Nicht-elementare Integrale

Einige Integrale haben überhaupt keine Formel, und Joseph Liouville hat das bewiesen. Wende seinen Test auf ein Polynom mal e^−x² an, sieh selbst, warum die Antwort an einer einzigen Zahl hängt, und übe dann an Integranden, bei denen die richtige Antwort lauten kann: Existiert nicht.

Für ein Polynom g	$\int g (x) e^{- x^{2}} d x = R (x) e^{- x^{2}} + C ⟺ \int_{- \infty}^{\infty} g (x) e^{- x^{2}} d x = 0$
Der Name für die fehlende Formel	$\int e^{- x^{2}} d x = \frac{π}{2} erf x + C$

Rechenbeispiel — Nicht-elementare Integrale

Gesamtfläche von g(x)·e⁻ˣ²	1,7725
Elementare Stammfunktion von g(x)·e⁻ˣ²	keine
Anteil mit einer Formel, Koeffizienten −3 bis 3	6,12%
Der Integrand der Übung, integriert nach Simpson	2,2405

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Nicht-elementare Integrale

Eine Funktion heißt elementar, wenn sie aus x und Konstanten durch endlich viele Additionen, Multiplikationen, Divisionen, Wurzeln von Polynomgleichungen, Exponentialfunktionen und Logarithmen gebildet werden kann; komplexe Werte sind erlaubt, was die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrungen einbezieht. Ein Integrand hat eine elementare Stammfunktion, wenn ein elementares F existiert, für das F′ = f gilt. Liouvilles Satz schränkt die Form ein, die ein solches F annehmen kann, und für f·e^g mit rationalen f und g, wobei g nicht konstant ist, wird er zu einem einzigen Test: Eine elementare Stammfunktion existiert genau dann, wenn R′ + g′R = f eine rationale Lösung R hat, und dann ist R·e^g eine davon.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

R: die rationale Funktion, nach der Liouvilles Test sucht; für g(x)e^−x² muss sie ein Polynom sein
K: g₀ + g₂/2 + 3g₄/4 + 15g₆/8 + …, das Vielfache von ∫e^−x² dx, das nach der partiellen Integration übrig bleibt: die durch √π geteilte Gesamtfläche

Woher die Formel kommt

Wie jede Lösung aussehen muss. Der Satz von Liouville engt die Suche auf eine einzige Gestalt ein: Wenn ∫g(x)e^−x² dx eine Formel hat, lautet sie R(x)e^−x² für ein Polynom R. Leite das ab und verlange, dass es gleich g ist.
$\int g (x) e^{- x^{2}} d x = R (x) e^{- x^{2}} \Rightarrow g = R^{'} - 2 x R$
Vergleiche die Koeffizienten. Für ein kubisches g ist R quadratisch. Die Terme mit x³ und x lassen sich immer abgleichen. Der x²-Term und das Absolutglied legen r₁ beide fest: einmal als −g₂/2 und einmal als g₀. Sie stimmen nur überein, wenn g₀ + g₂/2 = 0.
$R = r_{2} x^{2} + r_{1} x + r_{0} : R^{'} - 2 x R = - 2 r_{2} x^{3} - 2 r_{1} x^{2} + (2 r_{2} - 2 r_{0}) x + r_{1} \Rightarrow r_{1} = g_{0} = - \frac{g _{2}}{2}$

Versagt, wenn: Der Test auf dieser Seite deckt f·e^g mit rationalen f und g ab, und durch x = e^u auch die Integranden x^m/ln x. Quadratwurzeln von Polynomen erfordern ein anderes Argument: Conrads Beispiel 4.3 erklärt, warum ∫dx/√P(x) für ein P vom Grad 3 oder höher ohne mehrfache Nullstellen nicht elementar ist, und Hardy schreibt Liouville die klassischen elliptischen Integrale zu, darunter auch die Bogenlänge einer Ellipse.

Aufgaben vollständig gelöst

Der elementare Nachbar 2 Schritte
Bestimme ∫x e^−x² dx.
1. Das x ist das −½-Fache der Ableitung von −x², also substituiere:
  
  $u = - x^{2}, d u = - 2 x d x, x d x = - \frac{1}{2} d u$
2. Eine Exponentialfunktion:
  
  $\int x e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$
Antwort

−½e^−x² + C. Ein einziger Faktor x macht den gesamten Unterschied zu ∫e^−x² dx aus, für das es überhaupt keine geschlossene Formel gibt.

