Warum Winkel im Bogenmaß gemessen werden

Wähle Radius und Winkel und wechsle dann die Winkeleinheit. Kreisbogen, Sektor, die Steigung des Sinus und die Kleinwinkelnäherung verändern sich synchron mit, denn sie alle beruhen auf einer einzigen Definition.

Gradmaß und Bogenmaß	$π rad = 18 0^{\circ}$
Bogenlänge	$s = r θ$
Sektorfläche	$A = \frac{1}{2} r^{2} θ$
Die Steigung des Sinus (θ im Bogenmaß)	$\frac{d}{d θ} sin θ = cos θ$

Rechenbeispiel — Warum Winkel im Bogenmaß gemessen werden

θ im Gradmaß	57,2958°
Bogenlänge s	1
Sektorfläche A	0,5
sin θ	0,841471
Kreissegment zwischen Bogen und Sehne	0,079265
Steigung des Sinus bei θ	0,540302
Fehler bei sin θ ≈ θ	18,84 %

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Warum Winkel im Bogenmaß gemessen werden

Ein Winkel von einem Radiant schneidet einen Bogen ab, der exakt so lang ist wie der Radius. Ein Winkel im Bogenmaß ist daher das Verhältnis zweier Längen, Bogen geteilt durch Radius, und eine volle Umdrehung entspricht 2π.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

r: der Radius
θ: der Mittelpunktswinkel, im Bogenmaß, falls kein Gradzeichen angegeben ist
s: der Bogen, den der Winkel schneidet
A: der Flächeninhalt des Sektors, das Stück zwischen den beiden Radien und dem Bogen

Woher die Formel kommt

Der Bogen. Die Definition lautet θ = s/r, folglich gilt s = rθ. Nach einer vollen Runde entspricht der Bogen dem gesamten Umfang 2πr. Eine volle Drehung misst demnach 2π Radiant, und eine halbe Drehung, 180°, ist π.
$θ = \frac{s}{r} \Rightarrow s = r θ s = 2 π r \Rightarrow θ = 2 π, π rad = 18 0^{\circ}$
Der Sektor. Ein Sektor nimmt denselben Bruchteil der Kreisscheibe ein wie sein Bogen vom Kreisumfang: einen Anteil von θ bezogen auf 2π. Dieser Anteil von πr² beträgt ½r²θ. Zieht man das Dreieck über den beiden Radien ab, ½r² sin θ, bleibt das Segment zwischen Bogen und Sehne übrig – die gepunktete Linie in der Abbildung.
$A = \frac{θ}{2 π} \cdot π r^{2} = \frac{1}{2} r^{2} θ \frac{1}{2} r^{2} θ - \frac{1}{2} r^{2} sin θ = \frac{1}{2} r^{2} (θ - sin θ)$
Warum der Sinus mit Steigung 1 beginnt. In einem Kreis mit Radius 1 liegen für einen Winkel zwischen 0 und π/2 drei Flächen ineinander: das Dreieck im Sektor, der Sektor selbst und das Dreieck, das bis zur Tangente reicht. Teilt man alle drei durch ½ sin θ, wird θ/sin θ zwischen 1 und 1/cos θ eingeklemmt. Da 1/cos θ gegen 1 strebt, geht auch sin θ/θ von rechts gegen 1. Weil das Verhältnis sin θ/θ eine gerade Funktion ist, liefert die linke Seite dasselbe: Die Steigung des Sinus bei 0 ist exakt 1.
$\frac{1}{2} sin θ < \frac{1}{2} θ < \frac{1}{2} tan θ \Rightarrow 1 < \frac{θ}{sin θ} < \frac{1}{cos θ} \Rightarrow θ \to 0^{+} lim \frac{sin θ}{θ} = 1 \frac{sin ( - θ )}{- θ} = \frac{sin θ}{θ} \Rightarrow θ \to 0 lim \frac{sin θ}{θ} = 1$
Was ein Grad kostet. x Grad entsprechen πx/180 Radiant. Misst man in Grad, wird die horizontale Achse um den Faktor 180/π gestreckt. Jede Steigung fällt dadurch um den Faktor π/180 kleiner aus, und dieser Faktor begleitet jede Ableitung einer trigonometrischen Funktion, die im Gradmaß berechnet wird.
$\frac{d}{d x} sin x^{\circ} = \frac{d}{d x} sin \frac{π x}{180} = \frac{π}{180} cos x^{\circ}$

Aufgaben vollständig gelöst

Grad in Radiant und zurück 2 Schritte
Gib 150° im Bogenmaß als Vielfaches von π an und rechne 2,5 Radiant ins Gradmaß um.

