Bogenlänge & Rotationskörper

Formeln für Bogenlänge und Rotation um die x-Achse, numerisch ausgewertet mit Simpson-Integration.

Rechenbeispiel — Bogenlänge & Rotationskörper

Methode	500

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Lektion

Die Theorie — Bogenlänge & Rotationskörper

Eine Kurve kann nicht direkt gemessen werden. Deshalb ist die Bogenlänge nicht durch eine Formel, sondern als Grenzwert definiert: Man ersetzt die Kurve durch eine Kette gerader Sehnen, addiert deren Längen und lässt die Sehnen dann gegen null schrumpfen. Alles Folgende basiert auf dieser einen Idee und dem Satz des Pythagoras.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

f(x): die Kurve, gegeben als Funktion von x — ein y für jedes x. Diese Einschränkung ist der Grund, warum die Voreinstellungen einen Halbkreis und niemals einen vollständigen Kreis anbieten: Ein Kreis weist über den Großteil seiner Breite zwei y-Werte auf, sodass kein einzelnes f ihn zeichnen kann.
f'(x): die Steigung, und das Einzige, worauf der Integrand zurückgreift. Wie hoch die Kurve liegt, spielt keine Rolle — die konstante Funktion 1 über [0, 2] hat überall die Steigung 0 und die Länge genau 2, also nur die Breite des Intervalls und nicht mehr.
[a, b]: das Intervall, das Teil des Ergebnisses ist und nicht bloß ein Detail davon. Die Parabel verläuft mit der Länge 4.646784 über [0, 2] und 1.478943 über [0, 1] — nicht die Hälfte, weil ein steilerer Kurvenabschnitt mehr Länge auf derselben Breite unterbringt.
n: die Anzahl der Teilintervalle, die Simpson übergeben wird. Als einzige dieser Angaben sagt sie nichts über die Kurve aus: Sie bestimmt nur, wie gut das Integral angenähert wird, und die Zeile Fehlerabschätzung gibt an, ob das ausgereicht hat.

Woher die Formel kommt

Wähle zwei Punkte auf der Kurve, die um einen kleinen Schritt Δx voneinander entfernt sind. Die gerade Strecke zwischen ihnen hat die Länge √(Δx² + Δy²). Das ist der Satz des Pythagoras und mehr steckt nicht dahinter.
Ziehe Δx aus der Wurzel: √(Δx² + Δy²) = Δx·√(1 + (Δy/Δx)²). Die Form des Endergebnisses ist bereits zu erkennen.
Lasse Δx nun schrumpfen. Das Verhältnis Δy/Δx wird zur Ableitung f′(x), sodass jede verschwindend kleine Sehne √(1 + f′(x)²) dx beisteuert.
Addiere alle Beiträge: L = ∫ₐᵦ √(1 + f′(x)²) dx — das ist die Zeile, die die Anzeige ausgibt. Schritt 1 steht ebenfalls auf dem Bildschirm, nämlich als Zeile Sehnenlänge — und bei einer geraden Linie stimmen beide exakt überein. Stellt man die Funktion auf x auf [0, 1] ein, zeigen beide 1.414214 an, weil dort eine einzige Sehne bereits die gesamte Kurve ist.

So liest du, was du siehst

Die Zeile Sehnenlänge ist Schritt 1 mit einem einzigen Segment, kann also nie der größere der beiden Werte sein: 4.472136 gegenüber 4.646784 bei der Parabel, und die Differenz zwischen ihnen zeigt, wie stark sich die Kurve krümmt. Lies die Fehlerabschätzung aufmerksam, denn sie ist kein Abstand zur Wahrheit — sie gibt |L₂ₙ − Lₙ| aus, die Abweichung zwischen den Näherungen für n und 2n Teilintervalle, sie sagt also aus, ob sich das Verfahren stabilisiert hat, nicht ob es an der richtigen Stelle gelandet ist.

