Zwei Körper verknüpfen

Schneidest du zwei Körper mit derselben waagerechten Ebene, ist die Schnittfläche ihres Durchschnitts genau der Durchschnitt beider Einzelflächen. Für Vereinigung und Differenz gilt das genauso. Jedes Verknüpfungsvolumen lässt sich daher als Integral über Querschnitte berechnen. Auf dieser Seite bestimmst du es für vier berühmte Paare.

Vereinigung	$V (A \cup B) = V (A) + V (B) - V (A \cap B)$
Schnittkörper zweier gekreuzter Zylinder	$V = \frac{16 r ^{3}}{3}$
Ring der Höhe h	$V = \frac{π h ^{3}}{6}$

Rechenbeispiel — Zwei Körper verknüpfen

Schnittfläche von A bei z	3,4641
Schnittfläche von B bei z	3,4641
Schnittfläche von A ∩ B bei z	3
Schnittfläche der Verknüpfung bei z	3
Volumen von A	6,2832
Volumen von B	6,2832
Volumen von A ∩ B	5,3333
Volumen der Verknüpfung	5,3333

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Zwei Körper verknüpfen

Das Volumen einer Verknüpfung zweier Körper – ihres Schnitts A ∩ B, ihrer Vereinigung A ∪ B oder ihrer Differenz A ∖ B – ist das Integral über ihre Querschnittsflächen. Auf jeder Höhe entspricht die Schnittfläche genau derselben Verknüpfung der einzelnen Querschnitte.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

A(z), B(z): die Flächen der Querschnitte beider Körper auf der Höhe z
S(z): die Fläche des Querschnitts der Verknüpfung auf der Höhe z

Woher die Formel kommt

Schneide beide Körper auf derselben Höhe. Ein Punkt auf Höhe z liegt genau dann in A ∩ B, wenn er zu beiden Einzelschnitten gehört; der Schnitt der Durchdringung ist also der Schnitt der Schnittflächen. Bei der Vereinigung zählt der gemeinsame Teil nur einmal.
$(A \cap B)_{z} S_{A \cup B} (z) = A_{z} \cap B_{z} = A (z) + B (z) - (A \cap B) (z)$
Integriere. Das Volumen ist das Integral von S(z). Integriert man den Querschnitt der Vereinigung gliedweise, überträgt sich dieselbe Rechenregel unmittelbar auf die Volumina.
$V (A \cup B) = \int (A + B - (A \cap B)) d z = V (A) + V (B) - V (A \cap B)$

Setzt voraus: Für jede Schnitthöhe lässt sich die Querschnittsfläche formelmäßig beschreiben. Ändert sich diese Vorschrift stückweise, wie bei der durchbohrten Kugel an den Rändern z = ±h/2, wird das Integral an diesen Nahtstellen aufgeteilt.

Aufgaben vollständig gelöst

Zwei gekreuzte Zylinder 2 Schritte
Zwei Zylinder mit Radius r schneiden sich rechtwinklig mit aufeinandertreffenden Achsen. Bestimme das Volumen ihres gemeinsamen Schnittkörpers.

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1. Auf der Höhe z liefert jeder Zylinder einen Streifen der halben Breite √(r² − z²). Beide Streifen überkreuzen sich in einem Quadrat:
  
  $s S (z) = 2 r^{2} - z^{2} = s^{2} = 4 (r^{2} - z^{2})$
2. Integriere von z = −r bis z = r:
  
  $V = \int_{- r}^{r} 4 (r^{2} - z^{2}) d z = 4 (2 r^{3} - \frac{2 r ^{3}}{3}) = \frac{16 r ^{3}}{3}$
Antwort

16r³/3; für r = 1 ergibt das 5,3333.

$V = \frac{16 r ^{3}}{3}, r = 1 : V \approx 5.3333$
Eine durchbohrte Kugel 3 Schritte
Eine Kugel mit Radius 5 wird mittig durchbohrt, sodass ein Ring der Höhe 6 entsteht. Bestimme das Volumen dieses Rings.