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1. 180° entsprechen π Radiant, ein Grad ist folglich π/180 Radiant. Multipliziere und kürze den Bruch, bevor du zum Taschenrechner greifst:
  
  $15 0^{\circ} = 150 \times \frac{π}{180} = \frac{5 π}{6} \approx 2.61799$
2. Für den Rückweg multiplizierst du mit 180/π:
  
  $2.5 \times \frac{180}{π} = \frac{450}{π} \approx 143.2 4^{\circ}$
Antwort

150° = 5π/6 ≈ 2,61799 rad und 2,5 rad ≈ 143,24°. In Prüfungen wird meist 5π/6 verlangt; der Dezimalbruch ist derselbe Winkel, nur gerundet.
Bogen, Fläche und Umfang eines Sektors 3 Schritte
Ein Kreissektor mit Radius 8 cm hat einen Mittelpunktswinkel von 1,2 Radiant. Berechne seine Bogenlänge, seine Fläche und seinen Umfang.

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1. Liegt θ im Bogenmaß vor, ergibt sich der Bogen als Radius mal Winkel:
  
  $s = r θ = 8 \times 1.2 = 9.6 cm$
2. Die Fläche nimmt denselben Anteil an der Kreisscheibe ein:
  
  $A = \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} \times 64 \times 1.2 = 38.4 c m^{2}$
3. Der Umfang besteht aus dem Bogen und beiden Radien. Die Radien wegzulassen, ist der typische Ausrutscher:
  
  $P = 2 r + s = 16 + 9.6 = 25.6 cm$
Antwort

s = 9,6 cm, A = 38,4 cm² und der Umfang beträgt 25,6 cm.
Radius und Winkel aus Bogen und Fläche 3 Schritte
Ein Sektor hat einen Bogen von 12 cm und eine Fläche von 48 cm². Finde Radius und Winkel.

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1. Drücke beide Vorgaben über r und θ aus:
  
  $r θ = 12, \frac{1}{2} r^{2} θ = 48$
2. Die Fläche entspricht dem halben Radius mal Bogenlänge, ½r·(rθ) = ½rs. So lässt sich der Radius direkt ohne θ berechnen:
  
  $\frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r \cdot r θ : 48 = \frac{1}{2} \times r \times 12 \Rightarrow r = 8 cm$
3. Anschließend folgt der Winkel aus dem Bogen:
  
  $θ = \frac{s}{r} = \frac{12}{8} = 1.5 rad \approx 85.9 4^{\circ}$
Antwort

r = 8 cm und θ = 1,5 rad, etwa 85,94°. Trägst du Radius 8 und Winkel 1,5 im Tool ein, liefert es genau den Bogen 12 und die Fläche 48 zurück.
Das von einer Sehne abgeschnittene Segment 3 Schritte
Eine Sehne in einem Kreis mit Radius 6 cm gehört zu einem Mittelpunktswinkel von 120°. Bestimme die Fläche des kleineren Kreissegments, exakt und auf drei signifikante Stellen.

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1. Zuerst umrechnen: Beide Flächenformeln verlangen den Winkel im Bogenmaß:
  
  $12 0^{\circ} = 120 \times \frac{π}{180} = \frac{2 π}{3}$
2. Das Segment ist der Sektor minus das Dreieck über den beiden Radien, dessen Fläche ½r² sin θ beträgt:
  
  $A = \frac{1}{2} r^{2} θ - \frac{1}{2} r^{2} sin θ = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{2 π}{3} - \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{3}{2}$
3. Vereinfache die beiden Teile und werte aus:
  
  $A = 12 π - 93 \approx 37.6991 - 15.5885 = 22.1107$
Antwort

12π − 9√3 cm², etwa 22,1 cm². Die Seite berechnet das als ½r²(θ − sin θ): dieselbe Differenz, nur mit ausgeklammertem ½r².

