Bogenlänge & Rotationskörper
Formeln für Bogenlänge und Rotation um die x-Achse, numerisch ausgewertet mit Simpson-Integration.
Kurvilineare Distanzintegration 🖖
Die Bogenlänge berechnet die exakte 1D-Distanz entlang eines verzerrten 2D-Pfades. Abgeleitet vom infinitesimalen Satz des Pythagoras integriert sie die Quadratwurzel des Ableitungsquadrats und übersetzt gekrümmte Trajektorien in lineare Metriken.
Eine Kurve zu einem Körper drehen 🖖
Der zweite Modus dieses Werkzeugs wirkt wie eine Drehbank oder Töpferscheibe: Man nimmt die Kurve y=f(x) und rotiert sie um die x-Achse, um einen 3D-Körper zu erzeugen. Zur Volumenberechnung zerlegt das Werkzeug den Rotationskörper in dünne Scheiben, jede ein Kreis mit Radius f(x), und summiert sie auf. Rotiert man die Gerade y=x von 0 bis 3, entsteht ein perfekter Kegel mit Volumen 9π — ganz ohne Geometrieformel, nur mit dem Integral.
Die Trompete, die man füllt, aber nie bemalt 🖖
Rotiert man y=1/x von x=1 bis unendlich um die x-Achse, erhält man Gabriels Horn (Torricellis Trompete). Sein Volumen konvergiert gegen genau π, seine Oberfläche ist jedoch unendlich. Dieses „Maler-Paradoxon" bedeutet: Das Horn fasst π Einheiten Farbe, doch keine endliche Menge könnte seine Innenwand je bedecken. Evangelista Torricelli entdeckte dies in den 1640er-Jahren, noch vor der formalen Analysis, und hielt es selbst für absurd.
Beispielaufgaben
- Parabelbogen - Die Bogenlänge von y=x^2 auf [0,2] ist länger als die gerade Sehne.
- Halbkreisbogen - Der Halbkreisbogen auf [-1,1] nähert sich wie erwartet pi an.
- Kugel durch Rotation - Die Rotation eines Halbkreises um die x-Achse liefert kugelartige Werte von 4pi und 4pi/3.
- Kegel durch Rotation - Die Rotation von y=x auf [0,3] erzeugt einen Kegel mit dem analytischen Volumen 9pi.