Integration durch Substitution

Rückwärts gelesen wird die Kettenregel zu einer Integrationsmethode. Ein Integrand der Form g(u(x))·u′(x) ist die Ableitung von G(u(x)). Unten wird die Fläche unter einem solchen Integranden in Streifen zerlegt. Jeder Streifen wandert auf die u-Achse und deckt dort ein anderes Intervall mit exakt derselben Fläche ab. Gehe danach eine Substitution Schritt für Schritt durch und probiere es selbst aus.

Unbestimmt	$\int g (u (x)) u^{'} (x) d x G^{'} = G (u (x)) + C, = g$
Bestimmt: Die Grenzen wandern mit u	$\int_{a}^{b} g (u (x)) u^{'} (x) d x = \int_{u (a)}^{u (b)} g (u) d u$

Rechenbeispiel — Integration durch Substitution

Fläche in x (Simpsonregel)	−0,7568
Mit alten Grenzen von x (Fehler)	0,9093
Streifen vorwärts in u	−0,7568
Streifen rückwärts in u	0,0000

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Integration durch Substitution

Integration durch Substitution ist die rückwärts gelesene Kettenregel. Hat ein Integrand die Form g(u(x))·u′(x) und G ist eine Stammfunktion von g, dann ist G(u(x)) eine Stammfunktion des Integranden. Die Ableitung davon ist nämlich G′(u(x))·u′(x). Bei einem bestimmten Integral wandern die Grenzen mit der Variablen: ∫_a^b g(u(x)) u′(x) dx = ∫_u(a)^u(b) g(u) du.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

u: die innere Funktion, die zur neuen Variablen wird
du: u′(x) dx, der Faktor, der bis auf eine Konstante bereits im Integranden stehen muss

Woher die Formel kommt

Warum die Streifen übereinstimmen. Über einen Streifen [x_i; x_i+1] hinweg ist die Fläche unter g(u(x))·u′(x) gleich G(u(x_i+1)) − G(u(x_i)). Das liegt daran, dass G(u(x)) eine Stammfunktion ist. Gleichzeitig ist das die Fläche unter g von u(x_i) bis u(x_i+1), egal in welcher Reihenfolge diese beiden Zahlen stehen. Addierst du die Streifen, heben sich die inneren Terme paarweise auf. Übrig bleibt G(u(b)) − G(u(a)).
$\int_{x_{i}}^{x_{i + 1}} g (u (x)) u^{'} (x) d x = G (u (x_{i + 1})) - G (u (x_{i})) = \int_{u (x_{i})}^{u (x_{i + 1})} g (u) d u, i \sum \Rightarrow G (u (b)) - G (u (a))$

Setzt voraus: Die x-seitige Fläche wird numerisch berechnet. Dazu wird die Simpsonregel überall dort verfeinert, wo sich die Kurve stark krümmt. Die u-Seite wird aus G berechnet. Dass beide übereinstimmen, ist also eher eine Bestätigung als ein Beweis. Sie stimmen bei jeder durch die Bedienelemente möglichen Einstellung auf vier Nachkommastellen genau überein.

Aufgaben vollständig gelöst

Eine lineare innere Funktion 3 Schritte
Bestimme ∫(3x − 2)⁵ dx.

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1. Die innere Funktion ist linear. Nenne sie u; ihre Ableitung ist die Konstante 3, also ist dx = du/3:
  
  $u = 3 x - 2, d u = 3 d x, d x = \frac{d u}{3}$
2. Integriere die Potenz von u:
  
  $\int u^{5} \frac{d u}{3} = \frac{u ^{6}}{18}$
3. Setze wieder x ein:
  
  $\frac{( 3 x - 2 ) ^{6}}{18} + C$
Antwort

(3x − 2)⁶/18 + C. Wenn du die 3 vergisst, entsteht (3x − 2)⁶/6. Öffne die Aufgabe im Werkzeug und tippe das ein: Die Auswertung meldet dann eine Ableitung, die das Dreifache des Integranden beträgt.

$\int (3 x - 2)^{5} d x = \frac{( 3 x - 2 ) ^{6}}{18} + C$
Die Ableitung steht schon da 3 Schritte
Bestimme ∫x(x² + 1)⁴ dx.