$\int x e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}} + C$
Vier Nachkommastellen aus einer Reihe 3 Schritte
Berechne ∫₀¹ e^−x² dx auf vier Nachkommastellen genau.
Lösung anzeigen
1. Hier hilft keine Stammfunktion weiter, doch e^−x² besitzt eine Potenzreihe, die du gliedweise integrieren kannst:
  
  $e^{- x^{2}} = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k} x ^{2 k}}{k !} \Rightarrow \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k}}{k ! ( 2 k + 1 )}$
2. Die Terme alternieren und werden immer kleiner; addiere sie, bis der nächste nicht mehr ins Gewicht fällt:
  
  $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{10} - \frac{1}{42} + \frac{1}{216} - \frac{1}{1320} + \frac{1}{9360} = 0.74684$
3. Bei einer alternierenden Reihe ist der Fehler kleiner als der erste weggelassene Term:
  
  $∣ R ∣ < \frac{1}{7 ! \cdot 15} = \frac{1}{75600} \approx 1.3 \times 1 0^{- 5}$
Antwort

0,7468. Brichst du einen Term früher bei 1/1320 ab, bleibt eine Fehlerschranke von 1/9360 ≈ 1,1×10⁻⁴ – das bürgt noch nicht für die vierte Nachkommastelle.

$\int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x \approx 0.7468$
Dasselbe Verfahren bei sin(x²) 2 Schritte
Berechne ∫₀¹ sin(x²) dx auf vier Nachkommastellen genau.
Lösung anzeigen
1. Auch sin(x²) besitzt keine elementare Stammfunktion. Seine Potenzreihe, gliedweise integriert:
  
  $sin x^{2} = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k} x ^{4 k + 2}}{( 2 k + 1 )!} \Rightarrow \int_{0}^{1} sin x^{2} d x = k \geq 0 \sum \frac{( - 1 ) ^{k}}{( 2 k + 1 )! ( 4 k + 3 )}$
2. Drei Terme genügen, und der vierte beschränkt den Fehler:
  
  $\frac{1}{3} - \frac{1}{42} + \frac{1}{1320} = 0.31028, ∣ R ∣ < \frac{1}{75600}$
Antwort

0,3103. Das ist ein Fresnel-Integral: Augustin Fresnel benötigte es 1818 für seine Theorie der Lichtbeugung.

$\int_{0}^{1} sin x^{2} d x \approx 0.3103$
Partiell integrieren bis zum Integral ohne geschlossene Form 3 Schritte
Bestimme ∫x² e^−x² dx und dessen Wert von 0 bis ∞, gegeben sei ∫₀^∞ e^−x² dx = √π/2.
Lösung anzeigen
1. Zerlege x² e^−x² in x · x e^−x²; für den zweiten Faktor kennst du die Stammfunktion aus der ersten Aufgabe:
  
  $u = x, d v = x e^{- x^{2}} d x, v = - \frac{1}{2} e^{- x^{2}}$
2. Nach einem Schritt partieller Integration bleibt ∫e^−x² dx übrig. Dafür gibt es keine geschlossene Form, also bleibt das Integral stehen:
  
  $\int x^{2} e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} x e^{- x^{2}} + \frac{1}{2} \int e^{- x^{2}} d x$
3. Auf [0, ∞) ist der Randterm an beiden Grenzen 0, und das verbleibende Integral ist bekannt:
  
  $\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x = [- \frac{1}{2} x e^{- x^{2}}]_{0}^{\infty} + \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{4}$
Antwort

−½x e^−x² + (√π/4) erf x + C sowie √π/4 ≈ 0,4431 auf [0, ∞). erf ist die Bezeichnung für das Integral ohne geschlossene Form, so skaliert, dass es gegen 1 strebt.

$\int x^{2} e^{- x^{2}} d x = - \frac{1}{2} x e^{- x^{2}} + \frac{π}{4} erf x + C, \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{- x^{2}} d x = \frac{π}{4} \approx 0.4431$
Zwei Teile ohne geschlossene Form, die zusammen eine ergeben 1 Schritte
Bestimme ∫e^x(1/x − 1/x²) dx für x > 0.
Lösung anzeigen
1. Weder ∫eˣ/x dx noch ∫eˣ/x² dx ist elementar. Leite aber einmal eˣ/x mit der Quotientenregel ab:
  
  $\frac{d}{d x} \frac{e ^{x}}{x} = \frac{e ^{x} x - e ^{x}}{x ^{2}} = e^{x} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}})$
Antwort

eˣ/x + C. Der Satz von Liouville bezieht sich auf den gesamten Integranden: Eine Summe kann eine geschlossene Form haben, selbst wenn keiner ihrer Summanden eine besitzt.

