Riemann-Summen-Explorer

Flächennäherung über Partitionen mit Methodenvergleich

Rechenbeispiel — Riemann-Summen-Explorer

Schätzwert	2.65625
Exaktes Integral	2.66667
Absoluter Fehler	0.0104167
Vorzeichenbehafteter Fehler	-0.0104167
Untersumme	2.1875
Obersumme	3.1875
Ober-Unter-Differenz	1
Partitionsbreite	0.25

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Warum die Pharmakologie mittendrin die Regeln wechselt 🖖

Die Wirkstoffexposition ist eine Riemann-Summe. Die Zulassungsbehörde interessiert sich für die Fläche unter der Konzentrations-Zeit-Kurve eines Patienten. Gemessen wird jedoch nur bei einem Dutzend Blutentnahmen; deshalb verwendet man zwischen aufeinanderfolgenden Messpunkten üblicherweise die Trapezregel. Damit übernimmt man genau den Fehler, den diese Seite zeigt. Eine Eliminationskurve ist konvex, ihre Sekante liegt oberhalb der Kurve, und die lineare Trapezregel schreibt dem Patienten eine höhere Exposition zu, als er tatsächlich hatte. Daher rechnet man in der Absorptionsphase linear und in der Eliminationsphase logarithmisch.

Flächen in messbare Formen zerlegen 🖖

Die exakte Fläche unter einer Kurve zu bestimmen ist schwierig. Rechteckflächen zu addieren ist einfach. Die Verfahren hier unterscheiden sich nur darin, wie sie die Höhe eines Streifens schätzen: am linken oder rechten Rand, in der Mitte oder mithilfe einer schrägen Oberkante beim Trapez. Keines ist exakt. Sie nähern sich dem Ergebnis jedoch unterschiedlich schnell: Verdoppelst du die Zahl der Streifen, halbiert sich der Fehler der Links- und Rechtssumme; bei Mittelpunkt- und Trapezregel sinkt er auf ein Viertel.

Die Simpsonregel ist eine versteckte Mischung 🖖

Die Mittelpunktregel ist meist genauer als die Trapezregel, wobei ihre Fehler in entgegengesetzte Richtungen weisen: Bei einer konkaven Kurve überschätzt die Mittelpunktregel die Fläche, die Trapezregel unterschätzt sie. Kombinierst du beide als (2M + T)/3, hebt sich der führende Fehlerterm auf. So entsteht die Simpsonregel, die berühmteste Integrationsformel: ein gewichtetes Mittel zweier Summen, die du bereits auf diesem Bildschirm siehst.

THEORIE DER RIEMANNSUMME — DIE DEFINITION HINTER DEM INTEGRAL

Wo tastest du innerhalb jedes Streifens ab?

Eine Riemannsumme zerlegt [a, b] in n Streifen und gibt jedem Streifen eine einzige Höhe, abgelesen an einem Stützpunkt darin. Welchen Punkt du wählst — linker Rand, rechter Rand oder Mitte — verändert das Ergebnis, solange n klein ist. Das Bemerkenswerte: Mit wachsendem n nähern sich alle Wahlen derselben Zahl, und genau dieser gemeinsame Grenzwert ist das bestimmte Integral.

Linker Randpunkt — Stützpunkt am Streifenanfang Σ f(x_i) Δx

Rechter Randpunkt — Stützpunkt am Streifenende Σ f(x_i+1) Δx

Mittelpunkt — Stützpunkt in der Streifenmitte Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Trapez — beide Randpunkte, gemittelt Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Linker Randpunkt — Stützpunkt am Streifenanfang

Stützpunkt: Höhe bei xᵢ abgelesen, am linken Rand von Streifen i. Der Wert bei b wird nie verwendet.

Summe: Σ f(x_i) Δx

Bei kleinem n: x² auf [0, 2] mit n = 4 ergibt 1,75 gegenüber der wahren Fläche 2,667 — deutlich zu wenig.

Diesen Fall öffnen: grobe Linkssumme

Linker Randpunkt — Stützpunkt am Streifenanfang. Jedes Rechteck nimmt seine Höhe am eigenen linken Rand, ein Keil der Kurve bleibt außen vor. Höhe bei xᵢ abgelesen, am linken Rand von Streifen i. Der Wert bei b wird nie verwendet. — Jedes Rechteck nimmt seine Höhe am eigenen linken Rand, ein Keil der Kurve bleibt außen vor.

