Taylor-Reihen-Explorer

lokale Näherung mit einstellbarem Grad und Entwicklungspunkt

Rechenbeispiel — Taylor-Reihen-Explorer

Terme	0.83333
Exakter Wert	0.84147
Absoluter Fehler	0.0081377

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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warum Taylor lokal ist, nicht global 🖖

Ein Taylor-Polynom wird aus den Ableitungen an einem einzigen Punkt gebildet und erfasst deshalb genau dort die lokale Geometrie der Funktion. Weiter entfernt können dieselben Koeffizienten die Funktion nicht mehr gut beschreiben: Der Fehler hängt von der Glattheit der Funktion, dem Grad und dem Konvergenzradius ab.

Eine Kurve Ableitung für Ableitung nachbauen 🖖

Dieses Werkzeug baut eine gekrümmte Funktion allein aus Additionen, Multiplikationen und Potenzen nach — genau die Rechenarten, die ein Prozessor wirklich ausführen kann. Der Term vom Grad 0 trifft die Höhe der Funktion im Zentrum, Grad 1 ihre Steigung, Grad 2 ihre Krümmung, und jeder weitere Term legt eine zusätzliche Ableitung fest. Erhöhe den Grad n und beobachte, wie sich das gestrichelte Polynom nahe dem Zentrum a immer enger an die durchgezogene Kurve schmiegt.

Wenn Glattheit trotzdem nicht reicht 🖖

Man könnte meinen, eine unendlich glatte Funktion werde von einem Taylor-Polynom hohen Grades stets erfasst — garantiert ist das nicht. Das klassische Gegenbeispiel ist f(x)=e^−1/x² (mit f(0)=0): Jede Ableitung bei 0 ist null, also ist ihr Taylor-Polynom um 0 bei jedem Grad einfach 0, obwohl die Funktion überall sonst positiv ist. Weitere Terme helfen nie. 'Glatt' (alle Ableitungen existieren) ist schwächer als 'analytisch' (wirklich gleich der eigenen Reihe).

TAYLORREIHEN — WIE WEIT VOM ENTWICKLUNGSPUNKT MAN IHNEN NOCH TRAUEN DARF

In welchem Taylor-Fall bist du?

Ein Taylorpolynom trifft Wert und erste n Ableitungen einer Funktion in einem Punkt und driftet dann ab, sobald man sich entfernt. Wie schnell, entscheiden zwei Dinge: wie rasch die Koeffizienten schrumpfen und ob in der Nähe eine Singularität sitzt. Weitere Terme helfen innerhalb des Konvergenzradius und außerhalb überhaupt nicht — und den Entwicklungspunkt zu verschieben lohnt oft mehr als weitere Terme.

Nahe am Entwicklungspunkt gut, weit weg nutzlos ε ∝ (x − a)ⁿ⁺¹

Fakultäten gewinnen — die Reihe konvergiert überall xⁿ/n! → 0, R = ∞

Ein Konvergenzradius — jenseits davon helfen keine Terme ln(1 + x): R = 1

Zentrum verschieben — billiger als Terme hinzufügen Δa ≠ 0, Δn = 0

Nahe am Entwicklungspunkt gut, weit weg nutzlos

Was du weißt: Eine Entwicklung niedrigen Grades einer gutartigen Funktion. Nahe am Zentrum genau, mit rasch wachsendem Fehler beim Entfernen.

Reihe: ε ∝ (x − a)ⁿ⁺¹

Rechenbeispiel: sin x ≈ x − x³/6 liefert bei x = 1 den Wert 0,8333 gegen die wahren 0,8415 — Fehler 0,008. Bei x = 3 liefert es −1,5 gegen 0,141

Diesen Fall öffnen: sin nahe 0

Nahe am Entwicklungspunkt gut, weit weg nutzlos. Die Kubik folgt dem Sinus etwa ein Bogenmaß weit und verlässt ihn dann in die völlig falsche Richtung. Eine Entwicklung niedrigen Grades einer gutartigen Funktion. Nahe am Zentrum genau, mit rasch wachsendem Fehler beim Entfernen. — Die Kubik folgt dem Sinus etwa ein Bogenmaß weit und verlässt ihn dann in die völlig falsche Richtung.