$A = 12 π - 93 \approx 22.1 c m^{2}$
sin 3° ohne Taschenrechner 3 Schritte
Schätze sin 3° ohne Taschenrechner ab und gib an, wie weit die Schätzung danebenliegt.

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1. Umrechnen: Die Näherung sin θ ≈ θ gilt ausschließlich im Bogenmaß:
  
  $3^{\circ} = 3 \times \frac{π}{180} = \frac{π}{60} \approx 0.0523599$
2. Für kleine Winkel entspricht der Sinus näherungsweise dem Winkel selbst:
  
  $sin 3^{\circ} \approx \frac{π}{60} \approx 0.05236$
3. Der erste vernachlässigte Summand ist −θ³/6. Die Schätzung ist also um etwa θ³/6 zu groß, was einem Bruchteil von θ²/6 des Ergebnisses entspricht:
  
  $\frac{θ ^{3}}{6} \approx 2.39 \times 1 0^{- 5}, \frac{θ ^{2}}{6} \approx 0.000457 \approx 0.046%$
Antwort

sin 3° ≈ 0,05236, rund 0,046% zu groß. Das Tool nennt den exakten Sinuswert 0,052336 und dieselben 0,046%.
Durchmesser des Mondes bei 0,5181° Sehwinkel und 384.400 km Abstand 6 Schritte
Der Mond nimmt am Himmel 0,5181° ein und ist 384.400 km entfernt. Berechne seinen Durchmesser und ermittle, was es dich kosten würde, die Einheit zu vergessen.

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1. Für kleine, weit entfernte Objekte lautet die Beziehung Größe = Abstand × Winkel, also s = rθ mit der Monddistanz als Radius. Sie setzt θ im Bogenmaß voraus.
  
  $s = r θ (θ in radians)$
2. Umrechnung: 0,5181 × π/180 = 0,0090426 Radiant.
  
  $0.518 1^{\circ} \times \frac{π}{180} = 0.0090426$
3. Multiplizieren: 384.400 × 0,0090426 = 3.476 km, verglichen mit einem gemessenen mittleren Durchmesser von 3.474,8 km.
  
  $384, 400 \times 0.0090426 = 3, 476 km$
4. Vergisst man nun die Umrechnung und multipliziert direkt mit 0,5181, erhält man 199.158 km – ein Mond, dessen Durchmesser mehr als die halbe Strecke von der Erde zum Mond ausmachen würde.
  
  $384, 400 \times 0.5181 = 199, 158 km$
5. Das Verhältnis beider Ergebnisse ist 57,30, also 180/π. Jede vergessene Umrechnung dieser Art weicht um exakt diesen Faktor ab, ganz gleich, um welche Zahlen es ging.
  
  $\frac{199 , 158}{3 , 476} = 57.30 = \frac{180}{π}$
6. Eine kurze Prüfung, bevor wir dem Ergebnis trauen: Die Formel behandelt den Monddurchmesser als Bogen statt als Sehne. Bei diesem winzigen Winkel unterscheiden sich beide auf 3.476 km um gerade einmal 12 Meter oder 3 zu einer Million. An dieser Näherung scheitert die Genauigkeit also nicht.
  
