Taylor-Reihen-Explorer

Wähle eine Funktion, einen Entwicklungspunkt a und einen Grad n. Das gestrichelt gezeichnete Polynom stimmt bei a mit f im Funktionswert und in den ersten n Ableitungen überein. Die orange Strecke bei x zeigt, wie weit beide dort auseinanderliegen. Die Fehlerabschätzung nach Lagrange gibt an, wie groß dieser Abstand höchstens sein kann.

Taylorformel	$P_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k}$
Lagrangesches Restglied	$R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - a)^{n + 1}, ξ \in (a, x) ∣ R_{n} (x) ∣ \leq \frac{M ∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$
Wichtige Reihen	$e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots, sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots, ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \dots$

Rechenbeispiel — Taylor-Reihen-Explorer

Ableitungen bei a	0, 1, 0, −1
Polynomwert bei x	0,833333
Funktionswert bei x	0,841471
Fehler	0,0081377
Lagrange-Schranke	0,035061

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Taylor-Reihen-Explorer

Das Taylorpolynom vom Grad n von f um a stimmt bei a mit f im Funktionswert und in den ersten n Ableitungen überein: P_n(x) = Σ f^(k)(a)(x − a)^k/k!, wobei von k = 0 bis n summiert wird. Für a = 0 heißt es auch Maclaurinpolynom.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

a: der Entwicklungspunkt, an dem Pₙ und f übereinstimmen
n: der Grad: So viele Ableitungen stimmen überein
Rₙ(x): das Restglied f(x) − Pₙ(x)

Woher die Formel kommt

Gleiche zuerst den Funktionswert an, dann die Steigung. P₀ = f(a) gibt die Höhe bei a an. Mit dem zusätzlichen Glied f′(a)(x − a) erhältst du P₁, die Tangente von der Seite zur Ableitung.
$P_{1} (x) = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$
Warum k! im Nenner steht. Wenn du c_k(x − a)^k k-mal ableitest, bleibt c_k·k! übrig. Alle anderen Glieder ergeben nach k-maligem Ableiten bei a den Wert 0. Damit die Ableitung mit f^(k)(a) übereinstimmt, muss der Koeffizient f^(k)(a)/k! sein.
$\frac{d ^{k}}{d x ^{k}} c_{k} (x - a)^{k} = c_{k} k! \Rightarrow c_{k} = \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !}$
Entwickle sin x um 0. Die Ableitungswerte bei 0 wiederholen sich in der Folge 0, 1, 0, −1. Deshalb bleiben nur ungerade Potenzen mit wechselnden Vorzeichen.
$sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots$
Schätze den Fehler ab. Im Lagrangeschen Restglied steht die (n + 1)-te Ableitung an einer unbekannten Stelle ξ zwischen a und x. Ersetze ihren Betrag durch M, den größten Betrag auf diesem Intervall. Für die Fehlerschranke brauchst du dann den Wert f(x) selbst nicht.
$∣ R_{n} (x) ∣ = \frac{∣ f ^{(n + 1)} ( ξ ) ∣}{( n + 1 )!} ∣ x - a ∣^{n + 1} \leq \frac{M ∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$
Gewinne neue Reihen aus bekannten. Setze in eine bekannte Reihe ein, multipliziere zwei Reihen oder integriere gliedweise. So sparst du dir erneutes Ableiten: e^−x² erhältst du aus e^u mit u = −x².
$e^{- x^{2}} = 1 - x^{2} + \frac{x ^{4}}{2 !} - \frac{x ^{6}}{3 !} + \dots$

Die Abweichung der Sekantensteigung war ein Taylorglied 🖖

Auf der Seite zur Ableitung wich die Sekantensteigung um etwa ½f″(x)·h von der Tangentensteigung ab. Entwickle f(x + h) = f(x) + f′(x)h + ½f″(x)h² + ⋯, zieh f(x) ab und teile durch h. Für die Sekantensteigung erhältst du f′(x) + ½f″(x)h + ⋯. Die Abweichung steckt im nächsten Glied. Dieselbe Entwicklung erklärt auch die Beobachtung auf der Seite zu Riemannsummen. Entwickelst du f um die Mitte eines Streifens, ist das f′-Glied bezüglich dieses Mittelpunkts ungerade. Sein Integral über den Streifen ist daher null. Bei der Mittelpunktregel bleibt pro Streifen ein Fehler der Ordnung h³ mit f″ übrig. Bei der linken Rechteckregel bleibt dagegen bereits ein Fehler der Ordnung h² mit f′.

