Die Kettenregel

Eine Verkettung ist wie eine Kette aus einzelnen Gliedern: Jedes Glied dehnt eine kleine Änderung um seine eigene Rate. Baue eine Kette und wähle x. Die Zahlenstrahlen tragen ein Intervall hindurch, die Dehnungen multiplizieren sich, und je schmaler das Intervall wird, desto genauer trifft jede Dehnung die Ableitung ihres Glieds – es sei denn, ein Glied drückt das Intervall auf null zusammen. Danach bestimmst du dy/dx selbst.

Die Kettenregel	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$
In Funktionsschreibweise	$(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

Rechenbeispiel — Die Kettenregel

Innerer Wert	4
Ausgabe	−0,7568
Innere Rate, bei x	4
Äußere Rate, bei u	−0,6536
Steigung der gesamten Kette	−2,6146
Dieselbe Steigung, nur aus y	−2,6146
Nenne das Innere u und drücke y durch u aus.	sinu
Dann das innere Glied nach x.	2x

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Die Kettenregel

Gilt u = g(x) und y = f(u), ist die Änderungsrate der gesamten Kette das Produkt der Raten ihrer Glieder: dy/dx = f′(g(x))·g′(x). Jede Rate wird an der Stelle ausgewertet, an der ihr Glied ansetzt; die äußere also bei u = g(x), nicht bei x. Bei einer längeren Kette multiplizierst du pro Glied eine weitere Rate hinzu.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

u: der Wert, den das innere Glied weitergibt, u = g(x)
w: in einer dreigliedrigen Kette der Wert, den das mittlere Glied weitergibt

Woher die Formel kommt

Zerlege die Änderung in einzelne Glieder. Verschiebe x um Δx. Das innere Glied ändert u um Δu, das äußere y um Δy. Solange Δu nicht 0 ist, zerlegt sich das Verhältnis der Gesamtkette in die Verhältnisse beider Glieder. Auf der Seite multiplizieren sich dabei die Streckungen der Bänder.
$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ x} (Δ u \neq = 0)$
Lass Δx schrumpfen. Da g an der Stelle x stetig ist, schrumpft Δu mit. Das innere Verhältnis strebt gegen g′(x), das äußere gegen f′ an der Stelle, an der das äußere Glied ansetzt: u = g(x). Der Grenzwert eines Produkts ist das Produkt der Grenzwerte.
$\frac{Δ u}{Δ x} \to g^{'} (x), \frac{Δ y}{Δ u} \to f^{'} (u) = f^{'} (g (x)) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$
Der Fall, den die Zerlegung verbirgt. Wird Δu für ein kleines Δx gleich 0, teilt die erste Zeile durch null. Der sorgfältige Beweis weist dem äußeren Verhältnis den Wert f′(u) zu, wann immer Δu = 0 ist. Dann gilt das Produkt für jedes Δx, und sein Grenzwert bleibt derselbe.

Setzt voraus: Jedes Glied besitzt an der Stelle, an der es ansetzt, eine Ableitung. Fehlt sie einem Glied, so wie bei √u an der Stelle 0, sagt die Regel nichts aus, und die Seite zeigt die Kette dort als nicht definiert an.

Aufgaben vollständig gelöst

Potenz eines linearen Terms 3 Schritte
Leite y = (3x + 1)⁴ ab und gib die Steigung bei x = 0 an.

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1. Bestimme die Kettenglieder und ihre Ableitungen. Innen steht der lineare Term, außen die vierte Potenz:
  
  $u = 3 x + 1, \frac{d u}{d x} = 3; y = u^{4}, \frac{d y}{d u} = 4 u^{3}$
2. Multipliziere, äußere Ableitung zuerst, und schreib das Ergebnis wie in der Prüfung mit der Konstanten nach vorn:
  
  $\frac{d y}{d x} = 4 (3 x + 1)^{3} \cdot 3 = 12 (3 x + 1)^{3}$
3. Bei x = 0 ist der innere Wert 1:
  
  $x = 0 : 12 \cdot 1^{3} = 12$
Antwort

dy/dx = 12(3x + 1)³, und 12 bei x = 0. Die 3 geht am häufigsten verloren: Die äußere Ableitung allein ergäbe 4(3x + 1)³, gerade mal ein Viertel der wahren Steigung. Die Seite zeigt die beiden Ableitungen als 3 und 4 und ihr Produkt als 12.

