Doppelintegrale in Polarkoordinaten

Zerlege einen Bereich mit Kreisen um den Ursprung und Strahlen aus ihm, und jede Zelle ist ein Stück Kreisring. Ihre Fläche ist ihr mittlerer Radius mal Δr mal Δθ, und dieser mittlere Radius ist das r in r dr dθ. Markiere eine Zelle in einem der beiden Bilder und vergleiche ihre Fläche in den beiden Ebenen.

Doppelintegral in Polarkoordinaten	$\iint_{R} f d A = \int_{α}^{β} \int_{r_{1} (θ)}^{r_{2} (θ)} f r d r d θ$
Das Gaußsche Integral	$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$

Rechenbeispiel — Doppelintegrale in Polarkoordinaten

Markierte Zelle in der rθ-Ebene	0,1745
Markierte Zelle in der xy-Ebene	0,16
Das Doppelintegral	3,1416
Dasselbe ohne das r (falsch)	6,2832

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Doppelintegrale in Polarkoordinaten

Ein Doppelintegral in Polarkoordinaten integriert über einen Bereich, der durch einen Winkel θ und einen Abstand r vom Ursprung beschrieben wird, mit dem Flächenelement dA = r dr dθ.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

r, θ: der Abstand vom Ursprung und der Winkel zur positiven x-Achse: x = r cos θ, y = r sin θ
r̄, Δr, Δθ: der mittlere Radius einer Zelle, ihre Breite in r und ihre Breite in θ

Woher die Formel kommt

Zerlege den Bereich in Polarzellen. Eine Zelle zwischen den Radien r₁ und r₂ und den Winkeln θ und θ + Δθ ist die Differenz zweier Sektoren, und ihre Fläche zerfällt in mittleren Radius mal Δr mal Δθ.
$Δ A = \frac{1}{2} (r_{2}^{2} - r_{1}^{2}) Δ θ = \frac{r _{1} + r _{2}}{2} (r_{2} - r_{1}) Δ θ = \overset{r}{ˉ} Δ r Δ θ$
Summiere und geh zum Grenzwert über. f in jeder Zelle mal die Fläche der Zelle, aufsummiert, strebt gegen ein iteriertes Integral, in dem aus r̄ das r geworden ist. Die Grenzen für r dürfen von θ abhängen.
$\iint_{R} f d A x = \int_{α}^{β} \int_{r_{1} (θ)}^{r_{2} (θ)} f r d r d θ, = r cos θ, y = r sin θ$
Quadriere das Gaußsche Integral. Ein Produkt zweier Integrale in je einer Variablen ist ein Doppelintegral über die Ebene, und in Polarform verschafft das r der Funktion e^(−r²) eine Stammfunktion mit Formel.
$I^{2} I = \iint_{R^{2}} e^{- (x^{2} + y^{2})} d A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{\infty} e^{- r^{2}} r d r d θ = 2 π [- \frac{1}{2} e^{- r^{2}}]_{0}^{\infty} = π = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π$

Setzt voraus: Im Bereich liegt θ zwischen zwei Winkeln und, entlang jedes Strahls, r zwischen zwei Kurven r₁(θ) ≤ r₂(θ). Das Integral über die ganze Ebene ist uneigentlich; wachsende Kreisscheiben und wachsende Quadrate liefern dasselbe π, weil jedes Quadrat zwischen zwei Kreisscheiben liegt.

Aufgaben vollständig gelöst

Die Fläche einer Kreisscheibe 2 Schritte
Bestimme die Fläche der Kreisscheibe mit Radius R als Doppelintegral in Polarkoordinaten, und was herauskommt, wenn du das r vergisst.

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1. Die Kreisscheibe ist 0 ≤ r ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π, und dA = r dr dθ:
  
  $A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} r d r d θ = \int_{0}^{2 π} \frac{R ^{2}}{2} d θ = π R^{2}$
2. Ohne das r:
  
  $\int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} d r d θ = 2 π R$
Antwort

πR², also 3,1416 bei R = 1. Ohne das r: 2πR, der Umfang, eine Länge.

