Newton-Verfahren Visualizer

Nullstellensuche mit Tangentenschritten und Konvergenzdiagnose

Rechenbeispiel — Newton-Verfahren Visualizer

Geschätzte Nullstelle	1.52138
Iterationen	3
Residuum \|f(x)\|	5.894×10⁻⁷

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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0,55 und 0,58 landen bei entgegengesetzten Nullstellen 🖖

Bei jedem Schritt verdoppelt Newton die Zahl der korrekten Stellen. Die Voreinstellung „Schnelle Nullstelle“ macht das sichtbar: Von x₀ = 1 aus fällt der Fehler auf dem Weg zu √2 über 0,414, 0,0858, 0,00245 und 2,1 × 10⁻⁶ auf 1,6 × 10⁻¹². Vier Schritte, zwölf Stellen. Derselbe Mechanismus kann das Verfahren scheitern lassen. Ist die Ableitung fast null, verläuft die Tangente nahezu waagerecht und der Schritt wird riesig. Bei x³ − x schleudert der Startwert 0,5774 die erste Näherung auf −2210. Deshalb landet 0,55 bei der negativen Nullstelle, 0,58 dagegen bei der positiven.

der Tangente bis zur Achse folgen 🖖

Um herauszufinden, wo eine Kurve die Null durchläuft, ersetzt das Newton-Verfahren die Kurve durch ihre Tangente am aktuellen Schätzwert und springt dorthin, wo diese Gerade die x-Achse schneidet. Da eine glatte Kurve aus der Nähe fast gerade aussieht, liegt dieser Schnittpunkt meist deutlich näher an der echten Nullstelle. Wiederholt man das, nähert man sich schnell. Die Formel: x_n+1 = x_n − f(x_n)/f'(x_n).

Computer dividieren ohne Division 🖖

Moderne Prozessoren berechnen a/b oft, indem sie zuerst 1/b bestimmen — und das Newton-Verfahren kommt dabei ganz ohne Division aus. Angewandt auf f(x) = 1/x − a ergibt sich die Iteration x_n+1 = x_n(2 − a·x_n), die nur aus Multiplikation und Subtraktion besteht — Operationen, die Hardware günstig ausführt. Derselbe Trick steckt hinter schnellen Kehrwert-Wurzel-Routinen, etwa der berühmten aus Quake III.

NEWTON-VERFAHREN — WANN ES DIE STELLEN VERDOPPELT UND WANN ES DAVONLÄUFT

In welchem Newton-Fall bist du?

Das Newton-Verfahren folgt der Tangente bis zur Achse und wiederholt das: xₖ₊₁ = xₖ − f(xₖ)/f′(xₖ). Wenn es funktioniert, ist es spektakulär und verdoppelt pro Schritt ungefähr die Zahl der korrekten Stellen. Jede Art zu scheitern kommt von derselben Stelle — dem Nenner. Ein fast verschwindendes f′ schleudert dich weit weg, ein f′, das in der Nullstelle verschwindet, bremst dich auf Kriechtempo, und ein Start auf der falschen Seite eines Extremums liefert eine ganz andere Nullstelle.

Quadratische Konvergenz — der Fall, für den Newton berühmt ist e_k+1 ∝ e_k²

Flache Steigung an der Nullstelle — das Tempo sinkt auf linear f′(r) = 0 ⇒ e_k+1 ≈ (1 − 1/m)e_k

Es läuft davon — der Schritt wächst, statt zu schrumpfen x → −2x

Es konvergiert — gegen eine Nullstelle, die du nicht wolltest f′(x₀) = 0

Quadratische Konvergenz — der Fall, für den Newton berühmt ist

Was du weißt: f ist glatt, f′ ist nahe der Nullstelle deutlich von null verschieden, und der Startwert liegt nah genug. Jeder Schritt quadriert den Fehler ungefähr.

Iteration: e_k+1 ∝ e_k²

Rechenbeispiel: f(x) = x² − 2 ab x₀ = 1 → 1,5; 1,416667; 1,41421569; 1,41421356237: erst 1, dann 3, 6 und 12 korrekte Stellen

Diesen Fall öffnen: schnelle Nullstelle

Quadratische Konvergenz — der Fall, für den Newton berühmt ist. Jede Tangente landet weit näher an der Nullstelle als die vorige; der Fehler quadriert sich. f ist glatt, f′ ist nahe der Nullstelle deutlich von null verschieden, und der Startwert liegt nah genug. Jeder Schritt quadriert den Fehler ungefähr. — Jede Tangente landet weit näher an der Nullstelle als die vorige; der Fehler quadriert sich.

