Partielle Ableitungen und der Gradient

Zieh den Punkt über die Höhenlinienkarte. Die beiden partiellen Ableitungen geben die Steigungen in Richtung der Koordinatenachsen an. Dreh am Richtungsregler: „Steigung in dieser Richtung“ zeigt dir, wie steil es wäre, wenn du in die gewählte Richtung gehst.

Die partielle Ableitung	$f_{x} (x, y) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h , y ) - f ( x , y )}{h}$
Die Steigung in Richtung u	$D_{u} f = \nabla f \cdot u = ∣\nabla f ∣ cos (θ - θ_{g}) ∣\nabla f ∣ = f_{x}^{2} + f_{y}^{2}$
Die Tangentialebene	$z = f (a, b) + f_{x} (a, b) (x - a) + f_{y} (a, b) (y - b)$
Das Hesse-Kriterium an einer Stelle mit ∇f = 0 (D < 0: Sattelpunkt)	$D = f_{xx} f_{y y} - f_{x y}^{2} D > 0, f_{xx} > 0 : min D > 0, f_{xx} < 0 : max$

Rechenbeispiel — Partielle Ableitungen und der Gradient

Höhe	3,5
∂f/∂x	3,000
∂f/∂y	4,000
Steilste Steigung \|∇f\|	5,000
Steilste Richtung	53,1°
Steigung in diese Richtung	3,000
Tangentialebene	3x + 4y − 3,5

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Lektion

Die Theorie — Partielle Ableitungen und der Gradient

Eine partielle Ableitung von f(x, y) erhältst du, indem du nach einer Variablen ableitest und die andere dabei festhältst. f_x beschreibt die Steigung der Fläche, wenn du in x-Richtung gehst, f_y die Steigung in y-Richtung.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

∇f: der Gradient, also der Vektor (f_x, f_y)
θ: der Richtungswinkel in Grad, von Osten aus gemessen
D: die Diskriminante f_xx f_yy − f_xy²

Woher die Formel kommt

Halte eine Variable fest. Für f_x behandelst du y als Konstante und leitest wie gewohnt ab. Für f_y hältst du entsprechend x fest.
$f = 1.5 x^{2} + 2 y^{2} : f_{x} = 3 x, f_{y} = 4 y$
Der Gradient. Die beiden partiellen Ableitungen bilden den Vektor ∇f. Er zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs, auf der Karte als farbiger Pfeil dargestellt. Seine Länge ist die größte Steigung.
$\nabla f = (f_{x}, f_{y}), ∣\nabla f ∣ = f_{x}^{2} + f_{y}^{2}$
Eine beliebige Richtung. Die Steigung in Richtung θ ist das Skalarprodukt des Gradienten mit dem Einheitsvektor in dieser Richtung. Du multiplizierst also die größte Steigung mit dem Kosinus des Winkels zur Gradientenrichtung. In Tangentenrichtung zur Höhenlinie ergibt sich 0.
$D_{u} f = f_{x} cos θ + f_{y} sin θ = ∣\nabla f ∣ cos (θ - θ_{g})$
Die Tangentialebene. In der Nähe eines Punktes lässt sich die Fläche durch eine Ebene annähern. Deren Steigungen in den Achsenrichtungen sind die beiden partiellen Ableitungen. Sie übernimmt bei zwei Variablen die Rolle der Tangente auf der Seite zur Ableitung.
$z = f (a, b) + f_{x} (a, b) (x - a) + f_{y} (a, b) (y - b)$
Wenn beide partiellen Ableitungen 0 sind. Dann liegt ein stationärer Punkt vor. Die Diskriminante D hilft bei der Einordnung: Für D > 0 und f_xx > 0 liegt ein Minimum vor, für D > 0 und f_xx < 0 ein Maximum. D < 0 kennzeichnet einen Sattelpunkt. Bei D = 0 liefert das Kriterium keine Entscheidung.
$D = f_{xx} f_{y y} - f_{x y}^{2}$

Aufgaben vollständig gelöst

Erste und zweite partielle Ableitungen 4 Schritte
Bestimme für f(x, y) = x³y² − 2xy + y³ die Werte von f_x, f_y und den drei zweiten partiellen Ableitungen an der Stelle (1, 2). Prüfe, ob die beiden gemischten Ableitungen übereinstimmen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Für f_x behandelst du y als Konstante, für f_y entsprechend x:
  