Setzt voraus: Dass f auf [a, b] differenzierbar ist und dass es sich überhaupt um eine Funktion von x handelt. Die Simpson-Regel setzt mehr voraus als die Bogenlängenformel: dass der Integrand glatt genug ist, um über jedem Paar von Teilintervallen durch Parabeln angenähert zu werden.
Versagt, wenn: Wähle frac(x) auf [0, 3] und setze die Integrationsschritte auf 400. Der Graph besteht aus drei steigenden Abschnitten, die durch drei vertikale Sprungstellen getrennt sind, und an jeder Sprungstelle gibt es keine Ableitung, die die Formel verwenden könnte. Die Anzeige liefert trotzdem ein Ergebnis: 29.23057, was weder 4.242641 entspricht, die man beim Ignorieren der Sprungstellen erhält, noch 7.242641, wenn man sie mitzählt — es ist der Integrator, der Differenzen über eine Sprungstelle hinweg bildet. Das Einzige, was das verrät, ist die darunterstehende Zeile Fehlerabschätzung, 12.49396, was fast der Hälfte des gemeldeten Ergebnisses entspricht. Ein einzelner Knick hingegen kostet fast nichts: |x| auf [−1, 1] liefert 2.827046 gegenüber dem exakten 2√2 = 2.828427, weil ein einzelner schlechter Punkt innerhalb eines Integrals ein Punkt zu wenig ist, um ins Gewicht zu fallen.

Dieselbe Kurve, dasselbe n — und eine Antwort ist elfmal besser 🖖

Die Voreinstellungen semicircle und sphere verwenden dieselbe Funktion auf demselben Intervall mit denselben 800 Streifen. Dennoch ergibt die Bogenlänge 3,1705 gegenüber π = 3,1416, also 0,9 % Fehler, während die Oberfläche 12,5559 gegenüber 4π = 12,5664 ergibt, nur 0,08 % Fehler. Der Unterschied steckt im Integranden: √(1 + f′²) springt bei x = ±1 auf etwa 71, wo ein Halbkreis senkrecht wird, und das Bogenlängen-Integral hat nichts, was das dämpft. Das Oberflächen-Integral trägt den Faktor |f(x)|, der an genau diesen Rändern 0 ist — es multipliziert den schlimmsten Teil der Kurve also mit nichts.

Eine Kurve zu einem Körper drehen 🖖

Der zweite Modus dieses Werkzeugs wirkt wie eine Drehbank oder Töpferscheibe: Man nimmt die Kurve y=f(x) und rotiert sie um die x-Achse, um einen 3D-Körper zu erzeugen. Zur Volumenberechnung zerlegt das Werkzeug den Rotationskörper in dünne Scheiben, jede ein Kreis mit Radius f(x), und summiert sie auf. Rotiert man die Gerade y=x von 0 bis 3, entsteht ein perfekter Kegel mit Volumen 9π — ganz ohne Geometrieformel, nur mit dem Integral.

Die Trompete, die man füllt, aber nie bemalt 🖖

Rotiert man y=1/x von x=1 bis unendlich um die x-Achse, erhält man Gabriels Horn (Torricellis Trompete). Sein Volumen konvergiert gegen genau π, seine Oberfläche ist jedoch unendlich. Dieses „Maler-Paradoxon" bedeutet: Das Horn fasst π Einheiten Farbe, doch keine endliche Menge könnte seine Innenwand je bedecken. Evangelista Torricelli entdeckte dies in den 1640er-Jahren, noch vor der formalen Analysis, und hielt es selbst für absurd.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Lade die Voreinstellung Kugel und setze das Intervall auf a = 0, b = 0.5 — ein Band vom Äquator der Kugel bis zum halben Radius. Die Oberfläche zeigt 3.141593. Schiebe das Band nun auf a = 0.4, b = 0.9, bei gleicher Höhe 0.5. Sage die neue Oberfläche voraus, bevor du etwas drückst.

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Weiterhin 3.141593. Jedes Band der Höhe 0.5 umschließt genau π an Oberfläche, egal wo du schneidest — [−0.25, 0.25] und [−0.9, −0.4] zeigen dieselbe Zahl. Das Volumen verhält sich völlig anders: diese Bänder fassen 1.439897, 0.87441 und 1.538071. Nahe am Pol ist jeder Streifen im Umfang kürzer, dafür steiler geneigt, und beide Effekte heben sich exakt auf, sodass nur die Höhe übrig bleibt. Archimedes bewies das und wünschte sich eine Kugel im Zylinder auf seinem Grabstein — Band für Band hat die Kugel dieselbe Oberfläche wie der Zylinder, der sie gerade umschließt.
Der dritte Einblick oben behauptet, Gabriels Horn habe endliches Volumen und unendliche Oberfläche, nennt aber keine Zahlen. Hol sie dir: wähle f(x) = 1/x, setze a = 1 und den Modus auf Rotationskörper und lies beide Werte bei b = 10, dann 100, dann 1000 ab.

