Newton-Verfahren Visualizer
Nullstellensuche mit Tangentenschritten und Konvergenzdiagnose
Einzugsgebiete bestimmen das Ergebnis 🖖
Das Newton-Verfahren ist mächtig, weil es die lokale Steigung nutzt – ein guter Startwert verdoppelt oft die Anzahl korrekter Nachkommastellen bei jedem Schritt. Derselbe Mechanismus kann jedoch nahe flacher Ableitungen oder an den Grenzen von Einzugsgebieten versagen: Winzige Änderungen von x0 können zu einer anderen Nullstelle, einem Zyklus oder zur Divergenz führen.
der Tangente bis zur Achse folgen 🖖
Um herauszufinden, wo eine Kurve die Null durchläuft, ersetzt das Newton-Verfahren die Kurve durch ihre Tangente am aktuellen Schätzwert und springt dorthin, wo diese Gerade die x-Achse schneidet. Da eine glatte Kurve aus der Nähe fast gerade aussieht, liegt dieser Schnittpunkt meist deutlich näher an der echten Nullstelle. Wiederholt man das, nähert man sich schnell. Die Formel: x_{n+1} = x_n − f(x_n)/f'(x_n).
Computer dividieren ohne Division 🖖
Moderne Prozessoren berechnen a/b oft, indem sie zuerst 1/b bestimmen — und das Newton-Verfahren kommt dabei ganz ohne Division aus. Angewandt auf f(x) = 1/x − a ergibt sich die Iteration x_{n+1} = x_n(2 − a·x_n), die nur aus Multiplikation und Subtraktion besteht — Operationen, die Hardware günstig ausführt. Derselbe Trick steckt hinter schnellen Kehrwert-Wurzel-Routinen, etwa der berühmten aus Quake III.
Beispielaufgaben
- schnelle Nullstelle - Quadratische Konvergenz führt schnell zu sqrt(2).
- flache Steigung - Eine nahezu verschwindende Ableitung führt zu langsamem oder instabilem Fortschritt.
- divergiert - Eine unstetige Ableitung kann die Newton-Schritte unberechenbar machen.
- falsches Einzugsgebiet - Der Startwert bestimmt, in welches Einzugsgebiet das Verfahren fällt.
- negative Nullstelle - negative Nullstelle
- strenge Toleranz - strenge Toleranz