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1. Die halbe Höhe des Rings beträgt 3, folglich ist der Radius der Bohrung
  
  $a = 5^{2} - 3^{2} = 4$
2. Für −3 ≤ z ≤ 3 ist der Querschnitt ein Kreisring vom Innenradius 4 bis zum Außenradius √(25 − z²):
  
  $S (z) = π (25 - z^{2}) - π \cdot 4^{2} = π (9 - z^{2})$
3. Integriere:
  
  $V = \int_{- 3}^{3} π (9 - z^{2}) d z = π (54 - 18) = 36 π$
Antwort

36π ≈ 113,0973.

$V = 36 π \approx 113.0973$
Warum der Kugelradius herausfällt 3 Schritte
Zeige, dass ein Ring der Höhe h aus einer beliebigen Kugel mit Durchmesser mindestens h stets das Volumen πh³/6 besitzt, und vergleiche dies mit einer Kugel vom Durchmesser 6.

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1. Mit a² = R² − (h/2)² hat der Kreisring auf Höhe z die Fläche
  
  $S (z) = π (R^{2} - z^{2}) - π a^{2} = π (\frac{h ^{2}}{4} - z^{2})$
2. Integriere von z = −h/2 bis z = h/2:
  
  $V = \int_{- h /2}^{h /2} π (\frac{h ^{2}}{4} - z^{2}) d z = π (\frac{h ^{3}}{4} - \frac{h ^{3}}{12}) = \frac{π h ^{3}}{6}$
3. Für h = 6 ergibt das 36π, also das Volumen einer Kugel mit Radius 3 – genau das ist der Ring bei R = 3, wenn die Bohrung verschwindet:
  
  $\frac{π \cdot 6 ^{3}}{6} = 36 π = \frac{4 π \cdot 3 ^{3}}{3}$
Antwort

V = πh³/6, unabhängig von R, solange R ≥ h/2.

$V = \frac{π h ^{3}}{6}$
Der Raum zwischen Kugel und Zylinder 3 Schritte
Eine Kugel mit Radius r liegt passgenau in einem Zylinder mit Radius r und Höhe 2r. Bestimme das Zwischenvolumen und daraus das Volumen der Kugel.

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1. Auf der Höhe z bildet der Zwischenraum einen Kreisring zwischen Zylinder- und Kugelradius:
  
  $S (z) = π r^{2} - π (r^{2} - z^{2}) = π z^{2}$
2. Integriere von z = −r bis z = r:
  
  $\int_{- r}^{r} π z^{2} d z = \frac{2 π r ^{3}}{3}$
3. Ziehe dies vom Zylindervolumen ab:
  
  $V (B) = 2 π r^{3} - \frac{2 π r ^{3}}{3} = \frac{4 π r ^{3}}{3}$
Antwort

2πr³/3 für den Zwischenraum (für r = 1 entspricht das 2,0944); die Kugel misst somit 4πr³/3, also zwei Drittel ihres Zylinders.

$V (A ∖ B) V (B) = \frac{2 π r ^{3}}{3} = \frac{4 π r ^{3}}{3}$
Die Vereinigung der beiden Zylinder 3 Schritte
Die beiden Zylinder aus Aufgabe 1 werden jeweils auf die Länge 2r begrenzt. Bestimme das Volumen der Vereinigung.

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1. Jeder Zylinderschnitt ist ein Streifen der Länge 2r und der Breite 2√(r² − z²); der Schnitt der Vereinigung zählt das gemeinsame Quadrat nur einmal:
  
  $S (z) = 2 \cdot 4 r r^{2} - z^{2} - 4 (r^{2} - z^{2})$
2. Der erste Term liefert integriert die Fläche eines Halbkreises mal 8r:
  
  $\int_{- r}^{r} 8 r r^{2} - z^{2} d z = 8 r \cdot \frac{π r ^{2}}{2} = 4 π r^{3}$
3. Somit:
  
  $V = 4 π r^{3} - \frac{16 r ^{3}}{3}$
Antwort

4πr³ − 16r³/3; für r = 1 ergibt das 7,233.

