Labor für numerische Integration

Schätze die Fläche unter einer Kurve oder zwischen zwei Funktionen ab und visualisiere, wie numerische Verfahren das Integral annähern.

Rechenbeispiel — Labor für numerische Integration

Bestimmter Wert	2.666667
Exaktes Integral	2.666667
Form	1x+0

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Streifen verdoppelt, Simpson sechzehnmal genauer 🖖

Alle Verfahren hier konvergieren. Entscheidend ist, wie schnell. Verdoppelst du die Zahl der Streifen für e^x über [0, 1], sinkt der Fehler der linken Summe um den Faktor 2, bei Mittelpunkt- und Trapezregel um den Faktor 4 und bei Simpson um den Faktor 16. Simpson wertet pro Streifen drei Punkte aus, die linke Summe nur einen. Der Rechenaufwand ist also dreimal so hoch. Bei n = 8 liegt Simpson für diesen Integranden bereits um sechs Größenordnungen näher am exakten Wert.

Herangezoomt wird jede Kurve gerade 🖖

Bei der numerischen Integration zerlegst du die Fläche unter einer Kurve in schmale Streifen. Jeden füllst du mit einer einfachen Form: einem Rechteck, einem Trapez oder einem kleinen Parabelstück. Anschließend addierst du die Teilflächen. Selbst eine stark gekrümmte Kurve wirkt innerhalb eines schmalen Streifens fast gerade. Deshalb passt auch eine einfache Form erstaunlich gut. Beobachte die cyanfarbene Füllung: Je schmaler du die Streifen machst, desto kleiner kann der Fehler eines einzelnen Streifens werden, unabhängig von der gewählten Form.

Die Simpsonregel ist älter als Simpson 🖖

Johannes Kepler veröffentlichte 1615 die hier für Simpson verwendete Teilintervallformel: S = (Δx/6)(f(x_L) + 4f(x_M) + f(x_R)). Damit bestimmte er das Volumen von Weinfässern. Im Deutschen heißt sie bis heute Keplersche Fassregel. Thomas Simpson hielt sie erst 1743 schriftlich fest, ein Jahrhundert und ein Viertel später. Kepler brauchte sie, weil es für die gewölbte Seitenfläche eines Fasses keine einfache Flächenformel gibt.

THEORIE DER NUMERISCHEN INTEGRATION — FÜNF WEGE, EINE FLÄCHE ZU MESSEN

Die Regel wählen: Welche Form legst du unter die Kurve?

Jede Regel zerlegt [a, b] in n Streifen und ersetzt die Kurve in jedem Streifen durch etwas exakt Messbares. Die Regeln unterscheiden sich nur in dieser Ersatzform — eine Waagerechte am Rand, eine Waagerechte in der Mitte, eine Schräge oder eine Parabel — und genau diese Wahl bestimmt deinen Fehler und wie schnell er mit mehr Streifen schrumpft.

Linke Rechtecke — flach am linken Rand h · Σ f(x_i)

Rechte Rechtecke — flach am rechten Rand h · Σ f(x_i+1)

Mittelpunktsrechtecke — flach in der Mitte h · Σ f(x_i + h/2)

Trapezregel — eine Gerade darüber (h/2) · Σ [f(x_i) + f(x_i+1)]

Simpson-Regel — eine Parabel durch drei Punkte (h/3) · [f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + f_n]

Linke Rechtecke — flach am linken Rand

Verwendete Form: Ein Rechteck je Streifen, die Höhe am linken Endpunkt des Streifens abgelesen.

Regel: h · Σ f(x_i)

Fehlerverhalten: Bei steigender Kurve liegt jedes Rechteck darunter, die Summe unterschätzt also. Halbe Streifenbreite, etwa halber Fehler.

Diesen Fall öffnen: Links, 50 Streifen

Linke Rechtecke — flach am linken Rand. Jeder Streifen ist ein Rechteck am linken Rand — ein Keil der Kurve bleibt ungezählt. Ein Rechteck je Streifen, die Höhe am linken Endpunkt des Streifens abgelesen. — Jeder Streifen ist ein Rechteck am linken Rand — ein Keil der Kurve bleibt ungezählt.

Rechte Rechtecke — flach am rechten Rand

Verwendete Form: Ein Rechteck je Streifen, die Höhe stattdessen am rechten Endpunkt abgelesen.

Regel: h · Σ f(x_i+1)

Fehlerverhalten: Bei derselben steigenden Kurve ragt nun jedes Rechteck darüber hinaus — es überschätzt etwa um das, was die linke Regel verlor.

Diesen Fall öffnen: Rechts, 8 Streifen

Rechte Rechtecke — flach am rechten Rand. Dieselben Streifen, Höhe am rechten Rand — die Verzerrung kehrt sich um. Ein Rechteck je Streifen, die Höhe stattdessen am rechten Endpunkt abgelesen. — Dieselben Streifen, Höhe am rechten Rand — die Verzerrung kehrt sich um.

