Euler-Verfahren Visualizer

Das Euler-Verfahren ist eine numerische Methode erster Ordnung zur Lösung von Differentialgleichungen: y_{n+1} = y_n + h * f(x_n, y_n). Es akkumuliert lokale Rundungsfehler von O(h²) und globale Fehler von O(h). Bei zu großem h divergiert das Verfahren schnell, besonders bei steifen Gleichungen.

Das Euler-Verfahren ist die einfachste ehrliche Schätzung: Von deinem aktuellen Punkt aus gehst du in die Richtung, die die Gleichung für die Kurve vorgibt, läufst ein kurzes Stück h und peilst dann neu. Die exakte Kurve krümmt sich weiter, doch ein gerader Schritt ignoriert diese Krümmung und driftet ab. Praktische Erkenntnis: Da das Verfahren von erster Ordnung ist, halbiert das Halbieren von h den Endfehler ungefähr — eine schnelle Konvergenzprüfung, die dieses Tool sichtbar macht.

Wendet man das Euler-Verfahren auf die Gleichung y' = y mit Startwert y = 1 an, multipliziert jeder Schritt einfach mit (1 + h). Nimm N Schritte der Größe h = 1/N über das Intervall [0, 1], und das Ergebnis ist genau (1 + 1/N)^N — die Formel für den Zinseszins. Mit wachsendem N konvergiert sie gegen e ≈ 2.71828, sodass Eulers grobe geradlinige Schritte still die kontinuierliche Verzinsung und die Definition der Exponentialfunktion nachbilden.