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Das Volumen läuft 2.827433 → 3.110179 → 3.153626, nähert sich π und gewinnt pro Dekade weniger. Die Oberfläche läuft 15.1775 → 29.6451 → 44.1739 — rund 14.5 mehr, sooft du b verzehnfachst, und das bleibt für immer so. Weit draußen im Horn ist der Oberflächenintegrand im Wesentlichen 2π/x, dessen Integral 2π ln b ist, und 2π ln 10 = 14.47. Was pro Dekade einen festen Betrag zulegt, hat keinen Grenzwert; was pro Dekade weniger zulegt, hat einen. Dem letzten Volumen solltest du allerdings misstrauen: 3.153626 liegt über π, was unmöglich ist, denn 2000 gleichmäßige Schritte können den steilen Teil nahe x = 1 über ein so langes Intervall nicht auflösen. Der Überschuss ist das Gitter, nicht das Horn.

Aufgaben vollständig gelöst

Die Bogenlänge von y = x² von 0 bis 2 in geschlossener Form 5 Schritte
Die Bogenlänge von y = x² von 0 bis 2 beträgt 4,646784. Leiten Sie sie in geschlossener Form ab – und erklären Sie dann, warum Sie Glück hatten. Dies ist der Zustand Parabelbogen.
1. Ansatz aufstellen. Die Ableitung von x² ist 2x, somit enthält der Integrand 4x² und nichts Komplizierteres.
  
  $L = \int_{0}^{2} 1 + (f^{'} (x))^{2} d x = \int_{0}^{2} 1 + 4 x^{2} d x$
2. Die Stammfunktion von √(1 + 4x²) ist Standard – ein algebraischer Term und ein Areasinus hyperbolicus, was ein quadratischer Ausdruck unter einer Wurzel stets ergibt.
  
  $\int 1 + 4 x^{2} d x = \frac{x}{2} 1 + 4 x^{2} + \frac{1}{4} arsinh (2 x) + C$
3. An den Grenzen auswerten. Die untere Grenze trägt nichts bei, und die beiden Teile bei x = 2 ergeben 4,1231 und 0,5237.
  
  $L = [\frac{x}{2} 1 + 4 x^{2} + \frac{1}{4} arsinh 2 x]_{0}^{2} = 17 + \frac{1}{4} arsinh 4 = 4.1231 + 0.5237 = 4.646784$
4. Mit der geraden Linie zwischen den Endpunkten vergleichen. Die Kurve ist in diesem Bereich nur um 3,9% länger als die Sehne; deshalb wirkt die numerische Bogenlänge einfach, bis sie es nicht mehr ist.
  
  $chord = (2 - 0)^{2} + (4 - 0)^{2} = 20 = 4.472136; \frac{L}{chord} = 1.0391$
5. Versuchen Sie nun, den Trick eine Potenz höher zu wiederholen. Der Integrand wird zur Quadratwurzel eines Polynoms vierten Grades, und das bildet die Grenze zwischen elementaren und elliptischen Funktionen.
  
  $f = x^{3} : \int 1 + 9 x^{4} d x — elliptic, not elementary$
Antwort

√17 + ¼ arsinh 4, und das Glück liegt darin, dass die Parabel zu den ganz wenigen Ausnahmen gehört, bei denen das funktioniert. Die Bogenlänge erfordert die Integration von √(1 + f′²), und die Quadratwurzel aus einem Polynom ist nur in wenigen Fällen elementar. Erhöht man den Exponenten um eins zu y = x³, lautet der Integrand √(1 + 9x⁴); dieser ist elliptisch und lässt sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken. Das Gleiche gilt für die Bogenlänge einer Ellipse – daher haben elliptische Integrale ihren Namen, und deshalb gibt es für den Umfang einer Ellipse keine Formel, während ihr Flächeninhalt trivial ist. Die Parabel entgeht dem, weil ihre Ableitung linear ist, sodass 1 + f′² quadratisch ist – und quadratische Ausdrücke unter einer Quadratwurzel sind genau das, wofür die arsinh-Substitution erfunden wurde.