Überall glatt und doch nicht gleich der eigenen Taylorreihe 🖖

Lagrange baute seine Darstellung der Differential- und Integralrechnung von 1797 auf der Annahme auf, jede Funktion sei gleich ihrer Taylorreihe. Cauchy gab 1823 ein Gegenbeispiel an: f(x) = e^−1/x² mit f(0) = 0. Alle Ableitungen existieren und haben bei x = 0 den Wert 0. Das Taylorpolynom um 0 ist deshalb für jeden Grad das Nullpolynom, während die Funktion für jedes x ≠ 0 positiv ist. Zusätzliche Glieder ändern daran nichts. Eine Funktion, die Ableitungen jeder Ordnung besitzt, heißt glatt. Stimmt sie in der Umgebung jedes Punkts mit ihrer Taylorreihe überein, heißt sie analytisch. Aus Glattheit folgt keine Analytizität.

TAYLORREIHEN: WIE WEIT REICHT DIE NÄHERUNG?

Welcher Fall liegt bei dir vor?

Ein Taylorpolynom stimmt an einem Punkt mit dem Funktionswert und den ersten n Ableitungen überein. Mit wachsendem Abstand weicht es von der Funktion ab. Wie schnell das geschieht, hängt davon ab, wie rasch die Koeffizienten abnehmen und ob in der Nähe eine Singularität liegt. Innerhalb des Konvergenzradius helfen zusätzliche Glieder, außerhalb bringen sie nichts. Oft erreichst du mit einem anderen Entwicklungspunkt mehr als mit zusätzlichen Gliedern.

Nahe am Entwicklungspunkt gut, weit davon unbrauchbar ε ∝ (x − a)ⁿ⁺¹

Die Fakultät setzt sich durch: Die Reihe konvergiert überall xⁿ/n! → 0, R = ∞

Der Konvergenzradius begrenzt die Reihe ln(1 + x): R = 1

Den Entwicklungspunkt verschieben spart zusätzliche Glieder Δa ≠ 0, Δn = 0

Nahe am Entwicklungspunkt gut, weit davon unbrauchbar

Was du weißt: Du näherst eine gutartige Funktion durch ein Polynom niedrigen Grades an. Nahe am Entwicklungspunkt ist die Näherung genau; mit wachsendem Abstand nimmt der Fehler rasch zu.

Reihe: ε ∝ (x − a)ⁿ⁺¹

Rechenbeispiel: sin x ≈ x − x³/6 ergibt bei x = 1 den Wert 0,8333 statt 0,8415. Der Fehler beträgt 0,008. Bei x = 3 erhältst du −1,5 statt 0,141

Diesen Fall öffnen: sin x, Grad 3

Nahe am Entwicklungspunkt gut, weit davon unbrauchbar. Das Polynom dritten Grades folgt dem Sinus bis ungefähr ein Radiant und biegt dann völlig in die falsche Richtung ab. Du näherst eine gutartige Funktion durch ein Polynom niedrigen Grades an. Nahe am Entwicklungspunkt ist die Näherung genau; mit wachsendem Abstand nimmt der Fehler rasch zu. — Das Polynom dritten Grades folgt dem Sinus bis ungefähr ein Radiant und biegt dann völlig in die falsche Richtung ab.

Die Fakultät setzt sich durch: Die Reihe konvergiert überall

Was du weißt: Die Koeffizienten haben eine Fakultät im Nenner. Deshalb nehmen die Glieder schließlich schneller ab, als eine Potenz wachsen kann. Der Konvergenzradius ist unendlich.