Flache Steigung an der Nullstelle — das Tempo sinkt auf linear

Was du weißt: Die Nullstelle ist mehrfach, f und f′ verschwinden dort also gemeinsam. Die Tangente ist genau dort fast waagerecht, wo du hinwillst.

Iteration: f′(r) = 0 ⇒ e_k+1 ≈ (1 − 1/m)e_k

Rechenbeispiel: f(x) = x³ ab x₀ = 0,1 → 0,0667; 0,0444; 0,0296; 0,0198: Jeder Schritt multipliziert den Fehler mit 2/3, statt ihn zu quadrieren

Diesen Fall öffnen: flache Steigung

Flache Steigung an der Nullstelle — das Tempo sinkt auf linear. Eine dreifache Nullstelle flacht die Tangente ab: Jeder Schritt schafft nur ein Drittel des Rests. Die Nullstelle ist mehrfach, f und f′ verschwinden dort also gemeinsam. Die Tangente ist genau dort fast waagerecht, wo du hinwillst. — Eine dreifache Nullstelle flacht die Tangente ab: Jeder Schritt schafft nur ein Drittel des Rests.

Es läuft davon — der Schritt wächst, statt zu schrumpfen

Was du weißt: f′ bricht schneller zusammen als f, während du dich der Nullstelle näherst, die Korrektur f/f′ schießt also jedes Mal weiter über das Ziel hinaus.

Iteration: x → −2x

Rechenbeispiel: f(x) = ∛x ab x₀ = 0,01 → −0,02; 0,04; −0,08; 0,16: Die Vorschrift ergibt exakt x → −2x, der Abstand verdoppelt sich also und das Vorzeichen kippt immerfort

Diesen Fall öffnen: divergiert

Es läuft davon — der Schritt wächst, statt zu schrumpfen. Jede Tangente schneidet die Achse doppelt so weit draußen wie die vorige, auf der anderen Seite. f′ bricht schneller zusammen als f, während du dich der Nullstelle näherst, die Korrektur f/f′ schießt also jedes Mal weiter über das Ziel hinaus. — Jede Tangente schneidet die Achse doppelt so weit draußen wie die vorige, auf der anderen Seite.

Es konvergiert — gegen eine Nullstelle, die du nicht wolltest

Was du weißt: Die Funktion hat mehrere Nullstellen, und der Start liegt nahe an einem Extremum, wo f′ klein und der erste Schritt riesig ist.

Iteration: f′(x₀) = 0

Rechenbeispiel: f(x) = x³ − x landet ab x₀ = 0,7 bei +1, ab x₀ = 0,5 springt der allererste Schritt jedoch auf −1 — eine Nullstelle jenseits zweier anderer

Diesen Fall öffnen: falsches Einzugsgebiet

Es konvergiert — gegen eine Nullstelle, die du nicht wolltest. Zwei benachbarte Starts, zwei verschiedene Nullstellen: Die Grenze liegt am Extremum. Die Funktion hat mehrere Nullstellen, und der Start liegt nahe an einem Extremum, wo f′ klein und der erste Schritt riesig ist. — Zwei benachbarte Starts, zwei verschiedene Nullstellen: Die Grenze liegt am Extremum.

Aufgabe vollständig gelöst

Die Nullstelle von x³ − x − 2 nach dem Newton-Verfahren 5 Schritte
Das Newtonverfahren findet die Nullstelle von x³ − x − 2 in drei Iterationen. Die Bisektion braucht etwa zwanzig Schritte, um überhaupt 10⁻⁶ zu erreichen; Newton unterschreitet diesen Wert schon im zweiten Schritt. Finde heraus, woher diese Geschwindigkeit kommt und welchen Preis du dafür zahlst.
1. Das Verfahren beruht auf einer einzigen Idee: Man ersetzt die Kurve durch ihre Tangente und löst stattdessen diese, da eine Gerade exakt gelöst werden kann. Der nächste Schätzwert liegt dort, wo die Tangente die Null schneidet.
  
  $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f ( x _{n} )}{f ^{'} ( x _{n} )}, f (x) = x^{3} - x - 2, f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1$
2. Von 1,5 aus ist der erste Schritt bereits fast der gesamte Weg. Die Funktion hat dort nur den Wert −0,125, die Steigung beträgt 5,75, und ihr Verhältnis verschiebt den Schätzwert um etwa 0,022.
  
  $x_{0} = 1.5 : x_{1} = 1.5 - \frac{- 0.125}{5.75} = 1.52173913$
3. Zwei weitere Schritte, und die Ziffern ändern sich nicht mehr. Das Werkzeug meldet drei Iterationen, weil ein viertes Mal das Ergebnis um weniger als die Toleranz verschieben würde.
  