Fakultäten gewinnen — die Reihe konvergiert überall

Was du weißt: Die Koeffizienten tragen eine Fakultät im Nenner, schrumpfen also schneller, als jede Potenz wächst. Der Konvergenzradius ist unendlich.

Reihe: xⁿ/n! → 0, R = ∞

Rechenbeispiel: eˣ ≈ 1 + x + x²/2 + x³/6 + x⁴/24 + x⁵/120 liefert bei x = 1 den Wert 2,71667 gegen e = 2,71828 — fünf Terme, vier korrekte Stellen

Diesen Fall öffnen: exp schnell

Fakultäten gewinnen — die Reihe konvergiert überall. Fünf Terme zeichnen die Exponentialfunktion bereits über den ganzen sichtbaren Bereich nach. Die Koeffizienten tragen eine Fakultät im Nenner, schrumpfen also schneller, als jede Potenz wächst. Der Konvergenzradius ist unendlich. — Fünf Terme zeichnen die Exponentialfunktion bereits über den ganzen sichtbaren Bereich nach.

Ein Konvergenzradius — jenseits davon helfen keine Terme

Was du weißt: Die Funktion hat in endlichem Abstand vom Zentrum eine Singularität. Innerhalb dieses Abstands konvergiert die Reihe, außerhalb divergiert sie, egal wie viele Terme du nimmst.

Reihe: ln(1 + x): R = 1

Rechenbeispiel: ln(1 + x) mit sechs Termen liefert bei x = 0,8 den Wert 0,5701 gegen 0,5878 — noch konvergent, aber langsam. Bei x = 1,2 wachsen die Terme und die Summe läuft davon

Diesen Fall öffnen: ln am Rand

Ein Konvergenzradius — jenseits davon helfen keine Terme. Innerhalb des Radius folgt das Polynom der Kurve, jenseits davon verlässt es sie für immer. Die Funktion hat in endlichem Abstand vom Zentrum eine Singularität. Innerhalb dieses Abstands konvergiert die Reihe, außerhalb divergiert sie, egal wie viele Terme du nimmst. — Innerhalb des Radius folgt das Polynom der Kurve, jenseits davon verlässt es sie für immer.

Zentrum verschieben — billiger als Terme hinzufügen

Was du weißt: Du brauchst Genauigkeit an einer Stelle weit weg vom Entwicklungspunkt. Eine Neuentwicklung um einen näheren Punkt kostet keinen zusätzlichen Grad.

Reihe: Δa ≠ 0, Δn = 0

Rechenbeispiel: Grad 4 für cos x bei x = 2: um 0 entwickelt ergibt −0,333 gegen −0,416, um 1 entwickelt ergibt −0,4086 — ein elfmal kleinerer Fehler

Diesen Fall öffnen: verschobener Entwicklungspunkt

Zentrum verschieben — billiger als Terme hinzufügen. Gleicher Grad, anderes Zentrum: Die Entwicklung um 1 schmiegt sich bei x = 2 an die Kurve. Du brauchst Genauigkeit an einer Stelle weit weg vom Entwicklungspunkt. Eine Neuentwicklung um einen näheren Punkt kostet keinen zusätzlichen Grad. — Gleicher Grad, anderes Zentrum: Die Entwicklung um 1 schmiegt sich bei x = 2 an die Kurve.

Aufgabe vollständig gelöst

Näherung von sin 1 mit dem Maclaurin-Polynom 3. Grades und Fehlerabschätzung 5 Schritte
Approximieren Sie sin 1 mit dem Maclaurin-Polynom 3. Grades und schranken Sie den Fehler ab, bevor Sie den exakten Wert nachschlagen. Eine Fehlerschranke, die man erst berechnen kann, wenn man das Ergebnis kennt, ist wertlos.
1. Maclaurin benötigt die Ableitungen an der Stelle 0, und der Sinus durchläuft diese periodisch mit der Periode vier. Zwei der ersten vier Ableitungen sind null, weshalb das Polynom letztlich so kurz ausfällt.
  