Reihe: xⁿ/n! → 0, R = ∞

Rechenbeispiel: eˣ ≈ 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24 + x⁵/120 ergibt bei x = 1 den Wert 2,71667 statt e = 2,71828: sechs Glieder, drei richtige Ziffern

Diesen Fall öffnen: eˣ, Grad 5

Die Fakultät setzt sich durch: Die Reihe konvergiert überall. Schon mit Grad 5 folgt das Polynom der Exponentialfunktion im gesamten sichtbaren Bereich. Die Koeffizienten haben eine Fakultät im Nenner. Deshalb nehmen die Glieder schließlich schneller ab, als eine Potenz wachsen kann. Der Konvergenzradius ist unendlich. — Schon mit Grad 5 folgt das Polynom der Exponentialfunktion im gesamten sichtbaren Bereich.

Der Konvergenzradius begrenzt die Reihe

Was du weißt: Die Funktion hat eine Singularität in endlichem Abstand vom Entwicklungspunkt. Innerhalb dieses Abstands konvergiert die Reihe, außerhalb divergiert sie, egal wie viele Glieder du hinzunimmst.

Reihe: ln(1 + x): R = 1

Rechenbeispiel: ln(1 + x) mit sechs Gliedern ergibt bei x = 0,8 den Wert 0,5701 statt 0,5878. Die Reihe konvergiert noch, aber langsam. Bei x = 1,2 wachsen die Beträge der Glieder, und die Partialsummen divergieren

Diesen Fall öffnen: ln(1 + x) am Rand

Der Konvergenzradius begrenzt die Reihe. Innerhalb des Konvergenzradius folgt das Polynom der Kurve. Außerhalb entfernt es sich von ihr und kehrt nicht zurück. Die Funktion hat eine Singularität in endlichem Abstand vom Entwicklungspunkt. Innerhalb dieses Abstands konvergiert die Reihe, außerhalb divergiert sie, egal wie viele Glieder du hinzunimmst. — Innerhalb des Konvergenzradius folgt das Polynom der Kurve. Außerhalb entfernt es sich von ihr und kehrt nicht zurück.

Den Entwicklungspunkt verschieben spart zusätzliche Glieder

Was du weißt: Du brauchst eine genaue Näherung an einer Stelle, die weit vom Entwicklungspunkt entfernt liegt. Entwickelst du um einen näheren Punkt, kannst du beim selben Grad bleiben.

Reihe: Δa ≠ 0, Δn = 0

Rechenbeispiel: cos x bei x = 2, angenähert mit Grad 4: Die Entwicklung um 0 ergibt −0,333 statt −0,416, die Entwicklung um 1 ergibt −0,4086. Der Fehler ist elfmal kleiner

Diesen Fall öffnen: cos x um 1

Den Entwicklungspunkt verschieben spart zusätzliche Glieder. Gleicher Grad, anderer Entwicklungspunkt: Die Entwicklung um 1 liegt bei x = 2 dicht an der Kurve. Du brauchst eine genaue Näherung an einer Stelle, die weit vom Entwicklungspunkt entfernt liegt. Entwickelst du um einen näheren Punkt, kannst du beim selben Grad bleiben. — Gleicher Grad, anderer Entwicklungspunkt: Die Entwicklung um 1 liegt bei x = 2 dicht an der Kurve.

Aufgaben vollständig gelöst

sin 1 mit dem Maclaurinpolynom vom Grad 3 annähern und den Fehler abschätzen 5 Schritte
Nähere sin 1 mit dem Maclaurinpolynom vom Grad 3 an und schätze den Fehler ab, bevor du den tatsächlichen Wert nachschlägst. Eine Fehlerschranke, die du erst berechnen kannst, wenn du das Ergebnis kennst, ist wertlos.

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1. Für das Maclaurinpolynom brauchst du die Ableitungen bei 0. Beim Sinus wiederholen sie sich nach vier Ableitungen. Zwei der ersten vier Werte sind null; deshalb ist das Polynom so kurz.
  
  $f (x) = sin x : f (0) = 0, f^{'} (0) = 1, f^{''} (0) = 0, f^{'''} (0) = - 1$
2. P₃ hat also zwei Glieder. Die gesamte Korrektur steckt in x³/6: Sie senkt den Wert von 1 auf 0,83333, also um fast 17%. Das lässt bereits vermuten, dass auch das nächste Glied nicht ganz vernachlässigbar ist.
  