$L = 17 + \frac{1}{4} arsinh 4 = 4.646784$
Oberfläche 12,55591 und Volumen 4,18879 des Einheitshalbkreises 6 Schritte
Rotiert man den Einheitshalbkreis, zeigt das Feld eine Oberfläche von 12,55591 und ein Volumen von 4,18879 an. Eines davon ist auf sechs Stellen genau, das andere um 0,083% falsch. Finden Sie heraus, welches und warum. Dies ist der Zustand Rotationskugel.
1. Schreiben Sie die Funktion und ihre Ableitung auf. Von der Ableitung werden die Probleme ausgehen, und das ist bereits sichtbar: Der Nenner verschwindet an beiden Enden.
  
  $f (x) = 1 - x^{2}, f^{'} (x) = \frac{- x}{1 - x ^{2}}, 1 + (f^{'})^{2} = \frac{1}{1 - x ^{2}}$
2. Bilden Sie nun den Integranden für die Oberfläche. Der divergierende Faktor und der verschwindende Faktor sind Kehrwerte voneinander und kürzen sich vollständig weg.
  
  $2 π f 1 + (f^{'})^{2} = 2 π 1 - x^{2} \cdot \frac{1}{1 - x ^{2}} = 2 π — a constant$
3. Die Integration einer Konstanten über ein Intervall der Länge 2 erfordert keine Analysis. Das Ergebnis ist 4π und hängt nicht davon ab, wie die Kugel geschnitten wurde – was der Inhalt des Ergebnisses von Archimedes ist.
  
  $S = \int_{- 1}^{1} 2 π d x = 4 π = 12.566371 (Archimedes: sphere = its cylinder’s side)$
4. Das Volumen ist ein gewöhnliches Polynom-Integral, und es ist jenes, das die Simpson-Regel bis zur letzten ausgegebenen Stelle korrekt berechnet.
  
  $V = \int_{- 1}^{1} π (1 - x^{2}) d x = π [x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 1}^{1} = \frac{4 π}{3} = 4.18879$
5. Vergleichen Sie die angezeigte Oberfläche mit 4π. Die Abweichung ist gering, aber es handelt sich nicht um einen Rundungsfehler – es ist ein systematischer Fehler, der sich an den beiden Polen konzentriert.
  
  $printed S = 12.55591 : \frac{4 π - 12.55591}{4 π} = 0.083% low, while V is exact to 6 figures$
6. Die Ursache liegt in Schritt 1. Exaktes Kürzen steht einer Routine, die Werte nur abtastet, nicht zur Verfügung.
  
  $f^{'} (\pm 1) \to \infty : the integrand is constant only in exact arithmetic; sampled, the poles misbehave$
Antwort

Das Volumen ist exakt und die Oberfläche um 0,083% zu klein, weil der Integrand der Oberfläche eine Konstante ist, die der Integrator nicht sehen kann. Rechnet man es von Hand durch, geschieht etwas Bemerkenswertes: √(1 + f′²) ist 1/√(1 − x²), was das davorstehende √(1 − x²) exakt kürzt, sodass 2π übrig bleibt. Der Integrand ist konstant, das Integral beträgt 4π, und das ist der Satz des Archimedes – eine Kugel hat dieselbe Oberfläche wie die Mantelfläche des ihr umbeschriebenen Zylinders, was er sich auf seinem Grabstein meißeln ließ. Numerisch jedoch divergiert f′ bei x = ±1, und die Simpson-Regel tastet eine Funktion ab, die überall 2π ist, außer an zwei Punkten, an denen die Arithmetik versagt. Der Integrand des Volumens ist π(1 − x²), ein echtes Polynom, und Simpson integriert Polynome exakt. Die eigene Fehlerschätzung des Bedienfelds von 0,005 zeigt, welcher der beiden Antworten zu vertrauen ist.

$S = 4 π exactly, because the integrand is 2 π; V = \frac{4 π}{3}$

Quellen (1)

Insight block 3 — Gabriel's Horn, and how strange it looked at the time: P. Mancosu and E. Vailati, "Torricelli's Infinitely Long Solid and Its Philosophical Reception in the Seventeenth Century." Isis 82(1), 50–70, 1991.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-15

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Beispielaufgaben

Parabelbogen - Die Bogenlänge von y=x^2 auf [0,2] ist länger als die gerade Sehne.
Halbkreisbogen - Der Halbkreisbogen auf [-1,1] nähert sich wie erwartet pi an.
Kugel durch Rotation - Die Rotation eines Halbkreises um die x-Achse liefert kugelartige Werte von 4pi und 4pi/3.
Kegel durch Rotation - Die Rotation von y=x auf [0,3] erzeugt einen Kegel mit dem analytischen Volumen 9pi.