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1. Das x neben der Klammer ist die Hälfte der inneren Ableitung, 2x:
  
  $u = x^{2} + 1, d u = 2 x d x, x d x = \frac{d u}{2}$
2. Damit wird das gesamte Integral zu einer Potenz von u:
  
  $\int u^{4} \frac{d u}{2} = \frac{u ^{5}}{10}$
3. Zurück zu x:
  
  $\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{5}}{10} + C$
Antwort

(x² + 1)⁵/10 + C. Genau dieses x macht den Weg frei. Ohne es fehlt bei ∫(x² + 1)⁴ dx das passende du; dann bleibt nur, die Klammer auszumultiplizieren.

$\int x (x^{2} + 1)^{4} d x = \frac{( x ^{2} + 1 ) ^{5}}{10} + C$
Der Zähler ist die Ableitung des Nenners 3 Schritte
Bestimme ∫(2x + 1)/(x² + x + 3) dx.

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1. Im Zähler steht genau die Ableitung des Nenners:
  
  $u = x^{2} + x + 3, d u = (2 x + 1) d x$
2. Damit wird das Integral zu ∫du/u:
  
  $\int \frac{d u}{u} = ln ∣ u ∣$
3. Die Betragsstriche kannst du weglassen, weil der Nenner nie negativ wird:
  
  $x^{2} + x + 3 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{11}{4} > 0 \Rightarrow ln (x^{2} + x + 3) + C$
Antwort

ln(x² + x + 3) + C. Achte bei jedem Bruch auf dieses Muster: ∫f′/f dx = ln|f| + C. Stünde im Zähler x + ½, wäre das Ergebnis die Hälfte davon.

$\int \frac{2 x + 1}{x ^{2} + x + 3} d x = ln (x^{2} + x + 3) + C$
∫tan x 3 Schritte
Bestimme ∫tan x dx.

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1. Schreibe tan x als Bruch. Bis auf das Vorzeichen ist der Zähler die Ableitung des Nenners:
  
  $tan x = \frac{sin x}{cos x}, u = cos x, d u = - sin x d x$
2. Das Integral ist also −∫du/u:
  
  $\int \frac{sin x}{cos x} d x = - \int \frac{d u}{u} = - ln ∣ u ∣$
3. Setze wieder x ein. Beide Formen beschreiben dasselbe Ergebnis, denn −ln a = ln(1/a):
  
  $- ln ∣ cos x ∣ + C = ln ∣ sec x ∣ + C$
Antwort

−ln|cos x| + C, auch geschrieben als ln|sec x| + C. Das Minuszeichen wird gerne vergessen: Die Ableitung von ln|cos x| ist −tan x, und das Werkzeug meldet dann ein falsches Vorzeichen.

$\int tan x d x = - ln ∣ cos x ∣ + C$
u = ln x 3 Schritte
Bestimme ∫(ln x)²/x dx für x > 0.

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1. 1/x ist die Ableitung von ln x, liefert also das du:
  
  $u = ln x, d u = \frac{d x}{x}$
2. Übrig bleibt eine Potenz von u:
  
  $\int u^{2} d u = \frac{u ^{3}}{3}$
3. Zurück zu x:
  
  $\frac{( ln x ) ^{3}}{3} + C$
Antwort

(ln x)³/3 + C. Jeder Integrand der Form g(ln x)/x löst sich nach genau diesem Schema.

$\int \frac{( ln x ) ^{2}}{x} d x = \frac{( ln x ) ^{3}}{3} + C$
Wenn du x durch u ausdrücken musst 4 Schritte
Bestimme ∫x√(x + 1) dx.

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1. Setze u = x + 1, also du = dx. Das x davor gehört nicht zu du, drücke es also durch u aus:
  
  $u = x + 1, d u = d x, x = u - 1$
2. Multipliziere aus, damit jeder Summand eine Potenz von u ist:
  
  $\int (u - 1) u d u = \int (u^{3/2} - u^{1/2}) d u$
3. Integriere jede Potenz:
  
  $= \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2}$
4. Setze x wieder ein:
  
  $\frac{2}{5} (x + 1)^{5/2} - \frac{2}{3} (x + 1)^{3/2} + C$
Antwort

(2/5)(x + 1)^5/2 − (2/3)(x + 1)^3/2 + C. x und √(x + 1) getrennt zu integrieren und die Ergebnisse zu multiplizieren, ist die typische Falle: Das Integral eines Produkts ist nicht das Produkt der Integrale.