  $P_{3} (x) = x - \frac{x ^{3}}{6} ⟹ P_{3} (1) = 1 - \frac{1}{6} = 0.83333$
3. Jetzt lässt sich der Fehler abschätzen. Die Sinusreihe ist alternierend, und die Beträge ihrer Glieder nehmen ab. Der Abbruchfehler ist daher kleiner als der Betrag des ersten weggelassenen Glieds. Das ist x⁵/120. Um es auszurechnen, brauchst du keinerlei Kenntnis von sin 1.
  
  $∣ R_{3} ∣ \leq \frac{∣ x ∣ ^{5}}{5 !} = \frac{1}{120} = 0.0083333$
4. Prüfe nun die Abschätzung. Der tatsächliche Wert ist 0,84147, der Fehler also 0,0081377. Er liegt tatsächlich unter den vorab garantierten 0,0083333.
  
  $sin 1 = 0.84147 ⟹ ∣ sin 1 - P_{3} (1) ∣ = 0.0081377$
5. Die Schranke liegt dicht am Fehler. Warum, siehst du am weggelassenen Rest der Reihe: Auch dort wechseln die Vorzeichen. 1/5! liegt zu hoch, nach Abzug von 1/7! liegt die Summe zu niedrig, und mit 1/9! kommst du dem Fehler noch näher. Schon diese drei Glieder liefern sämtliche angezeigten Ziffern des Fehlers.
  
  $\frac{1}{5 !} - \frac{1}{7 !} + \frac{1}{9 !} - \dots = 0.0081377, \frac{0.0083333}{0.0081377} = 1.0240$
Antwort

P₃(1) = 0,833333, der tatsächliche Wert ist 0,841471. Der Fehler beträgt 0,0081377. Entscheidend ist, welche Zahl du zuerst kanntest: 1/120 = 0,0083333 stand schon fest, bevor du sin 1 kanntest, und lag nur 2,4% über dem tatsächlichen Fehler. Eine Näherung mit einer solchen Garantie ist mehr wert als eine, die zufällig nahe am richtigen Wert liegt. In der Lagrange-Zeile steht bei Grad 3 die Schranke 0,035061, weil die Abschätzung P₃ als Polynom vom Grad 3 behandelt. Stell den Grad auf 4: Beim Sinus bleibt das Polynom gleich, und auch Lagrange liefert nun 1/120. Bei Grad 5 ergibt dasselbe Argument die Schranke 1/5040. In der Lagrange-Zeile erscheint sie bei Grad 6, wieder für dasselbe Polynom. Damit sind drei Nachkommastellen abgesichert, bevor du auch nur eine Ziffer des tatsächlichen Werts berechnet hast.

$P_{3} (1) = 0.83333, ∣ R_{3} ∣ \leq \frac{1}{120} first, then 0.0081377$
√e annähern und zuerst den Fehler abschätzen 4 Schritte
Nähere √e mit dem Maclaurinpolynom von eˣ vom Grad 4 an. Schätze den Fehler ab, ohne den Wert von e^0,5 zu verwenden.

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Lösung anzeigen
1. Jede Ableitung von eˣ ist wieder eˣ und hat bei 0 den Wert 1. Jeder Koeffizient ist deshalb 1/k!:
  
  $P_{4} (x) = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{4}}{24}$
2. Bei x = 0,5:
  
  $P_{4} (0.5) = 1 + 0.5 + 0.125 + \frac{0.125}{6} + \frac{0.0625}{24} = \frac{211}{128} = 1.6484375$
3. Für die Lagrange-Abschätzung brauchst du M, den größten Wert der fünften Ableitung eᵗ zwischen 0 und 0,5. Auch ohne e^0,5 zu kennen, kannst du e < 3 verwenden. Damit gilt e^0,5 < √3 < 2:
  
