Riemann-Summen-Explorer

Zerlege [a, b] in n Streifen. Wähle für jeden Streifen eine Höhe am Graphen und addiere die Streifenflächen. Mit wachsendem n nähern sich diese Summen demselben Wert, ganz gleich, wo du die Höhen abliest: dem bestimmten Integral.

Das Integral als Grenzwert von Summen	$\int_{a}^{b} f (x) d x Δ x = n \to \infty lim i = 1 \sum n f (x_{i}^{*}) Δ x = \frac{b - a}{n}$
Wo die Summen ihre Höhen ablesen	$L_{n} : x_{i - 1}, R_{n} : x_{i}, M_{n} : \frac{x _{i - 1} + x _{i}}{2} T_{n} = \frac{1}{2} (L_{n} + R_{n}), x_{i} = a + i Δ x$
Welche Summe zu viel oder zu wenig ergibt	$f^{'} \geq 0 : L_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq R_{n} f^{''} \geq 0 : M_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq T_{n}$

Rechenbeispiel — Riemann-Summen-Explorer

Streifenbreite	0,25
Stützstellen	0,125, 0,375, …, 1,875
Mittelpunktsumme	2,65625
Integral	2,666667
Summe minus Integral	−0,010417

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Riemann-Summen-Explorer

Für eine Riemannsumme von f auf [a, b] zerlegst du das Intervall in n Streifen, wählst in jedem eine Höhe f(x_i*) und addierst die Streifenflächen f(x_i*)Δx. Das bestimmte Integral ist der Wert, dem sich diese Summen für n → ∞ nähern.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

Δx: die Breite jedes Streifens, (b − a)/n
xᵢ*: die Stützstelle im Streifen i, an der seine Höhe abgelesen wird

Woher die Formel kommt

Zerlege das Intervall. Du erhältst n gleich breite Streifen mit Δx = (b − a)/n und den Rändern x₀ = a, x₁, …, x_n = b.
$Δ x = \frac{b - a}{n} x_{i} = a + i Δ x, i = 0, 1, \dots, n$
Wähle für jeden Streifen eine Höhe. Lies f an einer beliebigen Stützstelle x_i* im Streifen i ab. Hier kannst du den linken Rand, den rechten Rand oder die Mitte wählen. Die Streifenfläche beträgt f(x_i*)Δx; die Riemannsumme addiert alle n Streifenflächen. Die Trapezregel verwendet beide Ränder und ergibt den Mittelwert aus Links- und Rechtssumme.
$S_{n} = i = 1 \sum n f (x_{i}^{*}) Δ x, T_{n} = \frac{1}{2} (L_{n} + R_{n})$
Unterhalb der Achse zählt die Fläche negativ. Wo f < 0 gilt, ist der Beitrag f(x_i*)Δx negativ. Die Summe erfasst also die Fläche oberhalb der Achse abzüglich der Fläche unterhalb. Die orange eingezeichneten Streifen werden abgezogen.
$\int_{- 1}^{2} x d x = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}$
Lass n wachsen. Für x² auf [0, 1] lautet die Rechtssumme (n + 1)(2n + 1)/(6n²). Sie nähert sich 1/3. Ist f stetig, führen alle möglichen Wahlen der Stützstellen zum selben Grenzwert. Dieser Wert ist das Integral.
$R_{n} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n \frac{i ^{2}}{n ^{2}} = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6 n ^{2}} n \to \infty \frac{1}{3}$
Erkenne, in welche Richtung der Fehler geht. Wenn f auf [a, b] wächst, ist die Linkssumme zu klein und die Rechtssumme zu groß. Ist f konvex, ist die Mittelpunktsumme zu klein und die Trapezsumme zu groß. Bei einer fallenden beziehungsweise konkaven Funktion kehren sich die jeweiligen Verhältnisse um.
$f^{'} \geq 0 : L_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq R_{n} f^{''} \geq 0 : M_{n} \leq \int_{a}^{b} f d x \leq T_{n}$

Warum die Pharmakologie mittendrin die Regeln wechselt 🖖

Die Wirkstoffexposition ist eine Riemann-Summe. Die Zulassungsbehörde interessiert sich für die Fläche unter der Konzentrations-Zeit-Kurve eines Patienten. Gemessen wird jedoch nur bei einem Dutzend Blutentnahmen; deshalb verwendet man zwischen aufeinanderfolgenden Messpunkten üblicherweise die Trapezregel. Damit übernimmt man genau den Fehler, den diese Seite zeigt. Eine Eliminationskurve ist konvex, ihre Sekante liegt oberhalb der Kurve, und die lineare Trapezregel schreibt dem Patienten eine höhere Exposition zu, als er tatsächlich hatte. Daher rechnet man in der Absorptionsphase linear und in der Eliminationsphase logarithmisch.