  $x_{2} = 1.52137981, x_{3} = 1.52137971$
4. Entscheidend ist nicht die Näherung selbst, sondern ihr Fehler. Verfolgst du ihn, wird das Muster deutlich: Jeder Fehler entspricht ungefähr dem Quadrat seines Vorgängers. Damit verdoppelt sich die Zahl der korrekten Stellen bei jedem Schritt: 2, dann 4, dann 7, dann 14.
  
  $e_{n} = ∣ x_{n} - r ∣ : 2.14 \times 1 0^{- 2}, 3.59 \times 1 0^{- 4}, 9.92 \times 1 0^{- 8}, 7.55 \times 1 0^{- 15}$
5. Und die Konstante davor ist nicht beliebig. Entwickelt man f um die Nullstelle, zeigt sich, dass das Verhältnis aufeinanderfolgender quadratischer Fehler gegen |f″/2f′| an dieser Stelle strebt, was für diese kubische Funktion 0,768 beträgt. Die beobachteten Verhältnisse sind 0,786, 0,768, 0,768.
  
  $\frac{e _{n + 1}}{e _{n}^{2}} ⟶ \frac{f ^{''} ( r )}{2 f ^{'} ( r )} = \frac{3 r}{2 ( 3 r ^{2} - 1 )} = 0.768$
Antwort

Nach 3 Iterationen zeigt das Werkzeug die Nullstelle 1,52138 an. Der Grund ist die quadratische Konvergenz: Bei der Bisektion halbiert sich das Intervall mit jedem Schritt, sodass etwa zwanzig Schritte bis 10⁻⁶ nötig sind. Beim Newtonverfahren wird der Fehler hingegen ungefähr quadriert und unterschreitet diese Schranke bereits im zweiten Schritt. Dafür gibt es keine Konvergenzgarantie. Sobald die Bisektion eine Nullstelle eingeschlossen hat, kann sie nicht mehr scheitern. Newton arbeitet ohne einschließendes Intervall; liegt der Startwert an einer Stelle mit nahezu verschwindender Steigung, springt die nächste Näherung weit fort. Auf diesem Tauschgeschäft beruht die numerische Nullstellensuche. Robuste Lösungsverfahren schließen daher zunächst eine Nullstelle ein und wechseln erst anschließend zu Newton.

$e_{n + 1} \approx 0.768 e_{n}^{2} : correct digits DOUBLE each step$

Lernpfad

Drei numerische Verfahren und wo sie an ihre Grenzen stoßen

Führt zu Numerische Integration

Quellen (1)

Insight block 2 draws the tangent. Neither the tangent nor the derivative is Newton’s, which this traces: T. J. Ypma, "Historical Development of the Newton–Raphson Method." SIAM Review 37(4), 531–551, 1995 — Newton’s own procedure used no derivative and no geometric tangent; the form taught today is closer to Simpson’s.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-27

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

schnelle Nullstelle - Von x0 = 1 aus fällt der Fehler auf 0,414, 0,0858, 0,00245, 2,1 × 10⁻⁶ und 1,6 × 10⁻¹². Jeder Wert entspricht ungefähr dem Quadrat seines Vorgängers, sodass vier Schritte zwölf korrekte Stellen von √2 liefern.
flache Steigung - x³ hat bei 0 eine dreifache Nullstelle. Dort kriecht Newton, statt den Fehler zu quadrieren: Jeder Schritt multipliziert x lediglich mit 2/3. Nach sechs Schritten hält das Verfahren bei 0,0088 an und meldet Konvergenz. Die Nullstelle ist 0.
divergiert - Für die Kubikwurzel vereinfacht sich das Newtonverfahren exakt zu x → -2x. Die Näherungen lauten daher 0,01, -0,02, 0,04, -0,08; sie verdoppeln sich und wechseln endlos das Vorzeichen. Das Verfahren divergiert bei jedem Startwert außer der Nullstelle selbst.
falsches Einzugsgebiet - x0 = 0,55 liegt auf der positiven Seite und konvergiert dennoch gegen -1. Die erste Tangente schleudert den Wert auf -3,60, weil die Ableitung bei 1/√3 = 0,5774 nahezu verschwindet. Mit 0,58 landet Newton stattdessen bei +1.
negative Nullstelle - Dieselbe Gleichung x² - 2 wie bei „Schnelle Nullstelle“, diesmal mit -1,2 statt 1 als Startwert. Nach drei Schritten konvergiert das Verfahren gegen -1,414. Newton findet die Nullstelle, auf die dein Startwert weist, nicht unbedingt die gewünschte.
strenge Toleranz - Für x³ - x - 2 liefert Newton vom Startwert 1,6 aus selbst bei einer Toleranz von 10⁻⁸ nach drei Iterationen den Wert 1,5213797. Die Bisektion bräuchte dafür etwa siebenundzwanzig Halbierungen.