Partielle Ableitungen und der Gradient

Ziehe den Punkt über die Höhenlinienkarte. Die zwei partiellen Ableitungen sind die Steigungen entlang der Achsen. Wenn du den Regler für die Richtung drehst, zeigt dir der letzte Wert die Steigung, die du spüren würdest, wenn du in diese Richtung gehst.

Rechenbeispiel — Partielle Ableitungen und der Gradient

∂f/∂x	3,000
∂f/∂y	4,000
Steilste Steigung \|∇f\|	5,000
Steilste Richtung	53,1°
Steigung in diese Richtung	3,000

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Der Berg ist steiler als alles, was du gemessen hast 🖖

Stell dich auf (1, 1) bei der Fläche 1,5x² + 2y². Geh genau nach Osten und der Boden steigt um 3 an. Geh nach Norden und er steigt um 4 an. Keine dieser Richtungen entspricht der steilsten Steigung an diesem Punkt. Diese beträgt nämlich 5 bei einer Richtung von 53,1°, und genau dort bist du nicht entlanggegangen. Eine partielle Ableitung ist nur die Steigung entlang einer Achse und sonst nichts. Die Ausrichtung der Achsen ist reiner Zufall – es kommt ganz darauf an, wie jemand das Koordinatensystem festgelegt hat. Verknüpft werden die Werte nicht durch Addition, sondern durch den Satz des Pythagoras. Die steilste Steigung ist somit √(f_x² + f_y²). Dieses Ergebnis kann nie kleiner sein als einer der Einzelwerte. Es ist sogar immer strikt größer, solange keiner von beiden null ist. Am größten ist die Abweichung, wenn beide Werte gleich sind. Misst du entlang jeder Achse den Wert 1, steigt der Boden tatsächlich um 1,414 an. Das sind 41% mehr, als die einzelnen Messungen gezeigt haben.

Alle Richtungen auf einmal, und es ist ein einziger Kosinus 🖖

Dreh den Regler einmal ganz herum und beobachte die angezeigte Steigung. Sie folgt einem Kosinus: |∇f| cos(θ − θ_g), wobei θ_g die Richtung des steilsten Anstiegs bezeichnet. Damit ist das Verhalten einer glatten Fläche in einem Punkt vollständig beschrieben. Eine Folgerung siehst du auf der Karte: Ist der Gradient nicht null, gibt es zwei Richtungen ohne jede Steigung, jeweils eine Vierteldrehung seitlich der steilsten Richtung. Beide verlaufen entlang der Höhenlinie. Deshalb kreuzt der steilste Weg auf einen Hügel die Höhenlinien rechtwinklig, und deshalb lässt sich eine Höhenlinienkarte so schnell erfassen. Derselbe Kosinus widerlegt auch eine naheliegende Abkürzung. Bei einer Abweichung von 45° von der steilsten Linie steigst du noch mit 71 % des vollen Gradienten auf, nicht mit der Hälfte. Eine schräge Abkürzung am Hang spart also weit weniger, als es den Anschein hat.

Waagerecht in beide Richtungen ist nicht der Gipfel 🖖

Drück auf Weder Hoch- noch Tiefpunkt. Für x² − y² sind im Ursprung beide partiellen Ableitungen null, trotzdem liegt dort weder ein Maximum noch ein Minimum: Entlang der x-Achse bildet der Punkt die Talsohle, entlang der y-Achse den höchsten Punkt eines Rückens. Drück nun auf Beide Achsen waagerecht für die Fläche xy. Hier verlaufen beide Achsen exakt waagerecht; das Schnittdiagramm zeigt bei 0° und bei 90° jeweils eine horizontale Gerade. Dennoch ist der Punkt ein Sattelpunkt. Anstieg und Abstieg liegen auf den Diagonalen, wo zunächst niemand gesucht hat. Unterscheiden lassen sich die Fälle durch die Diskriminante f_xxf_yy − f_xy². Für die erste Fläche beträgt sie −4, für die zweite −1: Ein negativer Wert bedeutet Sattelpunkt, ein positiver Wert Hoch- oder Tiefpunkt; welches von beiden vorliegt, zeigt anschließend das Vorzeichen von f_xx. Bei x³ − 3xy² ergibt die Diskriminante 0, sodass der Test keine Aussage liefert. Von diesem Ursprung gehen drei ansteigende und drei abfallende Keile aus. Die zweiten Ableitungen der Rechnung erfassen sie nicht.