  $arc - chord = 12 m in 3, 476 km$
Antwort

3.476 km, und das Vergessen des Bogenmaßes kostet einen Faktor von 57,3. Was die vierte Stelle begrenzt, ist nicht die Geometrie, sondern die Datenkombination: Die Distanz des Mondes schwankt im Monatsverlauf zwischen rund 363.300 km und 405.500 km, ein Unterschied von 11%, und der Sehwinkel schwankt mit. Selbst ein mittlerer Winkel kombiniert mit einer mittleren Entfernung liegt um 1,2 km daneben – genau die Lücke zwischen den 3.476 oben und den gemessenen 3.474,8. Der Sehwinkel verhält sich nämlich wie 1/d, und der Mittelwert eines Kehrwerts ist nicht der Kehrwert des Mittelwerts. Kombinierst du denselben mittleren Winkel mit der tatsächlichen Entfernung von heute Nacht, liegst du im Perigäum schnell um 190 km daneben, obwohl die Rechnung mathematisch einwandfrei war. Die Gleichung weiß schließlich nicht, dass die beiden eingesetzten Zahlen aus völlig verschiedenen Momenten stammen.
Die Steigung des Sinus im Gradmaß 4 Schritte
Ein Taschenrechner im Gradmaß berechnet f(x) = sin x mit x in Grad. Bestimme f′(60) und vergleiche den Wert mit der Steigung des Sinus bei π/3 Radiant.

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1. x Grad entsprechen πx/180 Radiant, f ist folglich der Sinus einer umskalierten Variablen:
  
  $f (x) = sin x^{\circ} = sin \frac{π x}{180}$
2. Das Umrechnen der Achse skaliert jede Steigung um denselben Faktor π/180:
  
  $f^{'} (x) = \frac{π}{180} cos \frac{π x}{180} = \frac{π}{180} cos x^{\circ}$
3. Bei x = 60 ist cos 60° = ½:
  
  $f^{'} (60) = \frac{π}{180} \times \frac{1}{2} = \frac{π}{360} \approx 0.008727$
4. Derselbe Punkt im Bogenmaß lautet π/3 mit der Steigung cos(π/3) = ½. Die beiden Resultate unterscheiden sich einzig durch den Faktor π/180:
  
  $\frac{d}{d θ} sin θ_{θ = π /3} = cos \frac{π}{3} = \frac{1}{2}$
Antwort

f′(60) = π/360 ≈ 0,008727 pro Grad, gegenüber ½ pro Radiant.

$f^{'} (60) = \frac{π}{360} \approx 0.008727$
θ liegt zwischen Sinus und Tangens, aber nicht in der Mitte 6 Schritte
Bei 10° gibt das Feld einen Bogen von 0,174533, einen Sinus von 0,173648 und einen Fehler von 0,51% aus. Berechne, wo der Tangens desselben Winkels liegt, und entscheide, ob 0,51% das Beste ist, was sich aus diesen beiden Zahlen herausholen lässt.

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1. Zehn Grad entsprechen 10 × π/180 = 0,174533 Radiant. Auf einem Kreis mit Radius 1 ist der Bogen gleich dem Winkel: Genau das besagt s = rθ.
  
  $θ = 1 0^{\circ} \times \frac{π}{180} = 0.174533 rad, s = r θ = θ (r = 1)$
2. Der Sinus bleibt mit 0,173648 etwas dahinter zurück. Das Panel teilt den Fehlbetrag durch den Sinus und meldet 0,51%.
  
  $sin θ = 0.173648, \frac{θ - sin θ}{sin θ} = \frac{0.000885}{0.173648} = 0.51%$
3. Diese Abweichung lässt sich vorhersagen: Wegen sin θ = θ − θ³/6 + … sollte θ − sin θ etwa θ³/6 = 0,000886 betragen, verglichen mit gemessenen 0,000885.
  
  $sin θ = θ - \frac{θ ^{3}}{6} + \dots ⟹ θ - sin θ \approx \frac{θ ^{3}}{6} = 0.000886$
4. Der Tangens schießt mit einem Term gleicher Bauart über das Ziel hinaus, allerdings mit doppeltem Koeffizienten: tan θ = θ + θ³/3 + …, was tan θ − θ = 0,001794 ergibt. Zusammen gilt sin θ < θ < tan θ. Diese Schachtelung ist genau der Sandwich-Satz, der beweist, dass die Steigung des Sinus bei 0 im Bogenmaß exakt 1 ist; die Seite zeigt davon nur die untere Hälfte.
  
  $tan θ = θ + \frac{θ ^{3}}{3} + \dots = 0.176327 ⟹ tan θ - θ = 0.001794 \approx \frac{θ ^{3}}{3}$
5. Die Schranken sind nicht symmetrisch: Der Tangens schießt 2,03-mal so weit über das Ziel hinaus, wie der Sinus zu kurz greift. Deshalb liegt θ nicht auf halber Strecke, sondern bei einem Drittel des Weges vom Sinus zum Tangens.
  