$A = π R^{2}, R = 1 : A \approx 3.1416$
Innerhalb einer Kardioide 2 Schritte
Bestimme die Fläche innerhalb der Kardioide r = 1 + cos θ.

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1. Für jedes θ in [0, 2π] läuft r von 0 bis 1 + cos θ, und das innere Integral ist die Hälfte des Quadrats dieser Grenze:
  
  $A = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1 + c o s θ} r d r d θ = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (1 + cos θ)^{2} d θ$
2. Über eine volle Umdrehung ist das Integral von cos θ gleich 0 und das von cos² θ gleich π:
  
  $A = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (1 + 2 cos θ + cos^{2} θ) d θ = \frac{1}{2} (2 π + 0 + π) = \frac{3 π}{2}$
Antwort

3π/2 ≈ 4,7124.

$A = \frac{3 π}{2} \approx 4.7124$
Von x und y zu r und θ 2 Schritte
Berechne ∫₀¹ ∫₀^√(1−x²) (x² + y²) dy dx.

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1. y läuft von 0 bis zum Kreis x² + y² = 1 und x von 0 bis 1: das Viertel der Einheitskreisscheibe im ersten Quadranten, also 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ π/2. Und x² + y² = r²:
  
  $\int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - x^{2}} (x^{2} + y^{2}) d y d x = \int_{0}^{π /2} \int_{0}^{1} r^{2} \cdot r d r d θ$
2. Integriere:
  
  $\int_{0}^{π /2} [\frac{r ^{4}}{4}]_{0}^{1} d θ = \int_{0}^{π /2} \frac{1}{4} d θ = \frac{π}{8}$
Antwort

π/8 ≈ 0,3927.

$\frac{π}{8} \approx 0.3927$
Eine Kreisscheibe, deren Mittelpunkt nicht im Ursprung liegt 3 Schritte
Bestimme ∬ x dA über die Kreisscheibe x² + y² ≤ 2x und daraus die x-Koordinate ihres Schwerpunkts.

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1. In Polarkoordinaten ist der Rand r² = 2r cos θ, also r = 2 cos θ, und r ≥ 0 verlangt cos θ ≥ 0. θ läuft von −π/2 bis π/2, einmal um den Kreis herum; eine volle Umdrehung würde ihn zweimal durchlaufen und das Ergebnis verdoppeln.
  
  $x^{2} + y^{2} \leq 2 x ⟺ r \leq 2 cos θ, - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$
2. Mit x = r cos θ:
  
  $\iint x d A = \int_{- π /2}^{π /2} \int_{0}^{2 c o s θ} r cos θ \cdot r d r d θ = \int_{- π /2}^{π /2} \frac{8}{3} cos^{4} θ d θ = \frac{8}{3} \cdot \frac{3 π}{8} = π$
3. Die Kreisscheibe hat Radius 1 und Fläche π:
  
  $\overset{x}{ˉ} = \frac{\iint x d A}{A} = \frac{π}{π} = 1$
Antwort

∬ x dA = π ≈ 3,1416, also liegt der Schwerpunkt bei x = 1, im Mittelpunkt der Scheibe.

$\iint x d A = π \approx 3.1416, \overset{x}{ˉ} = 1$
Das Volumen einer Kugel 2 Schritte
Bestimme das Volumen einer Kugel mit Radius R als Doppelintegral in Polarkoordinaten.
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1. Die obere Hälfte ist das Volumen unter z = √(R² − x² − y²) über der Kreisscheibe r ≤ R:
  
  $V = 2 \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} R^{2} - r^{2} r d r d θ$
2. Substituiere u = R² − r², also du = −2r dr; erst das r aus dem Flächenelement lässt die Substitution aufgehen:
  
  $V = 2 \cdot 2 π \int_{0}^{R^{2}} \frac{1}{2} u d u = 2 π \cdot \frac{2}{3} R^{3} = \frac{4 π R ^{3}}{3}$
Antwort

4πR³/3, dasselbe Volumen, das weiter vorn im Kapitel mit Schnitten herauskam.

