Taylor-Reihen-Explorer

Ein Taylor-Polynom wird aus den Ableitungen an einem einzigen Punkt gebildet und erfasst deshalb genau dort die lokale Geometrie der Funktion. Weiter entfernt können dieselben Koeffizienten die Funktion nicht mehr gut beschreiben: Der Fehler hängt von der Glattheit der Funktion, dem Grad und dem Konvergenzradius ab.

Dieses Werkzeug baut eine gekrümmte Funktion allein aus Additionen, Multiplikationen und Potenzen nach — genau die Rechenarten, die ein Prozessor wirklich ausführen kann. Der Term vom Grad 0 trifft die Höhe der Funktion im Zentrum, Grad 1 ihre Steigung, Grad 2 ihre Krümmung, und jeder weitere Term legt eine zusätzliche Ableitung fest. Erhöhe den Grad n und beobachte, wie sich das gestrichelte Polynom nahe dem Zentrum a immer enger an die durchgezogene Kurve schmiegt.

Man könnte meinen, eine unendlich glatte Funktion werde von einem Taylor-Polynom hohen Grades stets erfasst — garantiert ist das nicht. Das klassische Gegenbeispiel ist f(x)=e−1/x² (mit f(0)=0): Jede Ableitung bei 0 ist null, also ist ihr Taylor-Polynom um 0 bei jedem Grad einfach 0, obwohl die Funktion überall sonst positiv ist. Weitere Terme helfen nie. 'Glatt' (alle Ableitungen existieren) ist schwächer als 'analytisch' (wirklich gleich der eigenen Reihe).