$\frac{d y}{d x} = 12 (3 x + 1)^{3}$
Sinus eines Quadrats 3 Schritte
Leite y = sin(x²) ab und gib die Steigung bei x = 1 an.

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1. Die Kettenglieder und ihre Ableitungen:
  
  $u = x^{2}, \frac{d u}{d x} = 2 x; y = sin u, \frac{d y}{d u} = cos u$
2. Multipliziere. Den Kosinus wertest du bei u = x² aus, wo das äußere Glied greift, nicht bei x:
  
  $\frac{d y}{d x} = cos (x^{2}) \cdot 2 x = 2 x cos (x^{2})$
3. Bei x = 1:
  
  $x = 1 : 2 cos 1 \approx 1.0806$
Antwort

dy/dx = 2x cos(x²), und 2 cos 1 ≈ 1,0806 bei x = 1. Die Seite gibt die äußere Ableitung dort mit 0,5403 an – das entspricht cos 1, da u = x² an dieser Stelle 1 ist.

$\frac{d y}{d x} = 2 x cos (x^{2})$
Wo e^(−x²) waagerecht verläuft 3 Schritte
Leite y = e^(−x²) ab, bestimme, wo die Steigung null ist, und gib die Steigung bei x = 1 an.

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1. Die Kettenglieder und ihre Ableitungen. Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung:
  
  $u = - x^{2}, \frac{d u}{d x} = - 2 x; y = e^{u}, \frac{d y}{d u} = e^{u}$
2. Multipliziere:
  
  $\frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}} \cdot (- 2 x) = - 2 x e^{- x^{2}}$
3. Die Exponentialfunktion wird niemals null, folglich kann nur der Faktor −2x verschwinden:
  
  $e^{- x^{2}} > 0 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 0 ⟺ x = 0; x = 1 : - \frac{2}{e} \approx - 0.7358$
Antwort

dy/dx = −2x e^(−x²): waagerecht nur bei x = 0, und −2/e ≈ −0,7358 bei x = 1. Links von 0 ist die Steigung positiv, rechts davon negativ – bei x = 0 liegt also der Hochpunkt der Kurve.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x e^{- x^{2}}$
Logarithmus einer Summe 3 Schritte
Leite y = ln(x² + 1) ab und gib die Steigung bei x = 1 an.

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1. Die Kettenglieder und ihre Ableitungen:
  
  $u = x^{2} + 1, \frac{d u}{d x} = 2 x; y = ln u, \frac{d y}{d u} = \frac{1}{u}$
2. Multipliziere:
  
  $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x ^{2} + 1} \cdot 2 x = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$
3. Bei x = 1 ist der innere Wert 2:
  
  $x = 1 : \frac{2}{2} = 1$
Antwort

dy/dx = 2x/(x² + 1) und genau 1 bei x = 1. Die Seite gibt für die äußere Ableitung 0,5 aus, also 1/u bei u = 2.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$
Eine negative Potenz 3 Schritte
Leite y = 1/(2x − 1)³ ab und gib die Steigung bei x = 1 an.

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1. Schreib den Bruch zuerst als Potenz; die Kettenglieder und ihre Ableitungen folgen dann wie gewohnt:
  
  $y = (2 x - 1)^{- 3} : u = 2 x - 1, \frac{d u}{d x} = 2; y = u^{- 3}, \frac{d y}{d u} = - 3 u^{- 4}$
2. Multipliziere und wandle die negative Potenz wieder in einen Bruch um:
  
  $\frac{d y}{d x} = - 3 (2 x - 1)^{- 4} \cdot 2 = - \frac{6}{( 2 x - 1 ) ^{4}}$
3. Bei x = 1 ist der innere Wert 1:
  
  $x = 1 : - \frac{6}{1} = - 6$
Antwort

dy/dx = −6/(2x − 1)⁴ und −6 bei x = 1. Als Potenz geschrieben kommt ein Quotient mit einer Konstanten im Zähler ganz ohne Quotientenregel aus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{( 2 x - 1 ) ^{4}}$
Die dritte Potenz des Sinus 3 Schritte
Leite y = sin³x ab und gib die Steigung bei x = π/4 an.