  $∣ R_{4} (0.5) ∣ \leq \frac{M ( 0.5 ) ^{5}}{5 !} < \frac{2 \cdot 0.03125}{120} = 0.00052083$
4. Die Seite verwendet den exakten Wert M = e^0,5 und erhält damit eine engere Schranke. Der tatsächliche Fehler liegt unter beiden Schranken:
  
  $\frac{1.648721 \cdot 0.03125}{120} = 0.00042935, e - P_{4} (0.5) = 0.00028377$
Antwort

√e ≈ 1,648438 mit einem Fehler unter 0,00052. Dafür genügt allein e < 3. Der tatsächliche Fehler beträgt 0,00028377. Auch eine gröbere Wahl von M liefert eine gültige Schranke; sie garantiert nur weniger Genauigkeit.
Ein Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt ungleich 0 4 Schritte
Bestimme das Taylorpolynom von √x vom Grad 2 um 4. Nähere damit √4,1 an und schätze den Fehler ab.

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1. Die Ableitungen bei 4:
  
  $f (4) = 2, f^{'} (4) = \frac{1}{2} \cdot 4^{- 1/2} = \frac{1}{4}, f^{''} (4) = - \frac{1}{4} \cdot 4^{- 3/2} = - \frac{1}{32}$
2. Teile jeden Wert durch k!:
  
  $P_{2} (x) = 2 + \frac{x - 4}{4} - \frac{( x - 4 ) ^{2}}{64}$
3. Für x = 4,1 gilt x − 4 = 0,1:
  
  $P_{2} (4.1) = 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.02484375$
4. Die dritte Ableitung (3/8)x^−5/2 ist am linken Rand von [4; 4,1] am größten. Dort beträgt sie 3/256:
  
  $∣ R_{2} (4.1) ∣ \leq \frac{\frac{3}{256} ( 0.1 ) ^{3}}{3 !} = 1.9531 \times 1 0^{- 6}$
Antwort

√4,1 ≈ 2,024844 mit einem Fehler unter 1,9531 × 10⁻⁶. Der tatsächliche Fehler beträgt 1,9231 × 10⁻⁶. Er liegt nahe an der Schranke, weil sich die dritte Ableitung zwischen 4 und 4,1 kaum ändert. Wir entwickeln um 4, weil √x dort leicht auszuwerten ist. Um 0 gibt es für √x kein Taylorpolynom höheren Grades als 0, denn die Funktion ist dort nicht differenzierbar.
Eine Reihe durch Einsetzen gewinnen und integrieren 4 Schritte
Bestimme die Maclaurinreihe von e^−x² bis einschließlich x⁶. Nähere damit das Integral von e^−x² von 0 bis 0,5 an.

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1. e^−x² sechsmal abzuleiten ist aufwendig. Setze stattdessen u = −x² in die Reihe für eᵘ ein:
  
  $e^{u} = 1 + u + \frac{u ^{2}}{2} + \frac{u ^{3}}{6} + \dots \Rightarrow e^{- x^{2}} = 1 - x^{2} + \frac{x ^{4}}{2} - \frac{x ^{6}}{6} + \dots$
2. Vergleiche das Ergebnis bei x = 0,5 mit der Anzeige auf der Seite:
  
  $P_{6} (0.5) = 1 - 0.25 + 0.03125 - 0.0026042 = 0.778646$
3. Integriere gliedweise von 0 bis 0,5:
  
  $\int_{0}^{0.5} (1 - x^{2} + \frac{x ^{4}}{2} - \frac{x ^{6}}{6}) d x = 0.5 - \frac{0.125}{3} + \frac{0.03125}{10} - \frac{0.0078125}{42} = 0.461272$
4. Die Vorzeichen wechseln, die Beträge der Glieder nehmen ab. Der Fehler ist deshalb kleiner als der Betrag des ersten weggelassenen Glieds, das aus x⁸/4! entsteht:
  
  $\int_{0}^{0.5} \frac{x ^{8}}{4 !} d x = \frac{( 0.5 ) ^{9}}{216} = 0.0000090$
Antwort