Mittelpunktsrechtecke — flach in der Mitte

Verwendete Form: Ein Rechteck je Streifen, die Höhe in der Streifenmitte statt an einem Rand abgelesen.

Regel: h · Σ f(x_i + h/2)

Fehlerverhalten: Der Überschuss auf der einen Streifenhälfte gleicht das Defizit auf der anderen aus. Halbes h, etwa ein Viertel des Fehlers.

Diesen Fall öffnen: Arkustangens

Mittelpunktsrechtecke — flach in der Mitte. Die Abtastung in der Mitte lässt die beiden Fehler jedes Streifens einander aufheben. Ein Rechteck je Streifen, die Höhe in der Streifenmitte statt an einem Rand abgelesen. — Die Abtastung in der Mitte lässt die beiden Fehler jedes Streifens einander aufheben.

Trapezregel — eine Gerade darüber

Verwendete Form: Jeder Streifen wird zum Trapez, das die Kurvenwerte an beiden Streifenrändern verbindet.

Regel: (h/2) · Σ [f(x_i) + f(x_i+1)]

Fehlerverhalten: exp(x) auf [0, 1] mit n = 8: Die Sehnen liegen über der konvexen Kurve, die Schätzung fällt also zu hoch aus.

Diesen Fall öffnen: Gekrümmte Exponentialfunktion

Trapezregel — eine Gerade darüber. Sehnen über jedem Streifen: über einer konvexen Kurve, unter einer konkaven. Jeder Streifen wird zum Trapez, das die Kurvenwerte an beiden Streifenrändern verbindet. — Sehnen über jedem Streifen: über einer konvexen Kurve, unter einer konkaven.

Simpson-Regel — eine Parabel durch drei Punkte

Verwendete Form: Die Streifen werden paarweise genommen und eine Parabel durch die drei Punkte gelegt, die sie aufspannen. Erfordert gerades n.

Regel: (h/3) · [f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + f_n]

Fehlerverhalten: sin(x) auf [0, π] trifft schon mit n = 10 den exakten Wert 2 auf mehrere Nachkommastellen.

Diesen Fall öffnen: Glattes Simpson

Simpson-Regel — eine Parabel durch drei Punkte. Je Streifenpaar eine Parabel, die sich weit enger an die Kurve schmiegt als eine Sehne. Die Streifen werden paarweise genommen und eine Parabel durch die drei Punkte gelegt, die sie aufspannen. Erfordert gerades n. — Je Streifenpaar eine Parabel, die sich weit enger an die Kurve schmiegt als eine Sehne.

Quellen (1)

Insight block 3 — Simpson's rule, a century before Simpson: J. Kepler, Nova stereometria doliorum vinariorum. Linz, 1615 — the Keplersche Fassregel, derived to gauge the volume of wine barrels.

Aufgabe vollständig gelöst

Die Trapezregel bei n = 8 für e x 5 Schritte
Integrieren Sie e^x von 0 bis 1 mit acht Trapezen und bestimmen Sie genau, wie falsch das Ergebnis ist, bevor Sie es mit irgendetwas vergleichen. Dies ist die Trapezregel bei n = 8 für e^x über [0, 1] — der eine Integrand, für den sich der Schätzwert in geschlossener Form schreiben lässt.
1. Die Trapezregel mittelt die beiden Endhöhen jedes Streifens, sodass jede innere Höhe einmal zählt und die beiden äußeren halb zählen. Für e^x auf einem gleichmäßig unterteilten Gitter sind diese Höhen nicht acht voneinander unabhängige Zahlen: Jede ist die vorherige, multipliziert mit e^1/8.
  
  $T = h [\frac{f _{0} + f _{8}}{2} + k = 1 \sum 7 f_{k}], h = \frac{1}{8}, f_{k} = e^{k /8} = r^{k}, r = e^{1/8} = 1.133148$
2. Aufeinanderfolgende Potenzen von r addieren sich als geometrische Reihe, sodass die sieben inneren Höhen zu einem einzigen Quotienten zusammenfallen. Die achte Potenz von r ist exakt e, was genau das Intervall [0, 1] so praktisch für dieses Vorgehen macht.
  
  $k = 1 \sum 7 r^{k} = \frac{r ^{8} - r}{r - 1} = \frac{e - r}{r - 1} = \frac{1.585134}{0.133148} = 11.905008$
3. Die Multiplikation der Klammer mit der Streifenbreite schließt die Schätzung ab. Bis hierhin ist nichts näherungsweise, außer der ursprünglichen Entscheidung, gekrümmte Streifen oben gerade abzuschließen.
  
  $T = \frac{1}{8} [\frac{1 + e}{2} + 11.905008] = \frac{1}{8} [1.859141 + 11.905008] = 1.720519$
4. Führt man nun dieselben drei Zeilen ohne Dezimalzahlen aus: Der Mittelwert der Endpunkte und der geometrische Quotient teilen sich einen Faktor, und was das Kürzen übersteht, ist e − 1 — das exakte Integral —, multipliziert mit einer Größe, die allein von h abhängt. Die Trapezregel hat e^x hier nicht genähert; sie hat die richtige Antwort um einen Faktor skaliert, der nichts über die Kurve weiß.
  
