionsbereich verändert, bevor sie irgendeinen Wert verändert hat, und das ist der Unterschied, den keine Wahl von x₀ beheben kann: f∘g existiert nur dort, wo |x| ≥ 1 ist, und g∘f nur dort, wo x ≥ 0 ist, sodass sie nur [1, ∞) gemeinsam haben. In dem Fenster von −3 bis 3, das der Graph zeichnet, ist die Kurve von f∘g zu beiden Seiten von 0 auf einer ganzen Einheit schlicht nicht vorhanden, während die Linie von g∘f geradlinig durchläuft. Wo sie sich überschneiden, treffen sie sich genau einmal, bei x = 1, beide gleich 0, und trennen sich dann sogleich wieder: Bei x = 3 lauten sie √8 = 2,828 und 2. „Die Verkettung ist nicht kommutativ“ wird gewöhnlich als eine Aussage über Werte gelehrt. Hier ist es eine Aussage darüber, welche Fragen überhaupt gestellt werden können.

$dom (f \circ g) \cap dom (g \circ f) = [1, \infty), 3^{2} - 1 = 2.828 \neq = 2$

Quellen (1)

Insight block 3 says a fractal is hiding in repeated composition. This is the field that grew out of asking where: J. Milnor, "Using the Fatou Set to Study the Julia Set", in Dynamics in One Complex Variable, 174–218. Princeton University Press, 3rd edition, 2011.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-06-03

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

Alle Lektionen: Mathematik →

Beispielaufgaben

linear nach quadratisch - 2x + 3 nach x² - 1, für x = 2: In der einen Reihenfolge ist f(3) = 9, in der anderen g(7) = 48. Dieselben Funktionen, aber ein Unterschied von 39.
quadratisch nach linear - x² nach 2x + 3, für x = 2: In der einen Reihenfolge ist f(7) = 49, in der anderen g(4) = 11. Der Unterschied beträgt 38. In der anschließenden Aufgabe untersuchst du, ob beide Reihenfolgen jemals dasselbe Ergebnis liefern.
Quadrat nach Sinus - Bei f(g(1)) wird der Sinuswert quadriert: sin²(1) = 0,7081. Bei g(f(1)) wird dagegen der Sinus des Quadrats berechnet. Weil 1² = 1 gilt, ist das einfach sin(1) = 0,8415.
Definitionsbereich-Beispiel - Nur bei diesem Beispiel ist eine der beiden Reihenfolgen gar nicht definiert: g(0,5) = -0,75, und daraus lässt sich keine reelle Quadratwurzel ziehen. In der umgekehrten Reihenfolge ergibt sich -0,5. Die Reihenfolge kann also darüber entscheiden, ob ein Ergebnis existiert.
gleich an einem Punkt - x² mit der Identität verkettet — beide Reihenfolgen ergeben x², denn die Identität ist die eine Funktion, die bei der Verkettung nichts verändert