$\int x x + 1 d x = \frac{2}{5} (x + 1)^{5/2} - \frac{2}{3} (x + 1)^{3/2} + C$
Passe die Grenzen an die Variable an 3 Schritte
Berechne ∫₀¹ 2x(x² + 1)³ dx.
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1. 2x ist das du für u = x² + 1:
  
  $u = x^{2} + 1, d u = 2 x d x$
2. Passe die Grenzen an die Variable an:
  
  $x = 0 \Rightarrow u = 1, x = 1 \Rightarrow u = 2$
3. Integriere in den neuen Grenzen:
  
  $\int_{1}^{2} u^{3} d u = [\frac{u ^{4}}{4}]_{1}^{2} = \frac{16 - 1}{4} = \frac{15}{4}$
Antwort

15/4 = 3,75. Behältst du die alten Grenzen von 0 bis 1 bei, kommt 1/4 heraus. Der andere sichere Weg: erst x wieder einsetzen und die alten Grenzen nutzen; der eigentliche Fehler ist, u mit den alten Grenzen zu vermischen.

$\int_{0}^{1} 2 x (x^{2} + 1)^{3} d x = \frac{15}{4} = 3.75$
Wie weit draußen erreicht die Fläche 5? 4 Schritte
Die Kurve x/(1 + x²) fällt mit wachsendem x gegen 0. Wie weit von 0 entfernt muss b liegen, damit die Fläche von 0 bis b den Wert 5 erreicht? Wie hoch ist die Kurve dort? Klick auf Ein langsamer Logarithmus. Von 0 bis 3 beträgt die Fläche 1,1513.

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1. Mit u = 1 + x² ist du = 2x dx. Damit gilt x dx = du/2, und die Fläche ist ein halber Logarithmus:
  
  $u = 1 + x^{2}, d u = 2 x d x : \int_{0}^{b} \frac{x}{1 + x ^{2}} d x = \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + b^{2}} \frac{d u}{u} = \frac{1}{2} ln (1 + b^{2})$
2. Bei b = 3 ist das ½ ln 10, der Wert von der Seite. Setze das gleich 5:
  
  $\frac{1}{2} ln (1 + b^{2}) = 5 \Rightarrow b = e^{10} - 1 = 148.41$
3. Dort erreicht die Kurve nur noch eine Höhe von
  
  $f (148.41) = \frac{148 . 41}{1 + 148 . 4 1 ^{2}} = 0.0067$
4. Um die Fläche auf 10 zu verdoppeln, benötigst du
  
  $\frac{1}{2} ln (1 + b^{2}) = 10 \Rightarrow b = e^{20} - 1 = 22, 026.47$
Antwort

b ≈ 148,4, wo die Kurve 0,0067 hoch ist. Die Fläche hört nie auf zu wachsen. Für große b wächst sie jedoch wie ln b. Jede weitere Flächeneinheit multipliziert b also etwa mit e ≈ 2,72. Der Schieberegler der Seite stoppt bei b = 5.