Die Funktion, für die Riemannsummen keinen Wert festlegen 🖖

Bei den Funktionen auf dieser Seite nähern sich die Summen immer demselben Wert, ganz gleich, welche Stützstellen du wählst. Dass das für stetige Funktionen gilt, ist ein mathematischer Satz. Ohne Stetigkeit kann es anders aussehen. Dirichlet beschrieb 1829 eine Funktion, die an jeder rationalen Stelle x den Wert 1 und an jeder irrationalen Stelle den Wert 0 annimmt. Jeder noch so schmale Streifen enthält Stellen beider Arten. Wählst du in jedem Streifen eine rationale Stützstelle, ergibt die Summe auf [0, 1] den Wert 1. Bei ausschließlich irrationalen Stützstellen ergibt sie 0, für jedes n. Die Summen haben keinen gemeinsamen Grenzwert; die Funktion ist nicht riemannintegrierbar. Das Lebesgue-Integral von 1902 fasst die Stellen nach den Werten zusammen, die f dort annimmt, statt nach ihrer Lage auf der Achse. Für diese Funktion liefert es den Integralwert 0.

THEORIE DER RIEMANNSUMME — DIE DEFINITION HINTER DEM INTEGRAL

Wo tastest du innerhalb jedes Streifens ab?

Eine Riemannsumme zerlegt [a, b] in n Streifen und gibt jedem Streifen eine einzige Höhe, abgelesen an einem Stützpunkt darin. Welchen Punkt du wählst — linker Rand, rechter Rand oder Mitte — verändert das Ergebnis, solange n klein ist. Das Bemerkenswerte: Mit wachsendem n nähern sich alle Wahlen derselben Zahl, und genau dieser gemeinsame Grenzwert ist das bestimmte Integral.

Linker Randpunkt — Stützpunkt am Streifenanfang Σ f(x_i) Δx

Rechter Randpunkt — Stützpunkt am Streifenende Σ f(x_i+1) Δx

Mittelpunkt — Stützpunkt in der Streifenmitte Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Trapez — beide Randpunkte, gemittelt Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Linker Randpunkt — Stützpunkt am Streifenanfang

Stützpunkt: Höhe bei xᵢ abgelesen, am linken Rand von Streifen i. Der Wert bei b wird nie verwendet.

Summe: Σ f(x_i) Δx

Bei kleinem n: x² auf [0, 2] mit n = 4 ergibt 1,75 gegenüber der wahren Fläche 2,667 — deutlich zu wenig.

Diesen Fall öffnen: Vier Streifen, links

Linker Randpunkt — Stützpunkt am Streifenanfang. Jedes Rechteck nimmt seine Höhe am eigenen linken Rand, ein Keil der Kurve bleibt außen vor. Höhe bei xᵢ abgelesen, am linken Rand von Streifen i. Der Wert bei b wird nie verwendet. — Jedes Rechteck nimmt seine Höhe am eigenen linken Rand, ein Keil der Kurve bleibt außen vor.

Rechter Randpunkt — Stützpunkt am Streifenende

Stützpunkt: Höhe bei xᵢ₊₁ abgelesen, am rechten Rand von Streifen i. Der Wert bei a wird nie verwendet.

Summe: Σ f(x_i+1) Δx

Bei kleinem n: Gleiche Kurve, gleiches n: 3,75 gegenüber 2,667 — nun zu viel, etwa um das, was die linke Summe verlor.

Diesen Fall öffnen: Sechs Streifen, rechts

Rechter Randpunkt — Stützpunkt am Streifenende. Dieselben Streifen, am rechten Rand abgetastet — jetzt ragt jedes Rechteck über die Kurve. Höhe bei xᵢ₊₁ abgelesen, am rechten Rand von Streifen i. Der Wert bei a wird nie verwendet. — Dieselben Streifen, am rechten Rand abgetastet — jetzt ragt jedes Rechteck über die Kurve.