  $T = h [\frac{1 + e}{2} + \frac{e - r}{r - 1}] = \frac{h ( e - 1 ) ( r + 1 )}{2 ( r - 1 )} = (e - 1) \cdot \frac{h}{2} coth \frac{h}{2}$
5. Dieser Faktor ist x coth x bei x = h/2, und er ist gerade in x, sodass seine Reihe mit 1 + x²/3 beginnt und keinen linearen Term enthält, um den man sich sorgen müsste. Bei x = h/2 lautet das 1 + h²/12, und die 1/12, die jedes Lehrbuch in der Fehlerschranke der Trapezregel angibt, ist dieser Reihenkoeffizient und nichts weiter. Der nächste Term, −h⁴/720, beträgt nur 3,4 × 10⁻⁷, sodass bereits der führende Term den Fehler auf sechs Stellen genau festlegt.
  
  $x coth x = \frac{x cosh x}{sinh x} = \frac{1 + \frac{x ^{2}}{2} + \dots}{1 + \frac{x ^{2}}{6} + \dots} = 1 + \frac{x ^{2}}{3} + \dots, x = \frac{h}{2} ⟹ T - I = \frac{I h ^{2}}{12} = \frac{1.718282}{768} = 0.0022373$
Antwort

Das Werkzeug gibt einen Schätzwert von 1,720519 gegenüber einem wahren Wert von 1,718282 aus, und die Differenz von 0,0022368 entspricht genau dem, was I·h²/12 = 0,0022373 allein aus dem Gitterabstand vorhergesagt hat. Beide Zahlen standen zur Verfügung, bevor e^x überhaupt irgendwo ausgewertet wurde, was den eigentlichen Kern ausmacht: Der Trapezfehler bei diesem Integral ist eine Eigenschaft von h, kein Rätsel um den Integranden. Der Preis für ein h²-Gesetz ist hoch. Um die sechs Dezimalstellen zu erreichen, die das Werkzeug als wahr ausgibt, benötigt man 462 Streifen — 463 Höhen von e^x —, während die Simpson-Regel des Werkzeugs, die die linke, mittlere und rechte Höhe jedes Teilintervalls mit 1 : 4 : 1 gewichtet, 1,718282 bei sechs Teilintervallen oder dreizehn Höhen anzeigt. Dieser Faktor von fünfunddreißig bringt mathematisch nichts Neues; er ist lediglich ein anderer Mittelwert von Höhen, neben denen die Trapezregel ohnehin schon stand.

$T = I \cdot \frac{h}{2} coth \frac{h}{2} = I (1 + \frac{h ^{2}}{12} - \frac{h ^{4}}{720} + \dots)$

Lernpfad

Drei numerische Verfahren und wo sie an ihre Grenzen stoßen

Führt zu Euler-Verfahren

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

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Beispielaufgaben

Links, 50 Streifen - Bei fünfzig linken Rechtecken liegt das Ergebnis für x² noch um 0,0795 zu niedrig. Der Randpunktfehler verschwindet mit wachsendem n nicht, sondern nimmt nur umgekehrt proportional zu n ab.
Rechts, 8 Streifen - Acht rechte Rechtecke ergeben 3,1875, acht linke dagegen 2,1875. Der Abstand beträgt genau 1. Er ist gleich h mal f(2) - f(0), unabhängig davon, wie die Kurve dazwischen verläuft.
Glattes Simpson - Für sin(x) über [0, π] ergeben zehn Simpson-Teilintervalle 2,00000678 statt des exakten Werts 2. Zehn Streifen liefern sechs korrekte Stellen.
Gekrümmte Exponentialfunktion - Acht Trapeze für e^x ergeben 1,720519 statt 1,718282. Die Aufgabe unten stellt diese Näherung in geschlossener Form dar und erklärt genau, warum sie zu groß ist.
Arkustangens - 1/(1+x²) ist gerade. Deshalb liefern linke und rechte Summe über [-2, 2] denselben Wert 2,211342; keiner von beiden begrenzt den exakten Wert. Die Mittelpunktregel ergibt 2,215772 statt des exakten Werts 2,214297.
Zwischen Parabel und Gerade - x² und x schneiden sich innerhalb von [-1, 2] zweimal. Daher ist der orientierte Flächeninhalt kleiner als der Flächeninhalt zwischen den Graphen. Simpson liefert exakt 1,5, weil ihre Differenz eine quadratische Funktion ist.
Zwischen sin und cos - Für sin(x) minus cos(x) über [0, π] ergeben achtzehn Trapeze 1,994920 statt des exakten Werts 2.
Benutzerdefiniert - Die Differenz aus einer quadratischen und einer linearen Funktion ist weiterhin quadratisch. Dafür liefert Simpson exakt 9,25, ganz ohne Fehler.