  $f_{x} = 3 x^{2} y^{2} - 2 y, f_{y} = 2 x^{3} y - 2 x + 3 y^{2}$
2. An der Stelle (1, 2):
  
  $f_{x} (1, 2) = 12 - 4 = 8, f_{y} (1, 2) = 4 - 2 + 12 = 14$
3. Leite noch einmal ab. Bei der gemischten Ableitung kannst du die Reihenfolge frei wählen:
  
  $f_{xx} = 6 x y^{2}, f_{y y} = 2 x^{3} + 6 y, f_{x y} = (f_{x})_{y} = 6 x^{2} y - 2 = (f_{y})_{x} = f_{y x}$
4. An der Stelle (1, 2):
  
  $f_{xx} (1, 2) = 24, f_{y y} (1, 2) = 14, f_{x y} (1, 2) = f_{y x} (1, 2) = 10$
Antwort

f_x = 8, f_y = 14, f_xx = 24, f_yy = 14 und f_xy = f_yx = 10. Sind die gemischten partiellen Ableitungen stetig, stimmen sie überein. Das besagt der Satz von Schwarz, der auch als Satz von Clairaut bekannt ist. Bei Polynomen ist diese Voraussetzung überall erfüllt.
Steigung in einer vorgegebenen Richtung und größtmögliche Steigung 4 Schritte
Bestimme für f(x, y) = x²y + y³ die Änderungsrate an der Stelle (2, 1) in Richtung des Vektors (3, 4). Bestimme außerdem die größte Änderungsrate an dieser Stelle und die zugehörige Richtung.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Berechne zunächst den Gradienten:
  
  $\nabla f = (2 x y, x^{2} + 3 y^{2}) \Rightarrow \nabla f (2, 1) = (4, 7)$
2. Für die Richtungsableitung brauchst du einen Einheitsvektor. Der Vektor (3, 4) hat die Länge 5:
  
  $u = \frac{1}{5} (3, 4) = (0.6, 0.8), θ = atan2 (4, 3) = 53.1 3^{\circ}$
3. Die Richtungsableitung ist das Skalarprodukt:
  
  $D_{u} f = 4 (0.6) + 7 (0.8) = 2.4 + 5.6 = 8$
4. Die größte Änderungsrate ist der Betrag des Gradienten. Sie wird in seiner Richtung erreicht:
  
  $∣\nabla f ∣ = 4^{2} + 7^{2} = 65 = 8.062, θ_{g} = atan2 (7, 4) = 60. 3^{\circ}$
Antwort

In Richtung (3, 4) beträgt die Änderungsrate 8; ihr größter Wert ist √65 = 8,062 in Richtung 60,3°. Vergisst du, (3, 4) durch seine Länge zu teilen, erhältst du 40, also das Fünffache. Das ist der häufigste Fehler bei dieser Aufgabe.
Tangentialebene und Näherungswert 3 Schritte
Bestimme die Tangentialebene an z = √(x² + y²) an der Stelle (3, 4). Berechne damit einen Näherungswert für √(3,02² + 3,97²).

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. An der Stelle (3, 4) beträgt die Höhe 5. Die partiellen Ableitungen lauten x/√(x² + y²) und y/√(x² + y²):
  
  $f (3, 4) = 5, f_{x} = \frac{3}{5} = 0.6, f_{y} = \frac{4}{5} = 0.8$
2. Aus der Höhe und den beiden Steigungen erhältst du die Tangentialebene:
  
  $z = 5 + 0.6 (x - 3) + 0.8 (y - 4) = 0.6 x + 0.8 y$
3. An der Stelle (3,02; 3,97):
  
  $z = 0.6 (3.02) + 0.8 (3.97) = 1.812 + 3.176 = 4.988$
Antwort

Die Tangentialebene lautet z = 0,6x + 0,8y. Sie liefert den Näherungswert 4,988; der tatsächliche Wert beträgt 4,988116. In der Nähe von (3, 4) lässt sich die Fläche gut durch eine Ebene annähern. Die Tangentialebene folgt ihr dort so, wie die Tangente auf der Seite zur Ableitung einer Kurve folgte.
Stationäre Punkte und das Hesse-Kriterium 3 Schritte
Bestimme die stationären Punkte von f(x, y) = x³ + y³ − 3xy und untersuche, welche Art von Punkt jeweils vorliegt.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Setze beide partiellen Ableitungen gleich 0:
  