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1. sin³x ist die dritte Potenz von sin x: Die Potenz ist das äußere Kettenglied, der Sinus das innere:
  
  $sin^{3} x = (sin x)^{3} : u = sin x, \frac{d u}{d x} = cos x; y = u^{3}, \frac{d y}{d u} = 3 u^{2}$
2. Multipliziere:
  
  $\frac{d y}{d x} = 3 sin^{2} x cos x$
3. Bei π/4 sind Sinus und Kosinus beide gleich √2/2:
  
  $x = \frac{π}{4} : 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3 2}{4} \approx 1.0607$
Antwort

dy/dx = 3 sin²x cos x und 3√2/4 ≈ 1,0607 bei x = π/4. Liest du sin³x als sin(x³), baust du eine andere Kette mit vertauschten Gliedern.

$\frac{d y}{d x} = 3 sin^{2} x cos x$
Drei Kettenglieder 3 Schritte
Leite y = e^(sin(x²)) ab und gib die Steigung bei x = 1 an.

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1. Drei Kettenglieder, drei Ableitungen, jede dort ausgewertet, wo ihr Glied ansetzt:
  
  $u = x^{2}, \frac{d u}{d x} = 2 x; w = sin u, \frac{d w}{d u} = cos u; y = e^{w}, \frac{d y}{d w} = e^{w}$
2. Multipliziere alle drei, die äußere zuerst:
  
  $\frac{d y}{d x} = e^{s i n (x^{2})} \cdot cos (x^{2}) \cdot 2 x$
3. Bei x = 1:
  
  $x = 1 : e^{s i n 1} \cdot cos 1 \cdot 2 \approx 2.3198 \cdot 0.5403 \cdot 2 \approx 2.5068$
Antwort

dy/dx = 2x cos(x²) e^(sin(x²)), etwa 2,5068 bei x = 1. Ein Kettenglied mehr bedeutet einen Faktor mehr – am Verfahren ändert sich nichts.

$\frac{d y}{d x} = 2 x cos (x^{2}) e^{s i n (x^{2})}$
Wie viele Tastendrücke auf cos? 4 Schritte
Ein Taschenrechner im Bogenmaß steht auf 1, und du drückst fortlaufend cos. Nahe p = 0,739085…, wo cos p = p gilt, multipliziert jeder Tastendruck den Fehler mit cos′(p) = −sin p = −0,6736. Schätze ab, wie viele Tastendrücke den Anzeigewert bis auf 10⁻⁶ an p heranbringen, und überprüfe die Schätzung. Klicke auf Start bei x = 1: Drei Tastendrücke führen von 1 zu 0,6543, und die Steigung der dreigliedrigen Kette liegt dort bei −0,3273.

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1. Der Fehler vor dem ersten Tastendruck:
  
  $e_{0} = 1 - p = 1 - 0.739085 = 0.2609$
2. n Tastendrücke bilden eine Kette aus n Gliedern. Nahe p hat jedes Glied dieselbe Rate, sodass die Kettenregel n gleiche Faktoren multipliziert:
  
  $\frac{d}{d x} n cos (cos (\dots cos x))_{x = p} = (- sin p)^{n} = (- 0.6736)^{n}, ∣ e_{n} ∣ \approx 0.2609 \times 0.673 6^{n}$
3. Verlange, dass dieser Wert unter 10⁻⁶ fällt, und logarithmiere:
  
  $0.2609 \times 0.673 6^{n} < 1 0^{- 6} ⟺ n > \frac{ln ( 0 . 2609/1 0 ^{- 6} )}{ln ( 1/0 . 6736 )} = \frac{12 . 47}{0 . 3951} = 31.57$
4. Die drei Tastendrücke der Seite testen die Näherung früh, solange sie noch grob ist: Sie sagt −0,0797 voraus, und die Anzeige weicht um −0,0848 ab, weil die ersten Schritte weit von p entfernt stattfinden.
  