Mittelpunkt — Stützpunkt in der Streifenmitte

Stützpunkt: Höhe in der Streifenmitte abgelesen, kein Rand wird bevorzugt.

Summe: Σ f(x_i + Δx/2) Δx

Bei kleinem n: Gleiche Kurve, gleiches n: 2,625 gegenüber 2,667 — um eine Größenordnung näher als links und rechts.

Diesen Fall öffnen: Vierzig, Mittelpunkt

Mittelpunkt — Stützpunkt in der Streifenmitte. Die Abtastung in der Mitte lässt die beiden Fehler jedes Streifens einander aufheben. Höhe in der Streifenmitte abgelesen, kein Rand wird bevorzugt. — Die Abtastung in der Mitte lässt die beiden Fehler jedes Streifens einander aufheben.

Trapez — beide Randpunkte, gemittelt

Stützpunkt: Beide Streifenränder werden genutzt, die Oberkante verläuft schräg dazwischen.

Summe: Σ ½[f(x_i) + f(x_i+1)] Δx

Bei kleinem n: Gleiche Kurve, gleiches n: 2,75 gegenüber 2,667 — besser als beide Randsummen, aber hinter dem Mittelpunkt.

Diesen Fall öffnen: sin x, Trapeze

Trapez — beide Randpunkte, gemittelt. Eine schräge Oberkante zwischen beiden Rändern — der Mittelwert aus linkem und rechtem Rechteck. Beide Streifenränder werden genutzt, die Oberkante verläuft schräg dazwischen. — Eine schräge Oberkante zwischen beiden Rändern — der Mittelwert aus linkem und rechtem Rechteck.

Aufgaben vollständig gelöst

∫₀² x² d x mit acht Rechtecken nach der Mittelpunktregel annähern 5 Schritte
Nähere ∫₀² x² dx mit acht Rechtecken nach der Mittelpunktregel an. Verbinde anschließend zwei falsche Ergebnisse so, dass du den exakten Wert erhältst.
1. Acht Streifen auf einer Breite von 2 ergeben Δx = 0,25. Bei der Mittelpunktregel liest du die Rechteckhöhen jeweils in der Streifenmitte ab, also bei 0,125, 0,375 und so weiter. Diese Wahl hat einen rechnerischen Vorteil, den du in Schritt 4 nutzen wirst.
  
  $Δ x = \frac{2 - 0}{8} = 0.25, x_{i}^{*} = 0.125, 0.375, \dots, 1.875$
2. Addiere die Quadrate der acht Mittelpunkte und multipliziere die Summe mit der gemeinsamen Streifenbreite. Bis hierhin rechnest du exakt; die Näherung entsteht allein dadurch, dass du die Fläche durch Rechtecke ersetzt.
  
  $M_{8} = 0.25 i = 1 \sum 8 (x_{i}^{*})^{2} = 0.25 \times 10.625 = 2.65625$
3. Das exakte Integral ist 8/3. Die Näherung liegt um 0,0104167 darunter. Woher gerade dieser Fehler kommt, lässt sich erklären.
  
  $I = \int_{0}^{2} x^{2} d x = \frac{8}{3} = 2.66667 ⟹ M_{8} - I = - 0.0104167$
4. Der Fehler der Mittelpunktregel beträgt −(b − a)h²f″(ξ)/24. Bei x² ist die zweite Ableitung überall 2. Wo ξ liegt, spielt deshalb keine Rolle, und aus der Fehlerabschätzung wird eine exakte Gleichung. Sie liefert −1/96, also genau den vorzeichenbehafteten Fehler, den das Werkzeug bis zur letzten angezeigten Stelle ausgibt.
  
  $E_{M} = - \frac{( b - a ) h ^{2}}{24} f^{''} (ξ) = - \frac{2 ( 0.25 ) ^{2} ( 2 )}{24} = - \frac{1}{96} = - 0.0104167$
5. Die Trapezregel weicht in die andere Richtung ab, und zwar um genau das Doppelte: Beim Mittelpunktrechteck gleichen sich weggelassene und hinzugefügte Flächen teilweise aus, während die Trapezsehne durchgehend oberhalb eines konvexen Graphen liegt. Gewichtest du die Mittelpunktregel gegenüber der Trapezregel im Verhältnis zwei zu eins, heben sich die Fehler auf.
  