  $f_{x} = 3 x^{2} - 3 y = 0, f_{y} = 3 y^{2} - 3 x = 0$
2. Aus der ersten Gleichung folgt y = x². Eingesetzt in die zweite ergibt das x⁴ = x, also x = 0 oder x = 1:
  
  $y = x^{2} \Rightarrow x^{4} = x \Rightarrow x (x^{3} - 1) = 0 \Rightarrow (0, 0), (1, 1)$
3. Die zweiten partiellen Ableitungen sind f_xx = 6x, f_yy = 6y und f_xy = −3. Wende das Kriterium auf beide Punkte an:
  
  $D (0, 0) = 0 \cdot 0 - (- 3)^{2} = - 9 < 0, D (1, 1) = 6 \cdot 6 - (- 3)^{2} = 27 > 0, f_{xx} = 6 > 0$
Antwort

(0, 0) ist ein Sattelpunkt und (1, 1) ein lokales Minimum mit f(1, 1) = −1. Ein globales Minimum liegt dort nicht vor: Entlang der Geraden y = x gilt f = 2x³ − 3x². Für x → −∞ fällt dieser Ausdruck unbegrenzt.
Ein Hang mit 3 Metern Anstieg nach Osten und 4 Metern nach Norden 6 Schritte
Du stehst an einem Hang. Nach Osten steigt das Gelände um 3 Meter je 100 Meter waagerechter Strecke, nach Norden um 4 Meter je 100 Meter. Wie steil ist der Hang, in welche Richtung fällt er ab, und in welche Richtung muss eine Straße verlaufen, damit sie mit der halben maximalen Steigung ansteigt?

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Die beiden Messwerte sind die partiellen Ableitungen. Mit 3 und 4 je 100 lässt sich übersichtlicher rechnen als mit 0,03 und 0,04. Am Ergebnis ändert diese Schreibweise nichts.
  
  $f_{x} = 3, f_{y} = 4$
2. Die größte Steigung ist der Betrag des Gradienten. Du erhältst sie weder durch Addieren der beiden Werte noch durch Auswahl des größeren. Aus 3 und 4 ergibt sich nach Pythagoras 5. Diese Steigung spürst du, wenn du den steilsten Weg bergauf gehst.
  
  $∣\nabla f ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$
3. Die zugehörige Richtung ist atan2(4, 3), also 53,1° von Osten aus gemessen. Bergab geht es genau entgegengesetzt, bei 233,1°. In keiner dieser beiden Richtungen wurde gemessen.
  
  $θ_{g} = atan2 (4, 3) = 53.1 3^{\circ}$
4. Für eine Straße mit einer Steigung von 2,5 je 100 löst du die Beziehung nach dem Winkel auf. Weicht ihre Richtung um θ vom steilsten Anstieg ab, beträgt ihre Steigung 5 cos θ. Also gilt cos θ = 2,5/5 und damit θ = 60°.
  
  $D_{u} f = ∣\nabla f ∣ cos θ \Rightarrow cos θ = \frac{2.5}{5}, θ = 6 0^{\circ}$
5. Die Straße muss also um 60° vom steilsten Anstieg abweichen. Bei 45° hätte sie noch eine Steigung von 3,54 je 100. Das sind 71% der größten Steigung und damit deutlich mehr als die Hälfte.
  
  $5 cos 4 5^{\circ} = 3.54 (71% of 5)$
6. Aus derselben Kosinusbeziehung ergibt sich auch die Weglänge. Bei halber Steigung brauchst du die doppelte waagerechte Strecke, um denselben Höhenunterschied zu überwinden, solange die Steigung gleich bleibt. Dieser Faktor 2 erklärt die längeren Wege über die Serpentinen einer Bergstraße.
  