Aufgaben vollständig gelöst

Steilheit eines Hangs, der 3 Meter nach Osten und 4 Meter nach Norden ansteigt 6 Schritte
Du stehst an einem Hang, wo der Boden auf 100 Meter Wegstrecke in Richtung Osten um 3 Meter ansteigt, und auf 100 Meter in Richtung Norden um 4 Meter. Wie steil ist der Hang, in welche Richtung fällt er ab, und welche Richtung muss eine Straße einschlagen, um mit der Hälfte dieser Steigung hinaufzuführen?
1. Diese beiden Messungen sind die partiellen Ableitungen. Sie als 3 und 4 pro hundert stehen zu lassen, liest sich einfacher als 0,03 und 0,04 und ändert an der Sache nichts.
  
  $f_{x} = 3, f_{y} = 4$
2. Die steilste Steigung ist die Länge des Gradienten. Diese ist weder die Summe der Teile noch der größere der beiden Werte. Drei und vier ergeben fünf, und fünf ist genau das, was ein Wanderer spürt.
  
  $∣\nabla f ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 5$
3. Ihre Richtung ist atan2(4, 3), was 53,1° ab Osten gemessen entspricht. Bergab geht es genau in die entgegengesetzte Richtung bei 233,1°. In keine der beiden Richtungen wurde etwas gemessen.
  
  $θ_{g} = atan2 (4, 3) = 53.1 3^{\circ}$
4. Für eine Straße mit 2,5 pro hundert kehrst du die Gleichung um. Die Steigung in einer Richtung θ abweichend von der steilsten Richtung ist 5 cos θ. Also ist cos θ = 2,5/5 und θ = 60°.
  
  $D_{u} f = ∣\nabla f ∣ cos θ \Rightarrow cos θ = \frac{2.5}{5}, θ = 6 0^{\circ}$
5. Sechzig, nicht fünfundvierzig. Eine Straße bei 45° würde immer noch mit 3,54 pro hundert ansteigen. Das sind 71% der steilsten Steigung und absolut nicht in der Nähe der Hälfte.
  
  $5 cos 4 5^{\circ} = 3.54 (71% of 5)$
6. Auch die Länge ergibt sich aus demselben Kosinus. Wenn du bei halb so großer Steigung dieselbe Höhe gewinnen willst, musst du doppelt so weit fahren, solange die Steigung gleich bleibt. Auf diesem Faktor zwei beruhen die Serpentinen einer Bergstraße.
  
  $length \propto 1/ cos 6 0^{\circ} = 2$
Antwort

Der Hügel steigt um 5 m je 100 m an, und zwar in Richtung 53,1°; in Richtung 233,1° fällt er ab. Eine Straße mit einer Steigung von 2,5 m je 100 m muss um 60° von der steilsten Richtung abweichen und doppelt so lang sein. Den ersten Teil beantwortet das Werkzeug: Richte es beliebig aus, und es zeigt dir die Steigung. Der zweite Teil stellt die umgekehrte Frage. Genau diese Frage beschäftigt den Straßenbau, die Vorgaben für barrierefreie Rampen und die Einstufung von Skipisten: Welche Richtung muss ich wählen, wenn meine zulässige Steigung vorgegeben ist?
Die Richtung ohne Steigung, und wie lange sie eben bleibt 6 Schritte
Bei (1, 1) auf 1,5x² + 2y² setzt das Feld die Steigung auf die Richtung 143,1° bei 0,000. Rechne aus, was der Boden tut, wenn du in diese Richtung weitergehst, und entscheide, ob du dieser Richtung folgen könntest, um auf gleicher Höhe zu bleiben.
1. Eine Vierteldrehung von der steilsten Richtung 53,1° weg. Die beiden Terme des Skalarprodukts kommen auf −2,4 und +2,4 heraus, die Steigungskarte zeigt also 0,000.
  
  $D_{u} f = 3 cos 143.1 3^{\circ} + 4 sin 143.1 3^{\circ} = 3 (- 0.8) + 4 (0.6) = 0$
2. Steigung null ist eine Aussage über die erste Ableitung und über nichts sonst. Nimm die zweite in derselben Richtung. Es ist die quadratische Form aus den drei zweiten partiellen Ableitungen, mit demselben Kosinus und Sinus darin.
  