$\int e^{x} (\frac{1}{x} - \frac{1}{x ^{2}}) d x = \frac{e ^{x}}{x} + C$
Welches c macht (4x⁴ + c)e^(−x²) integrierbar? 4 Schritte
Für welches c hat (4x⁴ + c)e^−x² eine elementare Stammfunktion, und wie lautet sie? Die Felder der Seite enden bei x³. Klick auf Ausgeglichen für dieselbe Frage einen Grad tiefer.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Durch partielle Integration lässt jedes x^2m genau (2m − 1)!!/2^m mal ∫e^−x² dx übrig; für x⁴ ist dieses Gewicht 3/4. Addiere die Überbleibsel:
  
  $K = c + 4 \cdot \frac{3 \cdot 1}{2 ^{2}} = c + 3$
2. Für eine Formel muss das Überbleibsel verschwinden:
  
  $K = 0 \Rightarrow c = - 3$
3. Dann hat R den Grad 3. Gleicht man die Potenzen von R′ − 2xR = 4x⁴ − 3 von oben nach unten ab:
  
  $- 2 r_{3} = 4, - 2 r_{2} = 0, 3 r_{3} - 2 r_{1} = 0, 2 r_{2} - 2 r_{0} = 0 \Rightarrow R = - 2 x^{3} - 3 x; r_{1} = - 3 = g_{0}$
4. Prüfe durch Ableiten:
  
  $\frac{d}{d x} (- (2 x^{3} + 3 x) e^{- x^{2}}) = (- 6 x^{2} - 3 + 4 x^{4} + 6 x^{2}) e^{- x^{2}} = (4 x^{4} - 3) e^{- x^{2}}$
Antwort

c = −3, und ∫(4x⁴ − 3)e^−x² dx = −(2x³ + 3x)e^−x² + C. Jedes andere c lässt (c + 3)∫e^−x² dx übrig, wofür es keine Formel gibt, und die Gesamtfläche ist dann (c + 3)√π statt null.

$c = - 3 : \int (4 x^{4} - 3) e^{- x^{2}} d x = - (2 x^{3} + 3 x) e^{- x^{2}} + C$

„Keine Formel“ für e⁻ˣ² ist ein Satz 🖖

Klick auf Die Glockenkurve. Die Übung fragt nach ∫3e^−x² dx, und die richtige Antwort lautet Existiert nicht. Niemand wartet auf eine noch schlauere Substitution: Joseph Liouville hat in den 1830er Jahren bewiesen, dass keine noch so lange Kombination aus Potenzen, Wurzeln, Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrischen Funktionen e^−x² als Ableitung besitzt. Liouvilles Satz vorausgesetzt, passt der letzte Beweisschritt in einen einzigen Absatz, den man im Skript von Brian Conrad findet: Gäbe es eine elementare Stammfunktion, hätte sie die Form R(x)e^−x² mit einer rationalen Funktion R, also wäre R′ − 2xR = 1. Ein Polynom R macht den Grad der linken Seite zu hoch; eine Polstelle von R verleiht R′ eine Polstelle einer um eins höheren Ordnung, die sich durch nichts auf einer der beiden Seiten aufheben lässt. Und dennoch existiert die Stammfunktion. Die untere Tafel zeichnet sie anhand der Simpsonregel als eine glatte, ansteigende Kurve, und die Ergebnisse zeigen ∫₀¹ 3e^−x² dx = 2,2405. Was fehlt, ist eine Formel, keine Funktion, und Mathematiker haben einer skalierten Kopie davon einen Namen gegeben: der Fehlerfunktion erf(x) = (2/√π)∫₀ˣ e^−t² dt, womit die Stammfunktion der Übung (3√π/2)·erf(x) + C lautet. Klick auf 1/ln x: Derselbe Satz schließt, über x = e^u, eine Formel für den Integrallogarithmus ∫dx/ln x aus, und die Seite zeichnet dessen Stammfunktion trotzdem auf dieselbe Weise.