$V = \frac{4 π R ^{3}}{3}$
Gauß über einer Kreisscheibe 2 Schritte
Berechne ∬ e^(−(x²+y²)) dA über die Kreisscheibe mit Radius R und bestimme den Grenzwert für R → ∞.

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1. In Polarform ist der Integrand e^(−r²), und das r daneben sorgt für eine Stammfunktion mit Formel:
  
  $\int_{0}^{R} e^{- r^{2}} r d r = [- \frac{1}{2} e^{- r^{2}}]_{0}^{R} = \frac{1}{2} (1 - e^{- R^{2}})$
2. Das θ-Integral multipliziert mit 2π:
  
  $\int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} (1 - e^{- R^{2}}) d θ = π (1 - e^{- R^{2}})$
Antwort

π(1 − e^(−R²)), also 3,0841 bei R = 2, mit dem Grenzwert π.

$π (1 - e^{- R^{2}}) R \to \infty π, R = 2 : \approx 3.0841$
∫e^(−x²) dx = √π 3 Schritte
Zeige, dass das Integral von e^(−x²) über die ganze Gerade √π ist.

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1. Sei I(b) das Integral von −b bis b. Sein Quadrat ist ein Doppelintegral über das Quadrat |x|, |y| ≤ b:
  
  $I (b)^{2} = \int_{- b}^{b} e^{- x^{2}} d x \int_{- b}^{b} e^{- y^{2}} d y = \iint_{∣ x ∣, ∣ y ∣ \leq b} e^{- (x^{2} + y^{2})} d A$
2. Das Quadrat enthält die Kreisscheibe mit Radius b und liegt in der Kreisscheibe mit Radius b√2. Der Integrand ist positiv, also gilt nach Aufgabe 6:
  
  $π (1 - e^{- b^{2}}) \leq I (b)^{2} \leq π (1 - e^{- 2 b^{2}})$
3. Beide Schranken streben für b → ∞ gegen π, also auch I(b)², und I(b) ist positiv:
  
  $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = b \to \infty lim I (b) = π$
Antwort

√π ≈ 1,7725. Bei b = 2 sind die Schranken 3,0841 und 3,1405, und I(2)² ≈ 3,1123 liegt dazwischen.

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2}} d x = π \approx 1.7725$
Die Konstante der Normalverteilung 2 Schritte
Bestimme das Integral von e^(−x²/2) über die ganze Gerade und erkläre den Faktor 1/√(2π) in der Dichte der Standardnormalverteilung.
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1. Substituiere x = √2 u, also dx = √2 du:
  
  $\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} /2} d x = 2 \int_{- \infty}^{\infty} e^{- u^{2}} d u = 2 \cdot π = 2 π$
2. Teile durch √(2π), und die Gesamtfläche ist 1:
  
  $\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2} d x = \frac{2 π}{2 π} = 1$
Antwort

√(2π). Also hat (1/√(2π)) e^(−x²/2) die Gesamtfläche 1, wie es eine Wahrscheinlichkeitsdichte muss.

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} /2} d x = 2 π$

Lässt du das r weg, kommt als Fläche der Kreisscheibe ihr Umfang heraus 🖖

Klicke auf Einheitskreisscheibe. Mit dem r ist das Integral π ≈ 3,1416; ohne es ergeben dieselben Grenzen 2π ≈ 6,2832, den Umfang, und der ist eine Länge. ∫∫ dr dθ misst das Rechteck, zu dem die Kreisscheibe in der rθ-Ebene wird, 1 mal 2π. Dort hat jede Zelle dieselbe Fläche Δr Δθ, in der Scheibe dagegen sind die Zellen nahe dem Mittelpunkt schmale Splitter und die am Rand breit. Eine Zelle zwischen den Radien r₁ und r₂ ist die Differenz zweier Sektoren, ½(r₂² − r₁²)Δθ, und das zerfällt in ½(r₁ + r₂) · (r₂ − r₁) · Δθ: mittlerer Radius mal Δr mal Δθ, exakt. Markiere eine Zelle am Rand, dann eine in der Mitte, und vergleiche die beiden Zellenzeilen in den Ergebnissen. Weil nichts genähert wurde, zeigt die Summe über das Gitter für diese Scheibe π an, sogar mit n = 1, also einer einzigen Zelle.

