Die Zylinderschalenmethode

Rotiert eine Fläche um die y-Achse, kannst du sie quer zur Achse in Kreisringe schneiden oder längs der Achse in dünne Zylinderschalen mit Radius x und Höhe h(x). Das Volumen ist auf beiden Wegen identisch; diese Seite berechnet beide Integrale unabhängig voneinander. Wie schwer die Rechnung wird, entscheidet allein deine Schnittrichtung.

Zylinderschalen um die y-Achse	$V = 2 π \int_{a}^{b} x h (x) d x$
Pappus	$V = A \cdot 2 π \overset{r}{ˉ}$

Rechenbeispiel — Die Zylinderschalenmethode

Mantelfläche der Schale bei x	0,7854
Volumen über Zylinderschalen	1,5708
Volumen über Kreisringe (quer zu y)	1,5708
Schale bei x	2πx·h(x)

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Die Zylinderschalenmethode

Rotiert die Fläche unter y = h(x) für a ≤ x ≤ b um die y-Achse, ergibt sich das Volumen V = 2π∫ₐᵇ x h(x) dx über Zylinderschalen: Jeder Streifen bei x erzeugt einen dünnen Zylinder mit Radius x, Höhe h(x) und Wandstärke dx.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

h(x): die Höhe der Fläche bei x, oberer Rand minus unterer Rand
x: der Radius der Zylinderschale: ihr Abstand zur Drehachse

Woher die Formel kommt

Eine Schale. Abgerollt ist ein dünner Zylinder mit Radius x, Höhe h und Wandstärke Δx praktisch ein flacher Quader mit Länge 2πx und Höhe h; sein Volumen beträgt also näherungsweise 2πx·h·Δx.
$Δ V \approx (2 π x) \cdot h (x) \cdot Δ x$
Schalen aufsummieren. Summiere über alle Streifen und lasse Δx gegen null gehen.
$V = lim i \sum 2 π x_{i} h (x_{i}) Δ x = 2 π \int_{a}^{b} x h (x) d x$

Aufgaben vollständig gelöst

Derselbe Körper, beide Wege 2 Schritte
Die Fläche unter y = x² über [0, 1] rotiert um die y-Achse. Bestimme das Volumen über Zylinderschalen und über Kreisringe.

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1. Zylinderschalen: Radius x, Höhe x².
  
  $V = 2 π \int_{0}^{1} x \cdot x^{2} d x = 2 π \cdot \frac{1}{4} = \frac{π}{2}$
2. Kreisringe: Entlang von y reicht die Fläche von x = √y bis x = 1.
  
  $V = π \int_{0}^{1} (1^{2} - (y)^{2}) d y = π \cdot \frac{1}{2} = \frac{π}{2}$
Antwort

π/2 ≈ 1,5708 auf beiden Wegen.

$V = \frac{π}{2} \approx 1.5708$
Wo Zylinderschalen der leichtere Weg sind 2 Schritte
Die Fläche unter y = sin x über [0, π] rotiert um die y-Achse. Bestimme das Volumen.

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1. Zylinderschalen: Radius x, Höhe sin x.
  
  $V = 2 π \int_{0}^{π} x sin x d x$
2. ∫x sin x dx partiell integriert mit u = x und dv = sin x dx:
  
  $\int_{0}^{π} x sin x d x = [- x cos x]_{0}^{π} + \int_{0}^{π} cos x d x = π + 0$
Antwort

2π² ≈ 19,7392. Über Kreisringe bräuchtest du arcsin y; deshalb rechnet das auch niemand so.

$V = 2 π^{2} \approx 19.7392$
Eine Fläche zwischen zwei Kurven 1 Schritte
Die Fläche zwischen y = x und y = x² über [0, 1] rotiert um die y-Achse. Bestimme das Volumen.

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1. Zylinderschalen: Radius x, Höhe x − x².
  
  $V = 2 π \int_{0}^{1} x (x - x^{2}) d x = 2 π (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{π}{6}$
Antwort

π/6 ≈ 0,5236.

$V = \frac{π}{6} \approx 0.5236$
Ein Torus 2 Schritte
Die Kreisscheibe (x − 2)² + y² ≤ 1 rotiert um die y-Achse. Bestimme das Volumen.

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1. Nach Pappos: Fläche mal Weg des Mittelpunkts.
  
  $V = A \cdot d = π \cdot 1^{2} \cdot 2 π \cdot 2 = 4 π^{2}$
2. Über Schalen beträgt die Höhe bei x genau 2√(1 − (x − 2)²):
  
  $V = 2 π \int_{1}^{3} x \cdot 2 1 - (x - 2)^{2} d x = u = x - 2 4 π \int_{- 1}^{1} (u + 2) 1 - u^{2} d u = 4 π \cdot 2 \cdot \frac{π}{2}$
Antwort

4π² ≈ 39,4784. Das Schalenintegral erfordert eine Substitution und die Fläche eines Halbkreises; Pappos braucht eine einzige Zeile.