Mit einem Polynom multipliziert, hat e⁻ˣ² genau dann eine Formel, wenn seine Fläche über die gesamte Achse null ist 🖖

Liouvilles Test lässt sich durchrechnen und nicht nur zitieren. Tippe ein kubisches Polynom g in die Felder ein und gehe es Schritt für Schritt durch: Jede Formel für ∫g(x)e^−x² dx müsste die Form R(x)e^−x² mit einem Polynom R haben, also muss R′ − 2xR gleich g sein. Der Abgleich der Potenzen von oben nach unten findet entweder R oder endet in einem Widerspruch beim konstanten Term. Klick auf x²·e⁻ˣ². Die Schritte erzwingen R = −½x und verlangen dann, dass −½ gleich 0 sein soll, also gibt es keine Formel, und die Fläche über die gesamte reelle Achse beträgt √π/2 = 0,8862. Klick auf Ausgeglichen, (2x² − 1)e^−x²: Die Schritte liefern R = −x, das Integral ist also −xe^−x² + C, und die Fläche ist 0,0000. Diese beiden Tatsachen sind in Wahrheit eine einzige. Eine Formel R(x)e^−x² klingt an beiden Enden ab, also ist die Fläche dazwischen, F(∞) − F(−∞), gleich null; und die partielle Integration reduziert jedes x^2me^−x² auf eine Formel plus ein festes Vielfaches von ∫e^−x² dx, ein Vielfaches, das genau der durch √π geteilten Fläche entspricht. In Zahlen ausgedrückt: Eine Formel existiert genau dann, wenn g₀ + g₂/2 = 0 gilt, und die ungeraden Potenzen spielen dabei nie eine Rolle. Die grüne und rote Schraffierung macht es sichtbar: Sie müssen sich aufheben.

Zähle die Integranden einer Familie und diejenigen mit einer Formel verschwinden fast völlig 🖖

Liouvilles Satz bezieht sich auf den Integranden, den du gerade vor dir hast. Er sagt nicht, welcher Anteil der Integrale keine Formel hat, und kann das auch nicht, denn „die meisten“ erfordert eine Familie und eine Methode zum Zählen. Also zähle eine Familie durch. Nimm jedes kubische Polynom g mit ganzzahligen Koeffizienten von −3 bis 3, insgesamt 2.401 davon. Multipliziert mit e^−x² haben 147 eine elementare Stammfunktion, also 6,12 %, und es sind genau diejenigen mit g₂ = −2g₀: drei beleuchtete Zellen von den 49 im Gitter, bei denen g₁ und g₃ frei wählbar sind. Erweitert man die Koeffizienten auf −10 … 10, fällt der Anteil auf 2,49 %; bei −100 … 100 auf 0,25 %; jede Verzehnfachung der Spanne teilt ihn durch etwa zehn, wie die Tabelle zeigt. Eine Formel verlangt einen exakten Zufall unter den Koeffizienten, und dieser exakte Zufall ist eine Linie, die durch ein immer weiter wachsendes Quadrat gezogen wird. Die Übung präsentiert dir in etwa der Hälfte der Fälle eine Formel, aber nur, weil sie genau dafür konstruiert wurde; zöge man zufällig aus dieser Familie, hätte fast kein Integrand eine.

Lernpfad

Integrationstechniken

Quellen (2)

The criterion the page runs: “Choose f, g ∈ ℂ(X) with f ≠ 0 and g nonconstant. The function f(x)e^g(x) can be integrated in elementary terms if and only if there exists a rational function R ∈ ℂ(X) such that R′(X) + g′(X)R(X) = f(X)” (Theorem 4.4, p. 8), deduced from Liouville's theorem (Theorem 4.1) and proved in §5; applied to e^(−x²) in Example 4.6 and to eˣ/x, equivalently dt/log t, in Example 4.7 (pp. 9–10). Example 4.3 gives ∫dx/√P(x) for P of degree 3 or more without repeated roots: B. Conrad, “Impossibility theorems for elementary integration”, Clay Mathematics Institute Academy Colloquium lecture notes (2005), Theorems 4.1 and 4.4, Examples 4.3, 4.6 and 4.7.
Liouville's results and their dates: the theorem that an elementary ∫eˣy dx (y algebraic) must be eˣ times a rational expression in y, from his 1835 memoir in Crelle's Journal (vol. 13, pp. 93–118), with “the ‘logarithm-integral’ … is really a new transcendent” (ch. VI §4, pp. 58–59); the reduction of every ∫eˣR(x) dx to ∫eˣ/x dx (p. 58, the eˣ(1 − 1/x)³ and eˣ(1 − 2/x)² examples); a footnote crediting the general method with “the ‘error function’ integral ∫e^(−x²) dx is not an elementary function” (§5, p. 59); Liouville's proof for the standard elliptic integrals (ch. V §19, p. 47); and the bibliography of his memoirs, 1833–1840: G. H. Hardy, The Integration of Functions of a Single Variable, 2nd ed., Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics no. 2, Cambridge University Press (1916), Chapter V §19, Chapter VI §§4–5, and Appendix I.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.