  $T_{8} = 2.6875, T_{8} - I = + 0.0208333 = - 2 (M_{8} - I) ⟹ \frac{2 M _{8} + T _{8}}{3} = 2.66667$
Antwort

Die Mittelpunktregel ergibt 2,65625, der exakte Wert ist 2,666667. Weil x² auf [0, 2] wächst, schließen die Linkssumme 2,1875 und die Rechtssumme 3,1875 das Integral ein. Entscheidend ist die letzte Zeile: (2M + T)/3 = 8/3 exakt, mit acht Streifen und ohne zusätzliche Funktionsauswertungen. Dieser gewichtete Mittelwert ist die Simpsonregel. Thomas Simpson veröffentlichte sie 1743; schon 1615 verwendete Kepler sie für einen einzelnen Streifen, um das Volumen von Weinfässern zu bestimmen. Die Fehler der beiden einfachen Regeln stehen in einem festen Verhältnis und lassen sich deshalb gezielt aufheben. Wechsle zu x³: Mittelpunkt- und Trapezsumme ergeben 3,96875 und 4,0625, zusammen gewichtet genau 4. Die Simpsonregel ist für jedes Polynom dritten Grades exakt. Erst bei x⁴ tritt ein Fehler auf: 0,000065 gegenüber dem exakten Wert 6,4.

$M_{8} = 2.65625, E = - \frac{1}{96} \frac{2 M + T}{3} = \frac{8}{3} exactly$
Links- und Rechtssummen bei einem fallenden Graphen 4 Schritte
Nähere ∫₁² (1/x) dx mit vier Streifen an, einmal mit der Linkssumme und einmal mit der Rechtssumme. Welche ist zu groß? Woran erkennst du das, ohne das Integral zu kennen?

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Vier Streifen auf [1, 2] haben jeweils die Breite 0,25. Für die Linkssumme liest du die Höhen bei 1, 1,25, 1,5 und 1,75 ab, für die Rechtssumme bei 1,25, 1,5, 1,75 und 2.
  
  $Δ x = \frac{2 - 1}{4} = 0.25$
2. Addiere die Höhen am linken Rand und multipliziere mit der Streifenbreite:
  
  $L_{4} = 0.25 (1 + \frac{4}{5} + \frac{2}{3} + \frac{4}{7}) = 0.25 \times \frac{319}{105} = 0.759524$
3. Bei der Rechtssumme fällt f(1) = 1 weg und f(2) = 0,5 kommt hinzu. Sie ist deshalb um 0,25 × 0,5 kleiner:
  
  $R_{4} = L_{4} - 0.25 (f (1) - f (2)) = 0.759524 - 0.125 = 0.634524$
4. 1/x fällt auf dem gesamten Intervall. In jedem Streifen liegt der höchste Funktionswert am linken Rand, der niedrigste am rechten. Die Linkssumme ist daher zu groß, die Rechtssumme zu klein:
  
  $R_{4} = 0.634524 < \int_{1}^{2} \frac{d x}{x} = ln 2 = 0.693147 < 0.759524 = L_{4}$
Antwort

L₄ = 0,759524 ist zu groß und R₄ = 0,634524 zu klein; das Integral ln 2 = 0,693147 liegt dazwischen. Wenn eine Funktion auf dem gesamten Intervall monoton fällt oder monoton wächst, schließen Links- und Rechtssumme das Integral immer ein. Ihr Abstand beträgt Δx·|f(b) − f(a)|, hier also 0,125.
Die Trapezregel: zu viel oder zu wenig? 4 Schritte
Nähere ∫₀⁴ √x dx mit der Trapezregel und vier Streifen an. Ist die Näherung zu groß oder zu klein?

