Riemann-Summen-Explorer

Riemann-Summen sind der Weg, wie kontinuierliche Biologie berechenbar wird. In der Pharmakologie schätzt die Fläche unter der Kurve (AUC) die gesamte Wirkstoffexposition aus einzelnen Blutproben. In der Ökologie liefert die Integration von Wachstumsratenkurven die geschätzte Gesamtbiomasse oder Sauerstoffproduktion über die Zeit. Dieselbe Mathematik, unterschiedliche Systeme: Zeit in Abschnitte teilen, lokale Beiträge summieren, Partitionen verfeinern, um den Fehler zu verringern.

Die exakte Fläche unter einer Kurve zu bestimmen ist schwierig, doch Rechtecke zu addieren ist einfach. Jede Methode schätzt die Höhe eines Streifens anders: linke oder rechte Kante, die Mitte oder eine schräge Oberkante (Trapez). Die Erkenntnis: keine ist exakt, aber je mehr Streifen du nutzt, desto näher rückt jede Methode an das wahre Integral. Beobachte, wie der Fehler bei feinerer Zerlegung schrumpft.

Eine Überraschung: Die Mittelpunktsregel schlägt meist die Trapezregel, und ihre Fehler zeigen in entgegengesetzte Richtungen — der Mittelpunkt überschätzt bei konkav nach unten gekrümmter Kurve, das Trapez unterschätzt. Mischt man sie als (2M + T)/3, hebt sich der führende Fehlerterm auf und man erhält die Simpsonregel. Die berühmteste Integrationsformel ist also nur ein gewichtetes Mittel zweier Summen, die schon auf diesem Bildschirm stehen.