  $sin θ < θ < tan θ, \frac{tan θ - θ}{θ - sin θ} = 2.03 ⟹ θ lies one third of the way up$
6. Gewichtet man beide in genau diesem Verhältnis, heben sich die kubischen Terme vollständig auf, da 2(−⅙) + ⅓ = 0 gilt. Damit ist (2 sin θ + tan θ)/3 = 0,1745411 mit einer Abweichung von nur 8,2 × 10⁻⁶ oder 0,0047% – mehr als hundertmal näher am echten Wert als der Sinus allein, gewonnen aus denselben zwei Zahlen.
  
  $2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3} = 0 : \frac{2 sin θ + tan θ}{3} = 0.1745411, out by 8.2 \times 1 0^{- 6} = 0.0047%$
Antwort

Der Tangens landet bei 0,176327 auf der anderen Seite des Bogens, und 0,51% sind weit entfernt vom Optimum. Diese Gewichtung hat unter anderem Namen eine lange Tradition: Ein regelmäßiges Vieleck im Kreis besitzt den Umfang 2n sin(π/n) und das umbeschriebene 2n tan(π/n). Das sind derselbe Sinus und Tangens bei θ = π/n; teilt man durch den Durchmesser, ergeben sich die klassischen Schranken für π. Bei 96 Seiten lauten diese 3,14103195 und 3,14271460, was π für sich genommen auf 3,14 festlegt. Kombiniert man sie jedoch zu (2 × 3,14103195 + 3,14271460)/3, erhält man 3,14159283 gegenüber dem wahren Wert 3,14159265. Der Tangens steckte von Anfang an im mathematischen Modell des Tools; eine eigene Karte bekommt aber nur der Sinus, weil der Physikunterricht nun einmal nach der Kleinwinkelnäherung verlangt.

$n = 96 : \frac{2 ( 3.14103195 ) + 3.14271460}{3} = 3.14159283 (π = 3.14159265)$

Die Ableitung des Sinus ist nur im Bogenmaß der Kosinus 🖖

Tippe auf Wovon die Steigungsrechnung abhängt. Bei θ = 0 beträgt die Steigung des Sinus im Bogenmaß genau 1. Wechsle nun die Winkeleinheit: Derselbe Punkt auf derselben Kurve liefert 0,017453. Ein Grad ist ein kleinerer Winkelschritt als ein Radiant, daher wächst der Sinus pro Winkeleinheit entsprechend weniger. Die einfache Regel d/dx sin x = cos x gilt also nur im Bogenmaß. Dasselbe gilt für die Sinusreihe, jeden Fourier-Term und die unten gezeigte Kleinwinkelnäherung. Eine Analysis mit Gradmaß ist durchaus möglich, doch der Umrechnungsfaktor bleibt überall erhalten: Die erste Ableitung enthält π/180, die zweite dessen Quadrat, ein Integral den Kehrwert. Deshalb verwendet sie niemand.

Die Näherung hält deutlich länger stand, als man vermuten würde 🖖

Für kleine Winkel gilt sin θ ≈ θ. Der nächste Summand der Reihe lautet −θ³/6. Der relative Fehler wächst also wie θ²/6 mit dem Quadrat des Winkels, was ihn lange Zeit winzig hält. Bei 1° weicht er um 0,005% ab, bei 5° um 0,127% und selbst bei 10° erst um 0,51%. Gehst du weiter auf 30°, bricht die Näherung bei 4,72% allmählich ein. Ein Pendel nutzt genau diesen Spielraum: Seine Bewegungsgleichung wird erst dann harmonisch, wenn sin θ durch θ ersetzt wird. Eine echte Pendeluhr geht deshalb umso langsamer, je weiter sie ausschlägt, und zwar um einen Bruchteil, der ebenfalls mit dem Quadrat des Winkels anwächst.

Lernpfad

Warum aus der Nähe alles gerade aussieht

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.