$V r = 1 : V = 4 π r^{3} - \frac{16 r ^{3}}{3} \approx 7.233$
Das ausgebohrte Material 3 Schritte
Bestimme das Volumen des Materials, das in Aufgabe 2 aus der Kugel herausgebohrt wird.

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1. Entfernt wird der Teil der Kugel innerhalb des Bohrzylinders. Für |z| ≤ 3 entspricht der Schnitt dem vollen Bohrloch, also einer Kreisscheibe vom Radius 4; für 3 ≤ |z| ≤ 5 verengt sich der Schnitt auf die kleinere Kreisscheibe der Kugel:
  
  $S (z) = {16 π, π (25 - z^{2}), ∣ z ∣ \leq 3 3 \leq ∣ z ∣ \leq 5$
2. Zerlege das Integral an der Nahtstelle der Schnittflächenformel:
  
  $V = \int_{- 3}^{3} 16 π d z + 2 \int_{3}^{5} π (25 - z^{2}) d z = 96 π + \frac{104 π}{3} = \frac{392 π}{3}$
3. Probe: Kugelvolumen abzüglich des Rings aus Aufgabe 2.
  
  $\frac{4 π \cdot 5 ^{3}}{3} - 36 π = \frac{500 π - 108 π}{3} = \frac{392 π}{3}$
Antwort

392π/3 ≈ 410,5014.

$V = \frac{392 π}{3} \approx 410.5014$
Der Ring über Zylinderschalen 2 Schritte
Berechne das Volumen des Rings aus Aufgabe 2 mithilfe von Zylinderschalen um die Achse der Bohrung.
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1. Eine Zylinderschale im Abstand x von der Achse mit 4 ≤ x ≤ 5 reicht vom unteren bis zum oberen Kugelrand, besitzt also die Höhe 2√(25 − x²):
  
  $V = 2 π \int_{4}^{5} x \cdot 2 25 - x^{2} d x$
2. Substituiere u = 25 − x²:
  
  $V = 2 π \int_{0}^{9} u d u = 2 π \cdot \frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} = 36 π$
Antwort

36π, genau wie bei der Schnittflächenmethode.

$V = 36 π$

Zwei Zylinder durchdringen sich zu einem Körper ohne π im Volumen 🖖

Klicke auf Gekreuzte Zylinder. Jeder waagerechte Schnitt durch den gemeinsamen Körper ist ein Quadrat mit Seitenlänge 2√(r² − z²). Seine Fläche 4(r² − z²) ist ein einfaches Polynom; das Integral liefert 16r³/3, und weit und breit taucht kein π auf. Die Kugel mit Radius r schmiegt sich genau in diesen Schnittkörper. Ihr Schnitt auf derselben Höhe ist der dem Quadrat einbeschriebene Inkreis. Weil ein Kreis auf jeder Höhe genau den Bruchteil π/4 seines Quadrats ausmacht, nimmt auch die Kugel π/4 des Schnittkörpers ein: 16r³/3 · π/4 = 4πr³/3. Schon Archimedes bemerkte diese Eigenheit in einem Brief an Eratosthenes. Bislang hatte er Konoide und Sphäroide mit Kegeln und Zylindern verglichen – nie entsprach das Ergebnis einem Körper mit ebenen Begrenzungsflächen. Dieser hier tut es: exakt zwei Drittel des umhüllenden Würfels. In Heaths Ausgabe von 1912 galt der Beweis noch als verloren.