  $length \propto 1/ cos 6 0^{\circ} = 2$
Antwort

Die größte Steigung beträgt 5 m je 100 m. Der Hang steigt in Richtung 53,1° an und fällt in Richtung 233,1° ab. Eine Straße mit durchgehend 2,5 m Steigung je 100 m muss um 60° vom steilsten Anstieg abweichen; für denselben Höhengewinn ist die Strecke doppelt so lang. Den ersten Teil beantwortet das Werkzeug: Du wählst eine Richtung und erhältst die Steigung. Beim zweiten Teil suchst du umgekehrt zu einer vorgegebenen Steigung die passende Richtung. Genau diese Frage stellt sich beim Straßenbau, bei den Vorgaben für barrierefreie Rampen und bei der Einstufung von Skipisten: Welche Richtung kommt bei der zulässigen Steigung infrage?
Eine Richtung ohne Steigung: Wie lange bleibt der Weg eben? 6 Schritte
Auf der Fläche 1,5x² + 2y² zeigt die Anzeige am Punkt (1, 1) für die Richtung 143,1° eine Steigung von 0,000. Berechne, wie sich die Höhe entwickelt, wenn du geradeaus in dieser Richtung weitergehst. Kannst du so auf derselben Höhe bleiben?

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Die Richtung liegt eine Vierteldrehung neben dem steilsten Anstieg bei 53,1°. Die beiden Summanden im Skalarprodukt betragen −2,4 und +2,4. Deshalb zeigt die Steigungsanzeige 0,000.
  
  $D_{u} f = 3 cos 143.1 3^{\circ} + 4 sin 143.1 3^{\circ} = 3 (- 0.8) + 4 (0.6) = 0$
2. Eine Steigung von null sagt zunächst nur etwas über die erste Ableitung aus. Berechne auch die zweite Ableitung in derselben Richtung. Sie ist eine quadratische Form aus den drei zweiten partiellen Ableitungen, in die wieder Kosinus und Sinus des Richtungswinkels eingehen.
  
  $D_{u}^{2} f = f_{xx} cos^{2} θ + 2 f_{x y} cos θ sin θ + f_{y y} sin^{2} θ$
3. Für diese Fläche gilt f_xx = 3, f_yy = 4, und die gemischte partielle Ableitung ist 0. In der Richtung mit Steigung null beträgt die zweite Ableitung daher 3,36. Sie ist positiv: Das Gelände krümmt sich nach oben.
  
  $= 3 (0.64) + 0 + 4 (0.36) = 1.92 + 1.44 = 3.36$
4. Der Höhenverlauf entlang dieser Geraden ist also eine Parabel. Ihr tiefster Punkt liegt genau dort, wo du stehst. Nach 0,5 Einheiten ist die Höhe um 0,42 gestiegen, von 3,5 auf 3,92. Genau diese Kurve zeigt die Schnittansicht.
  
  $f (s) \approx 3.5 + \frac{1}{2} (3.36) s^{2} = 3.5 + 1.68 s^{2}; s = 0.5 : 3.92$
5. Daraus lässt sich die Krümmung der Höhenlinie bestimmen. Die Kurve, auf der die Höhe tatsächlich gleich bleibt, biegt von der Tangente ab. Ihre Krümmung ist die zweite Ableitung in Tangentenrichtung geteilt durch den Gradientenbetrag: 0,672. Das entspricht einem Krümmungsradius von 1,488.
  
  $κ = \frac{D _{u}^{2} f}{∣\nabla f ∣} = \frac{3.36}{5} = 0.672, R = \frac{1}{κ} = 1.488$
6. Mit der üblichen Krümmungsformel für Niveaulinien erhältst du denselben Wert direkt aus den partiellen Ableitungen, ohne einen Richtungswinkel einzusetzen. Beide Rechenwege ergeben exakt 84/125.
  
  $κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{3 ( 16 ) + 4 ( 9 )}{125} = \frac{84}{125}$
Antwort

Nein. Nur am Ausgangspunkt ist die Steigung in dieser Richtung null; danach geht es bergauf. Nach 0,5 Einheiten hast du bereits 0,42 an Höhe gewonnen, obwohl die Näherung mit der ersten Ableitung 0 ergeben hätte. Die beiden Richtungen mit Steigung null verlaufen entlang der Tangente an die Höhenlinie. Willst du auf derselben Höhe bleiben, musst du der gekrümmten Höhenlinie folgen und deine Richtung ständig ändern. Ihr Krümmungsradius beträgt an diesem Punkt 1,488. Die Anzeige liefert dir die Tangente; an der Krümmung erkennst du, wie schnell diese Näherung ungenau wird.

$κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{84}{125} = 0.672$

Der Berg ist steiler als alles, was du gemessen hast 🖖

Stell dich auf der Fläche 1,5x² + 2y² an den Punkt (1, 1). Nach Osten hat das Gelände die Steigung 3, nach Norden die Steigung 4. Am steilsten geht es hier in Richtung 53,1° bergauf, mit der Steigung 5. Diese Richtung hast du bei keinem der beiden Wege eingeschlagen. Eine partielle Ableitung beschreibt nur die Steigung entlang einer Achse. Wie die Achsen liegen, hängt davon ab, wie jemand das Koordinatensystem gewählt hat. Die beiden Steigungen werden über den Satz des Pythagoras verknüpft. Die größte Steigung beträgt also √(f_x² + f_y²). Sie ist mindestens so groß wie jeder der beiden Beträge und sogar größer als beide, solange keiner null ist. Der relative Unterschied ist am größten, wenn beide Beträge gleich sind: Misst du entlang jeder Achse die Steigung 1, beträgt die größte Steigung tatsächlich 1,414. Das sind 41% mehr, als jede einzelne Messung ergeben hat.

Alle Richtungen auf einmal, und es ist ein einziger Kosinus 🖖

Dreh den Regler einmal ganz herum und beobachte die Steigungsanzeige. Ihre Werte folgen einer Kosinusfunktion: |∇f| cos(θ − θ_g), wobei θ_g die Richtung des steilsten Anstiegs bezeichnet. Damit ist das Verhalten einer glatten Fläche an einem Punkt in erster Ordnung vollständig beschrieben. Wo der Gradient ungleich null ist, gibt es genau zwei Richtungen mit Steigung null. Beide liegen jeweils eine Vierteldrehung von der Richtung des steilsten Anstiegs entfernt und verlaufen tangential zur Höhenlinie. Deshalb kreuzt der steilste Weg bergauf die Höhenlinien im rechten Winkel, und deshalb lässt sich eine Höhenlinienkarte so schnell erfassen. Der Kosinus erklärt auch, warum eine vermeintliche Abkürzung wenig bringt. Bei einer Abweichung von 45° vom steilsten Anstieg beträgt die Steigung noch 71% des Gradientenbetrags. Mit einem schrägen Weg über den Hang verringerst du die Steigung also deutlich weniger, als du vielleicht erwartest.

Waagerecht in beide Richtungen ist nicht der Gipfel 🖖

Drück auf Weder Hoch- noch Tiefpunkt. Für x² − y² sind im Ursprung beide partiellen Ableitungen null, trotzdem liegt dort weder ein Maximum noch ein Minimum: Entlang der x-Achse bildet der Punkt die Talsohle, entlang der y-Achse den höchsten Punkt eines Rückens. Drück nun auf Beide Achsen waagerecht für die Fläche xy. Hier verlaufen beide Achsen exakt waagerecht; das Schnittdiagramm zeigt bei 0° und bei 90° jeweils eine horizontale Gerade. Dennoch ist der Punkt ein Sattelpunkt. Anstieg und Abstieg liegen auf den Diagonalen, wo zunächst niemand gesucht hat. Unterscheiden lassen sich die Fälle durch die Diskriminante f_xxf_yy − f_xy². Für die erste Fläche beträgt sie −4, für die zweite −1: Ein negativer Wert bedeutet Sattelpunkt, ein positiver Wert Hoch- oder Tiefpunkt; welches von beiden vorliegt, zeigt anschließend das Vorzeichen von f_xx. Bei x³ − 3xy² ergibt die Diskriminante 0, sodass der Test keine Aussage liefert. Von diesem Ursprung gehen drei ansteigende und drei abfallende Keile aus. Die zweiten Ableitungen der Rechnung erfassen sie nicht.

Lernpfad

Warum aus der Nähe alles gerade aussieht

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.