$V = 4 π^{2} \approx 39.4784$
Eine Wurzelfunktion über Zylinderschalen 1 Schritte
Die Fläche unter y = √x über [0, 4] rotiert um die y-Achse. Bestimme das Volumen.
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1. Zylinderschalen: Radius x, Höhe √x, der Integrand ist also eine einfache Potenz von x.
  
  $V = 2 π \int_{0}^{4} x x d x = 2 π [\frac{2}{5} x^{5/2}]_{0}^{4} = 2 π \cdot \frac{64}{5}$
Antwort

128π/5 ≈ 80,4248.

$V = \frac{128 π}{5} \approx 80.4248$
Zylinderschalen um die x-Achse 2 Schritte
Bestimme das Volumen über Zylinderschalen, wenn die Fläche unter y = x² über [0, 1] um die x-Achse rotiert.
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1. Bei einer Drehung um die x-Achse verlaufen die Schalen parallel zu x: Radius y und Länge von x = √y bis x = 1.
  
  $V = 2 π \int_{0}^{1} y (1 - y) d y = 2 π (\frac{1}{2} - \frac{2}{5}) = \frac{π}{5}$
2. Gegenprobe über Kreisscheiben:
  
  $V = π \int_{0}^{1} (x^{2})^{2} d x = \frac{π}{5}$
Antwort

π/5 ≈ 0,6283 auf beiden Wegen. Zylinderschalen verlaufen immer parallel zur Drehachse; ihr Radius ist stets der Abstand zu ihr.

$V = \frac{π}{5} \approx 0.6283$

Zwei Zerlegungen, ein Volumen 🖖

Klick auf y = x², beide Wege. Zylinderschalen zerlegen den Körper in ineinandergeschachtelte Zylinder mit Radius x und Höhe x² und summieren 2πx·x² über [0, 1]. Kreisringe schneiden ihn quer zur Achse in Scheiben mit Außenradius 1 und Innenloch vom Radius √y; hier integrierst du π(1 − y) über [0, 1]. Beide Rechnungen stehen völlig für sich und beide ergeben 1,5708 = π/2. Das müssen sie auch: Es sind zwei Wege, denselben Körper in dünne Schichten zu teilen. Dem Volumen ist das Messer egal.

Schneide in Richtung der einfacheren Beschreibung 🖖

Klick auf sin x: Schalen siegen. Entlang von x lässt sich die Fläche bequem beschreiben, 0 ≤ y ≤ sin x für 0 ≤ x ≤ π; Schalen führen daher über 2π∫x sin x dx mit einer einzigen partiellen Integration direkt zu 2π². Quer über y reicht der Bereich jedoch von arcsin y bis π − arcsin y, sodass Kreisringe das Integral π∫((π − arcsin y)² − (arcsin y)²) dy verlangen. Die Seite rechnet das aus und landet bei denselben 19,7392 – von Hand würde sich das aber niemand antun. Frage dich vor der Methodenwahl immer, bezüglich welcher Variable sich die Ränder einfacher ausdrücken lassen; die Schnitte legst du dann parallel zur anderen Achse.

Ein Torus: Kreisfläche mal Weg seines Mittelpunkts 🖖

Klick auf Ein Torus. Die Kreisscheibe mit Radius 1 um x = 2 beschreibt einen Ring; Schalen liefern das Volumen 39,4784 = 4π². Das ist exakt die Kreisfläche π mal dem Weg, den der Mittelpunkt um die Achse zurücklegt: 2π·2 = 4π. Pappos von Alexandria formulierte diesen Zusammenhang schon um 340 im VII. Buch seiner Mathematischen Sammlung für beliebige Flächen, die um eine nicht schneidende Achse rotieren. 1640 veröffentlichte Paul Guldin das Prinzip erneut, weshalb es heute meist seinen Namen trägt.

Lernpfad

Anwendungen der Integralrechnung

Quellen (3)

The method of cylindrical shells as the page uses it (equation 6.6, V = ∫ₐᵇ 2πx f(x) dx about the y-axis), and the section's own comparison of shells with discs and washers, the choice depending on which integral is easier: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.3, “Volumes of Revolution: Cylindrical Shells”.
Insight block 3: Theorem 6.14, Theorem of Pappus for Volume (a region turned about a line that does not meet it has volume equal to its area times the distance its centroid travels): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 6.6, “Moments and Centers of Mass”.
Insight block 3: the attribution, “what is now known as Guldin's theorem was proved by Pappus in Book VII of the Mathematical Collection”, the Collection “thought to have been written in around 340”, and Guldin's publication in 1640: J. J. O'Connor and E. F. Robertson, “Pappus of Alexandria”, MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews (last updated April 1999).

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.