Das Volumen des Serviettenrings hängt nur von seiner Höhe ab 🖖

Klicke auf Durchbohrte Kugel. Eine Kugel mit Radius 5 und einer Bohrung vom Radius 4 hinterlässt einen Ring der Höhe 6 mit dem Volumen 36π ≈ 113,0973. Überlege kurz, bevor du an R ziehst: Müsste eine größere Kugel nicht mehr Ring übrig lassen? Wächst die Kugel, muss auch die Bohrung breiter werden, damit der Ring 6 hoch bleibt – doch am Volumen ändert das nichts. Auf Höhe z ist der Querschnitt ein Kreisring vom Radius a bis √(R² − z²) mit dem Flächeninhalt π(R² − z² − a²). Die Bohrung ist dabei so gewählt, dass R² − a² = (h/2)² gilt. Was übrig bleibt, π((h/2)² − z²), enthält überhaupt kein R mehr. Das ist die Schnittfläche einer Vollkugel mit Durchmesser h. Genau das zeigt Gleicher Ring, R = 3: Die Bohrung schließt sich, und der Ring wird zur ganzen Kugel. Ein 6 cm hoher Ring aus einer Kugel von der Größe der Erde hat exakt dasselbe Volumen wie eine Kugel mit 6 cm Durchmesser.

Nimm den Rundkörper aus seiner Hülle, und der Rest entspricht Kegeln 🖖

Klicke auf Zylinder minus Kugel. Auf jeder Höhe ist der Querschnitt des Zylinders eine Kreisscheibe der Fläche πr² und jener der Kugel eine Scheibe von π(r² − z²). Die Differenz beträgt somit πz² – exakt die Schnittfläche zweier Kegel, die sich mit ihren Spitzen im Zentrum berühren. Gleiche Schnittflächen auf jeder Höhe bedeuten nach Cavalieri gleiches Volumen. Folglich fasst der Zylinder abzüglich der Kugel genau das Volumen dieser zwei Kegel, 2πr³/3. Für die Kugel verbleiben 2πr³ − 2πr³/3 = 4πr³/3, also zwei Drittel ihres Zylinders. Genauso funktioniert Würfel minus Schnittkörper: Sein Querschnitt ist ein quadratischer Rahmen der Fläche 4r² − 4(r² − z²) = 4z², was dem Schnitt zweier quadratischer Pyramiden entspricht. Er besitzt also deren Volumen 8r³/3. Für den Schnittkörper bleiben damit 16r³/3, ohne dass man je mehr als z² integrieren müsste. Archimedes wünschte sich Kugel und Zylinder für seinen Grabstein; im Jahr 75 v. Chr. spürte Cicero das Grab auf Sizilien im Gestrüpp auf, erkannt an dieser Zeichnung auf einer kleinen Säule. In China fand Zu Geng (um 450 bis 520) das Kugelvolumen auf ganz ähnliche Weise, indem er einen Würfel mit Zylindern schnitt und die Teile Schicht für Schicht verglich.

Lernpfad

Anwendungen der Integralrechnung

Quellen (4)

The slicing method the page applies to each combination, V = ∫ A(x) dx, and the washer as the difference of two discs: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.2, “Determining Volumes by Slicing”.
Insight block 1: Archimedes' letter to Eratosthenes announcing that the solid inside two cylinders inscribed in one cube “is two-thirds of the whole cube”, and that, unlike the solids compared before with cones and cylinders, it “is found to be equal to one of the solid figures which are bounded by planes” (pp. 12–13); “One of the two geometrical proofs is lost” (Introductory Note, p. 7), and Proposition 15, the mechanical investigation of the same solid, “is lost” (p. 48): T. L. Heath (ed.), The Method of Archimedes, Recently Discovered by Heiberg: A Supplement to The Works of Archimedes, 1897, Cambridge University Press (1912).
Insight blocks 1 and 3: the sphere two thirds of its circumscribed cylinder (On the Sphere and Cylinder, Book 1); the tomb carrying a sphere and a cylinder, found by Cicero in Sicily in 75 BC under brambles and thickets; Heiberg's discovery in 1906 of the tenth-century manuscript containing the Method: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Archimedes of Syracuse”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated January 1999).
Insight block 3: Zu Geng (about 450 to about 520) cut a circumscribed cube into eight small cubes and these by cylindrical cuts, and found the sphere's volume by comparing the pieces through the principle that solids of the same height with sections in a constant ratio have volumes in that ratio: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Zu Geng”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated December 2003).

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.