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1. Δx = 1. Die Trapezregel verwendet die Höhen an allen fünf Streifenrändern; die drei inneren gehen doppelt ein:
  
  $T_{4} = \frac{Δ x}{2} [f (0) + 2 f (1) + 2 f (2) + 2 f (3) + f (4)]$
2. Setze die Werte ein:
  
  $= \frac{1}{2} [0 + 2 + 22 + 23 + 2] = 2 + 2 + 3 = 5.146264$
3. Dasselbe Ergebnis erhältst du als Mittelwert aus Links- und Rechtssumme:
  
  $T_{4} = \frac{1}{2} (L_{4} + R_{4}) = \frac{1}{2} (4.146264 + 6.146264) = 5.146264$
4. √x ist konkav, denn f″(x) = −¼x^−3/2 < 0. Jede Sehne liegt unterhalb des Graphen, sodass bei jedem Trapez ein schmales Flächenstück fehlt:
  
  $\int_{0}^{4} x d x = [\frac{2}{3} x^{3/2}]_{0}^{4} = \frac{16}{3} = 5.333333 > T_{4}$
Antwort

T₄ = 5,146264 ist um 0,187069 zu klein, weil √x konkav ist. Bei einem konvexen Graphen liegen die Sehnen oberhalb, und die Trapezregel liefert einen zu großen Wert. Die Mittelpunktregel weicht jeweils in die andere Richtung ab. Die beiden Summen schließen das Integral daher ein.
Ein Integral als Grenzwert von Rechtssummen 4 Schritte
Stelle die Rechtssumme für ∫₀³ x² dx mit n Streifen auf und bestimme das Integral als ihren Grenzwert.

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1. Δx = 3/n, und die rechten Streifenränder liegen bei x_i = 3i/n. Der Streifen i trägt also (3i/n)²·(3/n) bei:
  
  $R_{n} = i = 1 \sum n (\frac{3 i}{n})^{2} \frac{3}{n} = \frac{27}{n ^{3}} i = 1 \sum n i^{2}$
2. Die Summe der ersten n Quadratzahlen ist n(n + 1)(2n + 1)/6:
  
  $R_{n} = \frac{27}{n ^{3}} \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} = \frac{9 ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{2 n ^{2}}$
3. Prüfe die Formel an einem Beispiel. Für n = 6 liefert sie 11,375, genau wie die Rechtssumme mit sechs Streifen:
  
  $R_{6} = \frac{9 \cdot 7 \cdot 13}{2 \cdot 36} = \frac{819}{72} = 11.375$
4. Lass nun n wachsen. Teile dazu Zähler und Nenner durch n²:
  
  $R_{n} = \frac{9}{2} (1 + \frac{1}{n}) (2 + \frac{1}{n}) n \to \infty \frac{9}{2} \cdot 2 = 9$
Antwort

∫₀³ x² dx = 9. Mit sechs Streifen liegt die Rechtssumme um 2,375 darüber. Allgemein beträgt der Fehler laut Formel 27/(2n) + 9/(2n²). Er nimmt also wie 1/n ab, mit der für Randpunktsummen typischen Geschwindigkeit.
Einen Summengrenzwert als Integral erkennen 3 Schritte
Bestimme den Grenzwert von Σ (2/n)·√(1 + 2i/n) für n → ∞, wobei von i = 1 bis n summiert wird.

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1. Vergleiche mit dem Muster Σ f(x_i)Δx. Der Faktor 2/n entspricht Δx, also gilt b − a = 2. Die Stützstellen x_i = 1 + 2i/n beginnen für i = 0 bei a = 1 und erreichen für i = n den Wert b = 3:
  
  $Δ x = \frac{2}{n}, x_{i} = 1 + i Δ x, f (x) = x$
2. Die Summe ist damit die Rechtssumme von √x auf [1, 3]. Ihr Grenzwert ist das Integral:
  
  $n \to \infty lim i = 1 \sum n \frac{2}{n} 1 + \frac{2 i}{n} = \int_{1}^{3} x d x$
3. Integriere:
  
  $[\frac{2}{3} x^{3/2}]_{1}^{3} = \frac{2}{3} (33 - 1) = 2.797435$
Antwort

Der Grenzwert ist ⅔(3√3 − 1) = 2,797435. Du kannst dieselbe Summe auch mit x_i = 2i/n lesen. Dann gehört sie zu √(1 + x) auf [0, 2]. Auch dieses Integral ergibt 2,797435, eine schnelle Kontrolle deiner Zuordnung.
Flächen unterhalb der Achse zählen negativ 3 Schritte
Bestimme ∫₋₁² x dx und vergleiche das Ergebnis mit dem Flächeninhalt zwischen der Geraden y = x und der x-Achse. Berechne zur Kontrolle die Linkssumme mit sechs Streifen.