Rechter Randpunkt — Stützpunkt am Streifenende

Stützpunkt: Höhe bei xᵢ₊₁ abgelesen, am rechten Rand von Streifen i. Der Wert bei a wird nie verwendet.

Summe: Σ f(x_i+1) Δx

Bei kleinem n: Gleiche Kurve, gleiches n: 3,75 gegenüber 2,667 — nun zu viel, etwa um das, was die linke Summe verlor.

Diesen Fall öffnen: Rechtssummen-Verzerrung

Rechter Randpunkt — Stützpunkt am Streifenende. Dieselben Streifen, am rechten Rand abgetastet — jetzt ragt jedes Rechteck über die Kurve. Höhe bei xᵢ₊₁ abgelesen, am rechten Rand von Streifen i. Der Wert bei a wird nie verwendet. — Dieselben Streifen, am rechten Rand abgetastet — jetzt ragt jedes Rechteck über die Kurve.

Mittelpunkt — Stützpunkt in der Streifenmitte

Stützpunkt: Höhe in der Streifenmitte abgelesen, kein Rand wird bevorzugt.

Summe: Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Bei kleinem n: Gleiche Kurve, gleiches n: 2,625 gegenüber 2,667 — um eine Größenordnung näher als links und rechts.

Diesen Fall öffnen: n verfeinern

Mittelpunkt — Stützpunkt in der Streifenmitte. Die Abtastung in der Mitte lässt die beiden Fehler jedes Streifens einander aufheben. Höhe in der Streifenmitte abgelesen, kein Rand wird bevorzugt. — Die Abtastung in der Mitte lässt die beiden Fehler jedes Streifens einander aufheben.

Trapez — beide Randpunkte, gemittelt

Stützpunkt: Beide Streifenränder werden genutzt, die Oberkante verläuft schräg dazwischen.

Summe: Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Bei kleinem n: Gleiche Kurve, gleiches n: 2,75 gegenüber 2,667 — besser als beide Randsummen, aber hinter dem Mittelpunkt.

Diesen Fall öffnen: glatte Trapezsumme

Trapez — beide Randpunkte, gemittelt. Eine schräge Oberkante zwischen beiden Rändern — der Mittelwert aus linkem und rechtem Rechteck. Beide Streifenränder werden genutzt, die Oberkante verläuft schräg dazwischen. — Eine schräge Oberkante zwischen beiden Rändern — der Mittelwert aus linkem und rechtem Rechteck.

Aufgabe vollständig gelöst

Schätzung von ∫₀² x² d x mit acht Mittelpunkt-Rechtecken 5 Schritte
Schätzen Sie ∫₀² x² dx mit acht Mittelpunktsrechtecken ab. Gehen Sie dann über eine bloße Schätzung hinaus: Kombinieren Sie zwei falsche Antworten, um das exakte Ergebnis zu erhalten.
1. Acht Streifen über eine Breite von 2 ergeben Δx = 0,25, und die Mittelpunktsregel wählt die Höhe jedes Rechtecks in der Mitte seines Streifens — 0,125, 0,375 und so weiter. Die Abtastung in der Mitte ist keine ästhetische Präferenz; Schritt 4 zeigt den Nutzen dieses Vorgehens.
  
  $Δ x = \frac{2 - 0}{8} = 0.25, x_{i}^{*} = 0.125, 0.375, \dots, 1.875$
2. Summieren Sie die acht quadrierten Mittelpunkte und multiplizieren Sie mit der gemeinsamen Breite. Bis hierhin ist nichts näherungsweise, abgesehen von der Entscheidung, überhaupt Rechtecke zu verwenden.
  
  $M_{8} = 0.25 i = 1 \sum 8 (x_{i}^{*})^{2} = 0.25 \times 10.625 = 2.65625$
3. Das exakte Integral beträgt 8/3, sodass die Schätzung um 0,0104167 zu niedrig liegt. Zu niedrig, und zwar um einen Betrag, den man erklären sollte, anstatt ihn achselzuckend hinzunehmen.
  
  $I = \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3} = 2.66667 ⟹ M_{8} - I = - 0.0104167$
4. Der Fehler der Mittelpunktsregel beträgt −(b − a)h²f″(ξ)/24. Für x² ist die zweite Ableitung überall 2, sodass es keine Rolle spielt, wo ξ liegt, und die Formel hört auf, eine Schranke zu sein, sondern wird zu einer Gleichheit. Sie liefert −1/96, was dem vorzeichenbehafteten Fehler des Werkzeugs bis zur letzten angezeigten Stelle entspricht.
  
