Labor für numerische Integration
Schätze die Fläche unter einer Kurve oder zwischen zwei Funktionen ab und visualisiere, wie numerische Verfahren das Integral annähern.
warum Simpson fast exakt wirken kann 🖖
Bei der numerischen Integration geht es nicht nur darum, einen Schätzwert zu bekommen, sondern das Fehlerverhalten zu verstehen. Unter- und Obersummen tragen eine Randverzerrung, Mittelpunkt- und Trapezsumme verbessern sich bei glatten Funktionen meist mit Konvergenz zweiter Ordnung, und Simpson verbessert sich oft noch deutlich schneller. Wenn eine Verdopplung von n den Schätzwert kaum verändert, befindet sich die Näherung wahrscheinlich in einem stabilen Bereich.
Herangezoomt wird jede Kurve gerade 🖖
Numerische Integration zerlegt die Fläche unter einer Kurve in dünne Streifen und füllt jeden mit einer einfachen Form — einem Rechteck, einem Trapez oder einer kleinen Parabel — und summiert die Teile. Der Trick: Innerhalb eines schmalen Streifens sieht selbst eine wilde Kurve fast gerade aus, sodass eine grobe Form erstaunlich gut passt. Beobachte die cyanfarbene Füllung: Je dünner die Streifen, desto weniger zählt die Wahl der Form, weil weniger Kurve übrig bleibt, die man verfehlen kann.
Die Simpsonregel ist älter als Simpson 🖖
Die Panel-Formel, die dieses Tool für Simpson verwendet, S = (Δx/6)(f(x_L) + 4f(x_M) + f(x_R)), ist identisch mit einer Regel, die Johannes Kepler 1615 zur Bestimmung des Volumens von Weinfässern veröffentlichte — die Keplersche Fassregel — über ein Jahrhundert bevor Thomas Simpson sie 1743 niederschrieb. Ein Paradebeispiel dafür, dass der Name einer Methode ihren wahren Erfinder überdauert. Kepler brauchte sie, weil die gewölbte Fasswand keine einfache Flächenformel besitzt.
Beispielaufgaben
- Grobe Linkssumme - Auch bei großem n zeigen linke Rechtecke bei einer konvexen Kurve noch eine Verzerrung durch den linken Randpunkt.
- Glattes Simpson - Bei der glatten Funktion sin(x) konvergiert die Simpson-Regel schnell gegen die wahre Fläche.
- Gekrümmte Exponentialfunktion - Bei exp(x) überschätzt die Trapezregel tendenziell, da die Kurve nach oben konvex ist.
- Arkustangens - Die Mittelpunktregel erfasst den beschränkten Verlauf von 1/(1+x^2) bereits mit mäßig vielen Teilintervallen gut.
- Zwischen Parabel und Gerade - Die Differenzintegration erfasst die vorzeichenbehaftete Fläche zwischen Parabel und Gerade.
- Zwischen sin und cos - Der Modus „Fläche zwischen Kurven“ integriert sin(x)-cos(x) über das gewählte Intervall.
- Benutzerdefiniert - Benutzerdefinierte Voreinstellungen kombinieren transformierte Koeffizienten von Parabel und Gerade in einem Szenario.