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1. Auf [−1, 0] verläuft die Gerade unterhalb der Achse, auf [0, 2] oberhalb. Die beiden Dreiecke haben die Flächeninhalte ½ und 2:
  
  $\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$
2. Im Integral geht das Dreieck unterhalb der Achse negativ ein, beim Flächeninhalt positiv:
  
  $\int_{- 1}^{2} x d x = - \frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2}, A = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$
3. Für sechs Streifen der Breite 0,5 liest du am linken Rand die Höhen −1, −0,5, 0, 0,5, 1 und 1,5 ab. Die ersten beiden sind negativ und werden abgezogen:
  
  $L_{6} = 0.5 (- 1 - 0.5 + 0 + 0.5 + 1 + 1.5) = 0.5 \times 1.5 = 0.75$
Antwort

∫₋₁² x dx = 3/2, während der Flächeninhalt zwischen Gerade und Achse 5/2 beträgt. Eine Riemannsumme addiert die Beiträge f(x_i*)Δx mit ihrem Vorzeichen und nähert sich deshalb dem ersten Wert. Für den Flächeninhalt integrierst du |x|. Die Linkssumme 0,75 ist zu klein, weil die Gerade steigt. Die Mittelpunktsumme ergibt dagegen für jedes n exakt 1,5: Unter einer Geraden hat ein Mittelpunktrechteck denselben Flächeninhalt wie das zugehörige Trapez.
Eine Summe aus Messwerten 3 Schritte
Die Geschwindigkeit eines Autos wird zu den Zeitpunkten t = 0, 2, 5, 7 und 10 s gemessen. Sie beträgt 0, 8, 14, 17 und 20 m/s. Schätze den in diesen 10 Sekunden zurückgelegten Weg mit der Linkssumme, der Rechtssumme und der Trapezregel.
Lösung anzeigen
1. Die Streifen sind unterschiedlich breit: 2, 3, 2 und 3 s. Jede Streifenfläche ergibt sich aus der jeweiligen Breite mal einer Höhe. Du kannst also kein gemeinsames Δx ausklammern. Für die Linkssumme nimmst du die Geschwindigkeit zu Beginn jedes Teilintervalls:
  
  $L = 2 (0) + 3 (8) + 2 (14) + 3 (17) = 0 + 24 + 28 + 51 = 103 m$
2. Für die Rechtssumme nimmst du die Geschwindigkeit am Ende jedes Teilintervalls:
  
  $R = 2 (8) + 3 (14) + 2 (17) + 3 (20) = 16 + 42 + 34 + 60 = 152 m$
3. Die Trapezregel mittelt die Höhen an den beiden Rändern jedes Streifens. Auch bei ungleichen Streifenbreiten ergibt das den Mittelwert aus Links- und Rechtssumme:
  
  $T = \frac{1}{2} (L + R) = \frac{1}{2} (103 + 152) = 127.5 m$
Antwort

L = 103 m, R = 152 m, T = 127,5 m. In der Tabelle nimmt die Geschwindigkeit nie ab. Falls sie auch zwischen den Messungen monoton zunimmt, liegt der zurückgelegte Weg zwischen 103 m und 152 m. Das lässt sich aus der Tabelle allein aber nicht schließen: Das Auto kann zwischen zwei Messungen bremsen, ohne dass eine Summe aus diesen fünf Werten es erfasst.

Lernpfad

Warum aus der Nähe alles gerade aussieht

Quellen (4)

The definition itself, in the paper it first appeared in: B. Riemann, "Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe." Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen 13, 87–132, 1867 — the section that asks what an integral is to mean for a function with infinitely many discontinuities, and answers with the sum this tool draws.
Upper and lower sums, and the criterion for the two to meet: G. Darboux, "Mémoire sur les fonctions discontinues." Annales scientifiques de l’École Normale Supérieure 4, 57–112, 1875.
How the definition was arrived at, and what it could not handle: D. M. Bressoud, A Radical Approach to Lebesgue’s Theory of Integration. Cambridge University Press, 2008.
Why medicine runs the trapezoid one way going up and another coming down: K. C. Yeh and K. C. Kwan, "A comparison of numerical integrating algorithms by trapezoidal, Lagrange, and spline approximation." Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 6(1), 79-98, 1978.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.