Warum Winkel im Bogenmaß gemessen werden

Der Mond nimmt am Himmel einen Winkel von 0,5181° ein und ist 384.400 km entfernt. Berechne seinen Durchmesser und finde heraus, welcher Fehler entsteht, wenn du die Einheit vergisst.

1. Die Formel für ein kleines, weit entferntes Objekt lautet Größe = Entfernung × Winkel. Das entspricht s = rθ, wobei die Entfernung des Mondes der Radius ist. Dafür muss θ im Bogenmaß vorliegen.

   $$s=r\theta (\theta \text{ in radians})$$

2. Rechne um: 0,5181 × π/180 = 0,0090426 Radiant.

   $$0.5181^{\circ }\times \frac{\pi }{180}=0.0090426$$

3. Multipliziere nun. 384.400 × 0,0090426 = 3.476 km. Dem steht ein gemessener mittlerer Durchmesser von 3.474,8 km gegenüber.

   $$384,400\times 0.0090426=3,476\text{ km}$$

4. Vergiss jetzt testweise die Umrechnung und multipliziere direkt mit dem reinen Wert 0,5181. Das ergibt 199.158 km. Ein Mond dieser Größe würde fast an eine zweite Erde-Mond-Distanz heranreichen.

   $$384,400\times 0.5181=199,158\text{ km}$$

5. Das Verhältnis dieser beiden Ergebnisse ist 57,30. Das entspricht genau 180/π. Jede vergessene Umrechnung dieser Art weicht exakt um diesen Faktor ab, völlig unabhängig von den Ausgangszahlen.

   $$\frac{199,158}{3,476}=57.30=\frac{180}{\pi }$$

6. Eine kurze Überprüfung, bevor du dem Ergebnis vertraust. Die Formel behandelt den Monddurchmesser als Bogen und nicht als gerade Strecke durch ihn hindurch. Bei diesem Winkel unterscheiden sich diese beiden Werte auf 3.476 km um gerade einmal 12 Meter. Das sind 3 Teile von einer Million. Die Näherung ist also definitiv nicht das, was die Genauigkeit einschränkt.

   $$\text{arc}-\text{chord}=12\text{ m in }3,476\text{ km}$$

Bei 10° zeigt das Feld einen Bogen von 0,174533, einen Sinus von 0,173648 und einen Fehler von 0,510 %. Rechne aus, wo der Tangens desselben Winkels liegt, und entscheide, ob 0,510 % das Beste ist, was diese beiden Zahlen leisten können.

1. Zehn Grad sind 10 × π/180 = 0,174533 Radiant, und auf einem Kreis mit Radius 1 ist der Bogen gleich dem Winkel. Mehr steckt in s = rθ nicht.

   $$\theta =10^{\circ }\times \frac{\pi }{180}=0.174533\mathrm{rad},s=r\theta =\theta (r=1)$$

2. Der Sinus fällt mit 0,173648 ein wenig zu kurz aus. Das Feld teilt diesen Fehlbetrag durch den Sinus und meldet 0,510 %.

   $$\sin \theta =0.173648,\frac{\theta -\sin \theta }{\sin \theta }=\frac{0.000885}{0.173648}=0.510\%$$

3. Der Fehlbetrag hat eine Größe, die sich vorhersagen lässt. Es gilt sin θ = θ − θ³/6 + …, also sollte θ − sin θ etwa θ³/6 = 0,000886 betragen; gemessen sind es 0,000885.

   $$\sin \theta =\theta -\frac{{\theta }^3}{6}+\cdots ⟹\theta -\sin \theta \approx \frac{{\theta }^3}{6}=0.000886$$

4. Der Tangens schießt mit demselben Glied über das Ziel hinaus, nur mit dem doppelten Koeffizienten: tan θ = θ + θ³/3 + … ergibt tan θ − θ = 0,001794. Zusammen also sin θ < θ < tan θ. Diese Klammer ist der Einschnürungssatz, der beweist, dass die Steigung des Sinus bei null im Bogenmaß exakt 1 ist, und die Seite druckt davon nur die untere Hälfte.

   $$\tan \theta =\theta +\frac{{\theta }^3}{3}+\cdots =0.176327⟹\tan \theta -\theta =0.001794\approx \frac{{\theta }^3}{3}$$

5. Die Klammer ist nicht symmetrisch. Der Tangens schießt 2,03-mal so weit hinaus, wie der Sinus zu kurz kommt, also liegt θ ein Drittel des Weges vom Sinus zum Tangens und nicht auf halbem Weg.

   $$\sin \theta <\theta <\tan \theta ,\frac{\tan \theta -\theta }{\theta -\sin \theta }=2.03⟹\theta \text{lies one third of the way up}$$

6. Gewichte die beiden in diesem Verhältnis, und die kubischen Glieder heben sich vollständig auf, denn 2(−⅙) + ⅓ = 0. So ergibt (2 sin θ + tan θ)/3 = 0,1745411, daneben um 8,2 × 10⁻⁶ oder 0,0047 %: mehr als hundertmal näher als der Sinus allein, aus denselben zwei Zahlen.

   $$2\left(-\frac{1}{6}\right)+\frac{1}{3}=0:\frac{2\sin \theta +\tan \theta }{3}=0.1745411,\text{out by }8.2\times 10^{-6}=0.0047\%$$