$b \approx 148.4, f (b) \approx 0.0067$

Durch eine Konstante darfst du teilen, durch ein x niemals 🖖

Klick auf Eine fehlende −2. Der Integrand ist x·e^−x², und e^−x² wurde eingegeben. Nach der Kettenregel ist die Ableitung davon e^−x²·(−2x). Das entspricht an jedem Punkt dem −2-Fachen des Integranden. Die Rückmeldung sagt genau das. Mit u = −x² ist du = −2x dx. Das x des Integranden ist genau das du, das du bis auf die −2 brauchst. Eine Konstante wandert durch das Integralzeichen. Du kannst also durch sie dividieren. −½e^−x² ist richtig. Klick nun auf Ein fehlendes x. Der Integrand lautet e^−x², ohne ein x daneben. Teilst du trotzdem durch die fehlenden −2x, erhältst du e^−x²/(−2x). Die Quotientenregel nimmt das auseinander. Die Ableitung davon ist der Integrand mal 1 + 1/(2x²). Bei x = 1 ist das um die Hälfte zu groß, bei x = 3 immer noch 1,0556-mal zu groß, und nirgendwo gleich. Eine Konstante lässt sich durch ∫ verschieben. Ein x geht nicht, denn über x läuft das Integral. Eine Antwort durch ein fehlendes x zu teilen, ist niemals eine Substitution. Keine aus Potenzen, Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrischen Funktionen gebaute Formel liefert abgeleitet e^−x². Liouville hat das bewiesen. Die letzte Stufe dieses Kapitels zeigt, was das bedeutet.

Behältst du die Grenzen von x bei, kann die Fläche das Vorzeichen wechseln 🖖

Klick auf Grenzen beibehalten?. Der Integrand 2x cos(x²) ist cos u mal du für u = x². Die Streifen von [0, 2] landen auf der u-Achse auf [0, 4], da 2² = 4 ist. Beide Felder ergeben −0,7568, was sin 4 entspricht. Der gestrichelte Umriss im unteren Feld zeigt den Fehler. Du substituierst im Integranden, behältst aber die alten Grenzen bei. Dadurch wird cos u von 0 bis 2 integriert. Das liefert sin 2 = 0,9093. Dieser Wert ist positiv, obwohl die tatsächliche Fläche negativ ist. cos u verläuft ab u = π/2 unterhalb der Null. Das betrifft mehr als die Hälfte des Intervalls [0, 4]. Die alten Grenzen hören jedoch schon bei 2 auf, bevor der größte Teil davon beginnt. Klick auf Streifen abbilden. Die Fläche jedes Streifens fließt im exakt gleichen Moment in beide laufenden Summen ein. Über einen Streifen hinweg sind nämlich beide Seiten gleich G(u(xᵢ₊₁)) − G(u(xᵢ)).

u muss nicht injektiv sein 🖖

Klick auf Hin und zurück. Auf [0, π] steigt u = sin x von 0 auf 1 und fällt wieder auf 0. Die Streifen der ersten Hälfte landen auf [0, 1] und bewegen sich nach rechts. Sie tragen 1,7183 bei, was e − 1 entspricht. Die Streifen der zweiten Hälfte landen auf demselben [0, 1] und bewegen sich nach links. Sie sind rot schraffiert und tragen −1,7183 bei. Dort ist u′ = cos x nämlich negativ, und somit auch jedes du. Sie heben sich auf, und ∫₀^π cos x·e^{sin x} dx = 0. Das ist dasselbe wie das leere Integral von u(0) = 0 bis u(π) = 0. Die Substitutionsregel verlangt nur, dass u′ stetig ist und dass g an jedem durchlaufenen Wert von u stetig ist. Sie verlangt nie, dass u immer nur in eine Richtung verläuft. Ein rückwärts verlaufender Streifen wird subtrahiert. Das ist die gesamte Buchführung. Behältst du hier stattdessen die Grenzen von x bei, integrierst du eᵘ von 0 bis π. Das ergibt 22,1407.

Lernpfad

Integrationstechniken

Quellen (2)

The rule in both forms: Theorem 5.7 (∫f[g(x)]g′(x) dx = ∫f(u) du = F(g(x)) + C) and Theorem 5.8 (∫ₐᵇ f(g(x))g′(x) dx = ∫ from g(a) to g(b) of f(u) du, “using substitution to evaluate a definite integral requires a change to the limits of integration”). Theorem 5.8 asks that g′ be continuous on [a, b] and f continuous over the range of u = g(x), and nothing about g being one-to-one: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.5, “Substitution”.
Why no substitution, and no other method, can integrate e^(−x²): Liouville's theorem, and its criterion that f(x)·e^(g(x)) has an elementary antiderivative exactly when R′ + g′R = f has a rational solution R (Theorem 4.4; Example 4.6 proves e^(−x²) has none). For x·e^(−x²), R = −½ works: B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, lecture notes, Stanford University (author's copy).

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.