  $e_{3} \approx 0.2609 \times (- 0.3057) = - 0.0797, e_{3} = 0.6543 - 0.7391 = - 0.0848$
Antwort

32 Tastendrücke. Die Abschätzung liefert 31,57, gerundet also 32. Die tatsächliche Iteration bestätigt das: Nach 31 Tastendrücken beträgt der Fehler 1,286×10⁻⁶, nach 32 liegt er bei 8,664×10⁻⁷. Teilt man jeden Fehler durch den vorherigen, ergibt sich beim ersten Tastendruck −0,7619, beim zweiten −0,5960, und mit zunehmender Annäherung pendelt sich das Verhältnis auf −0,6736 ein. Die interaktive Darstellung stoppt bei drei Gliedern.

$n = 32 : ∣ e_{31} ∣ = 1.286 \times 1 0^{- 6}, ∣ e_{32} ∣ = 8.664 \times 1 0^{- 7}$

Ein vergessener innerer Faktor kann an einer Stelle die Probe bestehen 🖖

Klick auf Innere vergessen. Die Kette ist sin(x²) an der Stelle x = 2, und die eingegebene Antwort cos(x²) hat die innere Ableitung 2x weggelassen. Dort liegt sie um den Faktor 4 daneben. Klick jetzt auf Probe an einer Stelle: dieselbe Antwort bei x = 0,5, wo 2x genau 1 ist – und schon stimmt sie mit der echten Steigung überein. Eine Ableitung an nur einer Stelle zu prüfen beweist gar nichts, wenn die innere Ableitung dort zufällig 1 ist. Die Seite testet 24 Stellen und weist diese Antwort an jeder einzelnen ab.

Drei Tastendrücke auf cos drehen den Fehler dreimal um 🖖

Klick auf Dreimal cos. Die Kette lautet cos(cos(cos x)) bei 0,739085…, der einzigen Zahl, die cos unverändert lässt. Jedes Kettenglied arbeitet an derselben Stelle und hat dieselbe Ableitung, etwa −0,67. Daher kommt jedes Band umgedreht und um ein Drittel kürzer heraus. Genau das passiert, wenn du auf dem Taschenrechner immer wieder cos drückst: Nahe 0,7391 behält jeder Tastendruck etwa zwei Drittel des Fehlers und kehrt das Vorzeichen um. Die Anzeige landet mal darüber, mal darunter und kreist den Wert immer enger ein. Die letzte Beispielaufgabe zählt die Tastendrücke.

e hoch ln x verrät dir die Ableitung von ln x 🖖

Klick auf e hoch ln x. Die beiden Kettenglieder geben genau das zurück, was sie bekommen haben: e^(ln x) = x. Die gesamte Kette hat daher die Steigung 1. Laut Kettenregel ist 1 das Produkt der beiden Ableitungen: die äußere, e^(ln x), also x, mal der Ableitung von ln. Die Ableitung von ln an der Stelle x muss folglich 1/x sein – und die Herleitung musste das vorher gar nicht wissen. Verschiebe x, und beide Ableitungen bleiben stets Kehrwerte voneinander.

Lernpfad

Differenzieren: Wie Änderungsraten ineinandergreifen

Quellen (2)

The rule in both notations the page uses, h′(x) = f′(g(x))g′(x) and dy/dx = (dy/du)·(du/dx), the advice to work “from the outside in, taking one derivative at a time”, the warning that “we never evaluate a derivative at a derivative” (the page's derivOfDeriv slip), and a chain of three links (Example 3.55, cos⁴(7x² + 1)): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.6, “The Chain Rule”.
The derivative of ln x proved from the identity e^y = x, differentiated implicitly (Theorem 3.15), the argument insight block 3 makes as a chain e^(ln x) = x: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.9, “Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions”.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.