Das Integral beträgt ungefähr 0,461272 mit einem Fehler unter 0,0000090. Der tatsächliche Wert ist 0,461281. Für dieses Integral gibt es keine Darstellung durch elementare Funktionen. Du kannst es daher etwa mit einer Reihe oder einer Riemannsumme berechnen.
Einen Grenzwert mit einer Reihe bestimmen 2 Schritte
Bestimme den Grenzwert von (sin x − x)/x³ für x → 0.
Lösung anzeigen
1. Ersetze sin x durch seine Reihe. Dabei fällt x weg:
  
  $\frac{sin x - x}{x ^{3}} = \frac{( x - \frac{x ^{3}}{6} + \frac{x ^{5}}{120} - \dots ) - x}{x ^{3}}$
2. Teile jedes verbleibende Glied durch x³:
  
  $= - \frac{1}{6} + \frac{x ^{2}}{120} - \dots x \to 0 - \frac{1}{6}$
Antwort

Der Grenzwert ist −1/6. Mit der Regel von de l’Hospital erhältst du ihn ebenfalls, musst dafür aber dreimal ableiten. Aus der Reihe kannst du ihn sofort ablesen. Außerdem zeigt dir das nächste Glied x²/120, wie schnell sich der Quotient dem Grenzwert nähert.
Eine höhere Ableitung aus der Reihe ablesen 2 Schritte
Bestimme die fünfte Ableitung von f(x) = x²eˣ bei x = 0.

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Lösung anzeigen
1. Multipliziere die Reihe für eˣ mit x²:
  
  $x^{2} e^{x} = x^{2} + x^{3} + \frac{x ^{4}}{2} + \frac{x ^{5}}{6} + \dots$
2. Der Koeffizient von x⁵ ist f⁽⁵⁾(0)/5!. Also gilt:
  
  $\frac{f ^{(5)} ( 0 )}{5 !} = \frac{1}{6} \Rightarrow f^{(5)} (0) = \frac{120}{6} = 20$
Antwort

f⁽⁵⁾(0) = 20. Mit fünfmaliger Anwendung der Produktregel erhältst du dieselbe Zahl, musst aber deutlich mehr schreiben. Die erste Zeile auf der Seite zeigt alle sechs Ableitungswerte bei 0: 0, 0, 2, 6, 12, 20.
Wie viele Glieder brauchst du für sechs Nachkommastellen? 3 Schritte
Wie viele Glieder der Maclaurinreihe von eˣ brauchst du, um e mit einem Fehler unter 0,0000005 zu berechnen?

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Lösung anzeigen
1. Bei x = 1 lautet die Lagrange-Schranke für Grad n: M/(n + 1)!. Dabei ist M der größte Wert von eᵗ auf [0; 1], also e < 3:
  
  $∣ R_{n} (1) ∣ \leq \frac{e}{( n + 1 )!} < \frac{3}{( n + 1 )!}$
2. Suche das kleinste n, für das die Schranke unter 0,0000005 fällt:
  
  $\frac{3}{10 !} = 8.3 \times 1 0^{- 7} > 5 \times 1 0^{- 7}, \frac{3}{11 !} = 7.5 \times 1 0^{- 8} < 5 \times 1 0^{- 7}$
3. Damit ist n = 10. Das sind elf Glieder, wenn du das konstante Glied mitzählst. Auf der Seite erhältst du bei Grad 10:
  
  $P_{10} (1) = 2.718282, \frac{e}{11 !} = 6.81 \times 1 0^{- 8}, ∣ e - P_{10} (1) ∣ = 2.73 \times 1 0^{- 8}$
Antwort

Grad 10: elf Glieder. Nach der Fehlerschranke reicht Grad 9 noch nicht aus (7,4909 × 10⁻⁷), obwohl der tatsächliche Fehler von 3,0289 × 10⁻⁷ klein genug wäre. Die Schranke legt fest, was du im Voraus garantieren kannst. Dass Grad 9 bereits genügt, hättest du vor der Berechnung von e nicht sagen können.

Lernpfad

Warum aus der Nähe alles gerade aussieht

Quellen (1)

What turns “local” from a caution into a quantity — the remainder term: U. Abel, "On the Lagrange Remainder of the Taylor Formula." The American Mathematical Monthly 110(7), 627–633, 2003.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.