Gerade das r, das man so leicht vergisst, macht ∫e^(−x²) dx lösbar 🖖

e^(−x²) hat keine elementare Stammfunktion, keine, die sich aus Potenzen, Wurzeln, Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrischen Funktionen bauen ließe: Liouville hat das in den 1830er-Jahren bewiesen, und die Seite über nicht-elementare Integrale führt seinen Test vor. Über die ganze Gerade ist das Integral trotzdem genau √π. Nenne es I. Dann ist I² gleich ∫e^(−x²) dx mal ∫e^(−y²) dy, also das Integral von e^(−(x²+y²)) über die ganze Ebene, und in Polarkoordinaten kommt der Integrand e^(−r²) mit einem r daneben an. r e^(−r²) dagegen hat eine Stammfunktion: −½e^(−r²). Das innere Integral ist also ½, das θ-Integral multipliziert es mit 2π, und I² = π. Klicke auf Gauß auf einer Kreisscheibe: Die Zeile des inneren Integrals zeigt genau diesen Klammerausdruck. Silvanus Thompsons Kelvin-Biografie (1910) erzählt, wie Kelvin dieses Ergebnis einmal an die Tafel schrieb und seiner Klasse sagte: „Ein Mathematiker ist jemand, dem das so selbstverständlich ist wie euch, dass zwei mal zwei vier ist. Liouville war ein Mathematiker.“

Die ganze Ebene ist ein Grenzwert von Quadraten, und die Kreisscheiben liefern trotzdem den richtigen Wert 🖖

I² war über Quadrate definiert, |x|, |y| ≤ b, berechnet wurde es aber über Kreisscheiben. Klicke auf Gauß auf einem Quadrat. Das Quadrat enthält die Kreisscheibe mit Radius b und liegt selbst in der Kreisscheibe mit Radius b√2, und e^(−(x²+y²)) ist positiv. Also liegt sein Integral über das Quadrat zwischen π(1 − e^(−b²)) und π(1 − e^(−2b²)). Beide Schranken streben gegen π, also muss es der Wert des Quadrats auch tun. Bei b = 2 sind die drei Zahlen 3,0841, 3,1123 und 3,1405. Klicke auf Gauß, b = 1: 1,9859, 2,231 und 2,7164, und die Ecken außerhalb der inneren Kreisscheibe tragen 11 % zum Wert des Quadrats bei. Deshalb liefert das Argument das Integral über die ganze Gerade, über ein endliches Intervall aber nur Schranken: ∫e^(−x²) dx von −1 bis 1 ist 1,4936, und die Kreisscheiben schließen es zwischen √1,9859 ≈ 1,4092 und √2,7164 ≈ 1,6482 ein.

Lernpfad

Anwendungen der Integralrechnung

Quellen (2)

The double integral over a polar region as the iterated integral of f(r, θ) r dr dθ (equation 5.8 and Theorem 5.8), the polar subrectangle's area r*ΔrΔθ with r* the middle radius, and the improper integral of e^(−10(x²+y²)) over the plane in polar coordinates (Example 5.35): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 3, OpenStax (2016), section 5.3, “Double Integrals in Polar Coordinates”.
Insight block 2: Kelvin wrote ∫e^(−x²) dx = √π on the blackboard and told his class “A mathematician is one to whom that is as obvious as that twice two makes four is to you. Liouville was a mathematician.” (vol. 2, chapter XXV, p. 1139, footnote 1): S. P. Thompson, The Life of William Thomson, Baron Kelvin of Largs, vol. 2, Macmillan, London (1910).

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.