  $E_{M} = - \frac{( b - a ) h ^{2}}{24} f^{''} (ξ) = - \frac{2 ( 0.25 ) ^{2} ( 2 )}{24} = - \frac{1}{96} = - 0.0104167$
5. Die Trapezregel weicht in die andere Richtung und um genau das Doppelte ab: Ein Mittelpunktsrechteck schneidet ebenso viel ab, wie es hinzufügt, während eine Trapezsehne vollständig oberhalb einer konvexen Kurve liegt. Wichtet man sie im Verhältnis zwei zu eins, heben sich die Fehler auf.
  
  $T_{8} = 2.6875, T_{8} - I = + 0.0208333 = - 2 (M_{8} - I) ⟹ \frac{2 M _{8} + T _{8}}{3} = 2.66667$
Antwort

Die Mittelpunktsregel liefert 2,65625 gegenüber dem exakten Wert 2,66667, eingerahmt von der Unter- und Obersumme, die das Werkzeug mit 2,1875 und 3,1875 angibt. Behalten Sie jedoch die letzte Zeile im Sinn: (2M + T)/3 = 8/3, exakt, aus acht Streifen und ohne zusätzliche Auswertungen. Diese Kombination hat einen Namen — es ist die Simpson-Regel, und genau hier hat sie ihren Ursprung. Sie ist keine klügere Art, Rechtecke zu zeichnen; sie beruht auf der Beobachtung, dass zwei einfache Methoden in einem festen Verhältnis versagen, sodass sich ihre Fehler konstruktionsbedingt aufheben lassen. Wechselt man die Funktion zu x³, gibt das Werkzeug einen Mittelwert von 3,96875 und einen Trapezwert von 4,0625 aus — kombiniert man beide, erhält man exakt 4, da Simpson für jede kubische Funktion exakt ist. Wechselt man zu x⁴, liegt das Verfahren schließlich daneben, und zwar um 6 Teile auf 100 000.

$M_{8} = 2.65625, E = - \frac{1}{96} \frac{2 M + T}{3} = \frac{8}{3} exactly$

Lernpfad

Warum aus der Nähe alles gerade aussieht

Führt zu Taylorreihen

Quellen (4)

The definition itself, in the paper it first appeared in: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe." Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13, 87–132, 1867 — the section that asks what an integral is to mean for a function with infinitely many discontinuities, and answers with the sum this tool draws.
Upper and lower sums, and the criterion for the two to meet: G. Darboux, "Mémoire sur les fonctions discontinues." Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure 4, 57–112, 1875.
How the definition was arrived at, and what it could not handle: D. M. Bressoud, A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration. Cambridge University Press, 2008.
Why medicine runs the trapezoid one way going up and another coming down: K. C. Yeh and K. C. Kwan, "A comparison of numerical integrating algorithms by trapezoidal, Lagrange, and spline approximation." Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 6(1), 79-98, 1978.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

grobe Linkssumme - Vier linke Rechtecke unter x² ergeben 1,75 statt des exakten Werts 2,666667. Die Kombination (2M + T)/3 für dieselben vier Streifen ist exakt.
n verfeinern - Bei vierzig Mittelpunktstreifen bleibt ein Fehler von 0,000417, bei acht sind es 0,010417. Fünfmal so viele Streifen liefern die fünfundzwanzigfache Genauigkeit.
glatte Trapezsumme - sin(x) verschwindet an beiden Enden von [0, π]. Deshalb liefern Links-, Rechts- und Trapezsumme übereinstimmend 1,983524. Nur die Mittelpunktregel weicht mit 2,008248 davon ab.
Krümmungsverzerrung - Für e^x auf [0, 1] ergibt die Trapezregel 1,720519 und die Mittelpunktregel 1,717164; exakt sind es 1,718282. Der Fehler der Mittelpunktregel ist nur halb so groß und hat das entgegengesetzte Vorzeichen.
umgekehrtes Intervall - Das Integral von sin von π zurück bis 0 ergibt -2,005723. Vertauschst du die Grenzen, ändert sich nur das Vorzeichen, denn nun ist jede Streifenbreite negativ.
Rechtssummen-Verzerrung - Sechs rechte Rechtecke überschätzen den Wert mit 3,370370, während sechs linke 2,037037 ergeben. Bei einer steigenden Funktion liegt das Ergebnis stets dazwischen.