  $f (x) = sin x : f (0) = 0, f^{'} (0) = 1, f^{''} (0) = 0, f^{'''} (0) = - 1$
2. P₃ hat somit zwei Terme, und das x³/6 bildet die gesamte Korrektur. Es verringert 1 auf 0,83333 — eine Reduktion um fast 17 %, was bereits ein Hinweis darauf ist, dass auch der nächste Term nicht vernachlässigbar sein wird.
  
  $P_{3} (x) = x - \frac{x ^{3}}{6} ⟹ P_{3} (1) = 1 - \frac{1}{6} = 0.83333$
3. Dies ist der entscheidende Schritt dieses Abschnitts. Die Reihe für den Sinus ist alternierend mit betragsmäßig fallenden Termen, sodass der Abbrechfehler kleiner ist als der erste weggelassene Term. Dieser Term lautet x⁵/120, und seine Berechnung erfordert keinerlei Kenntnis über sin 1.
  
  $∣ R_{3} ∣ \leq \frac{∣ x ∣ ^{5}}{5 !} = \frac{1}{120} = 0.0083333$
4. Nun prüfen wir das Versprechen. Der exakte Wert beträgt 0,84147, sodass der tatsächliche Fehler 0,0081377 beträgt — und dieser liegt tatsächlich unter den vorab garantierten 0,0083333.
  
  $sin 1 = 0.84147 ⟹ ∣ sin 1 - P_{3} (1) ∣ = 0.0081377$
5. Die Schranke ist scharf, und die Begründung ist ersichtlich. Der Fehler entspricht dem gesamten weggelassenen Restglied, und dieses Restglied alterniert ebenfalls: 1/5! schießt darüber hinaus, das Subtrahieren von 1/7! schießt in die andere Richtung darüber hinaus, und 1/9! führt zum Ziel. Bereits drei Terme geben den angezeigten Fehler Ziffer für Ziffer wieder.
  
  $\frac{1}{5 !} - \frac{1}{7 !} + \frac{1}{9 !} - \dots = 0.0081377, \frac{0.0083333}{0.0081377} = 1.0240$
Antwort

P₃(1) = 0,83333 gegenüber dem exakten Wert 0,84147, was einem Fehler von 0,0081377 entspricht — alle drei auf dem Bedienfeld oben zu sehen. Was das Bedienfeld nicht zeigen kann, ist die Reihenfolge, in der die Zahlen entstanden sind. 1/120 = 0,0083333 stand zur Verfügung, noch bevor sin 1 bekannt war, und lag nur um 2,4 % über dem tatsächlichen Fehler. Das ist der Unterschied zwischen einer Näherung und einer Vermutung: Eine Näherung bringt ein Zertifikat mit sich. Erhöht man den Grad auf 5, liefert dasselbe Argument 1/5040 — drei Nachkommastellen garantiert, bevor auch nur eine einzige Ziffer des Ergebnisses berechnet wurde.

$P_{3} (1) = 0.83333, ∣ R_{3} ∣ \leq \frac{1}{120} first, then 0.0081377$

Lernpfad

Warum aus der Nähe alles gerade aussieht

Führt zu Mehr als eine Richtung

Quellen (1)

What turns “local” from a caution into a quantity — the remainder term: U. Abel, "On the Lagrange Remainder of the Taylor Formula." The American Mathematical Monthly 110(7), 627–633, 2003.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

sin nahe 0 - Eine Sinus-Entwicklung niedrigen Grades ist in der Nähe von x=0 genau.
exp schnell - Die Taylorreihe der Exponentialfunktion konvergiert schnell um 0.
ln am Rand - Die Logarithmusreihe verliert nahe dem Rand des Konvergenzradius an Genauigkeit.
verschobener Entwicklungspunkt - Eine Verschiebung des Entwicklungspunkts verbessert die lokale Näherung an anderer Stelle.