  $D_{u}^{2} f = f_{xx} cos^{2} θ + 2 f_{x y} cos θ sin θ + f_{y y} sin^{2} θ$
3. Auf dieser Fläche ist f_xx gleich 3, f_yy gleich 4 und die gemischte Ableitung 0, die zweite Ableitung entlang der ebenen Richtung ist also 3,36. Positiv, der Boden krümmt sich demnach nach oben.
  
  $= 3 (0.64) + 0 + 4 (0.36) = 1.92 + 1.44 = 3.36$
4. Die Höhe entlang dieser Geraden ist damit eine Parabel mit ihrem tiefsten Punkt genau dort, wo du stehst. Eine halbe Einheit weiter ist der Boden um 0,42 gestiegen, von 3,5 auf 3,92, und das Schnittfeld zeichnet genau diese Kurve.
  
  $f (s) \approx 3.5 + \frac{1}{2} (3.36) s^{2} = 3.5 + 1.68 s^{2}; s = 0.5 : 3.92$
5. Mach daraus eine Eigenschaft der Höhenlinie. Die Kurve, die die Höhe wirklich hält, biegt von der Tangente mit der zweiten Ableitung geteilt durch den Gradienten ab: 0,672, was einem Radius von 1,488 entspricht.
  
  $κ = \frac{D _{u}^{2} f}{∣\nabla f ∣} = \frac{3.36}{5} = 0.672, R = \frac{1}{κ} = 1.488$
6. Die Standardformel für die Krümmung einer Niveaumenge liefert dieselbe Zahl allein aus den partiellen Ableitungen, ganz ohne eine Richtung darin. Zwei Wege, eine Antwort, und sie ist exakt 84/125.
  
  $κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{3 ( 16 ) + 4 ( 9 )}{125} = \frac{84}{125}$
Antwort

Nein. Diese Richtung ist einen Augenblick lang eben und steigt dann. Geh eine halbe Einheit weiter, und du hast 0,42 gewonnen, wo die erste Ableitung 0 vorhergesagt hat. Die beiden Richtungen ohne Steigung sind Tangenten an die Höhenlinie und nicht die Höhenlinie selbst, und auf gleicher Höhe zu bleiben heißt, ständig zu drehen, auf einem Kreis mit Radius 1,488 an dieser Stelle. Das Feld gibt dir die Tangente; die Krümmung sagt, wie weit man ihr trauen darf.

$κ = \frac{f _{xx} f _{y}^{2} - 2 f _{x y} f _{x} f _{y} + f _{y y} f _{x}^{2}}{∣\nabla f ∣ ^{3}} = \frac{84}{125} = 0.672$

Lernpfad

Warum aus der Nähe alles gerade aussieht

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-09-03

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Drei Ost, vier Nord - Bei (1, 1) steigt der Boden genau in Richtung Osten um 3 und in Richtung Norden um 4 an. Gehst du nach Osten, zeigt die Steigung 3. Die steilste hier mögliche Steigung ist 5 bei einer Richtung von 53,1°, aber in keine der gemessenen Richtungen ging es so steil bergauf.
Auf Höhenlinie gedreht - Derselbe Punkt und derselbe Gradient von 5, aber nun beträgt die Steigung 0. Eine Richtung von 143,1° verläuft genau auf der Höhenlinie. Sie trifft im rechten Winkel auf die steilste Richtung.
Weder Hoch noch Tief - Beide partiellen Ableitungen sind null und der Punkt ist weder ein Gipfel noch eine Senke. Die Diskriminante ist −4. Bei einer Richtung von 0° ist der Schnitt der Grund eines Tals. Bei 90° ist derselbe Punkt der Kamm eines Rückens.
Beide Achsen flach - Bei xy sind beide Achsen exakt waagerecht. Die Schnittansicht zeichnet bei 0° und nochmals bei 90° eine flache Linie, und der Punkt ist mit einer Diskriminante von −1 immer noch ein Sattelpunkt. Der Anstieg und der Abfall liegen auf den Diagonalen.
Test ohne Ergebnis - Hier verschwinden sämtliche zweiten Ableitungen. Deshalb ist die Diskriminante 0, und der Test liefert überhaupt kein Ergebnis. Von diesem Punkt gehen drei ansteigende und drei abfallende Keile aus.