Akkumulation und Bewegung

Integrierst du die Geschwindigkeit, erhältst du die reine Ortsänderung. Integrierst du ihren Betrag, erfährst du, wie weit sich das Objekt tatsächlich bewegt hat. Sobald es umkehrt, fallen beide Werte auseinander. Die Grafik färbt Vorwärts- und Rückwärtsabschnitte ein, zeichnet die Ortskurve und markiert jeden Moment, in dem die Geschwindigkeit genau ihrem Mittelwert entspricht.

Wegstrecke im Vergleich zur Ortsänderung	$\int_{a}^{b} v d t = s (b) - s (a), d = \int_{a}^{b} ∣ v ∣ d t$
Mittelwert	$\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (t) d t$

Rechenbeispiel — Akkumulation und Bewegung

Ortsänderung	1,3333
Wegstrecke, an Umkehrpunkten geteilt	4
Mittlere Geschwindigkeit	0,3333
Mittlere Bahngeschwindigkeit	1
Zeitpunkte mit v gleich Mittelwert	0,8453, 3,1547

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Lektion

Die Theorie — Akkumulation und Bewegung

Für eine Geschwindigkeit v(t) auf [a, b] ist die Ortsänderung durch ∫ₐᵇ v dt gegeben und die zurückgelegte Wegstrecke durch ∫ₐᵇ |v| dt. Der Mittelwert einer Funktion f auf [a, b] ist (1/(b − a))∫ₐᵇ f dt: die Höhe des Rechtecks über [a, b], das denselben Flächeninhalt besitzt wie die Fläche unter f.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

v̄: die mittlere Geschwindigkeit: Ortsänderung geteilt durch die verstrichene Zeit

Woher die Formel kommt

Wegstrecke: An Umkehrpunkten zerlegen. Wo v das Vorzeichen wechselt, kehrt das Objekt um, und |v| hat auf beiden Seiten einen anderen Funktionsterm. Integriere zwischen benachbarten Umkehrpunkten und addiere die Beträge.
$\int_{a}^{b} ∣ v ∣ d t = i \sum \int_{t_{i}}^{t_{i + 1}} v d t, v (t_{i}) = 0$
Der Mittelwert wird angenommen. Eine stetige Funktion f auf [a, b] nimmt jeden Wert zwischen ihrem Minimum m und Maximum M an. Da ihr Mittelwert dazwischen liegt, nimmt f diesen Wert an mindestens einer Stelle c an.
$m \leq \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f d t \leq M \Rightarrow f (c) = \overset{ˉ}{f}$

Aufgaben vollständig gelöst

Mittelwert und wo er erreicht wird 2 Schritte
Bestimme den Mittelwert von f(t) = t² auf [0, 3] und den Zeitpunkt, an dem f diesen Wert annimmt.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Teile das Integral durch die Intervalllänge:
  
  $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} t^{2} d t = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3$
2. Löse f(c) = 3 innerhalb des Intervalls:
  
  $c^{2} = 3 \Rightarrow c = 3$
Antwort

Mittelwert 3, erreicht bei c = √3 ≈ 1,7321. Nicht im Mittelpunkt 1,5, an dem t² erst 2,25 beträgt.

$\overset{ˉ}{f} = 3, c = 3 \approx 1.7321$
Ortsänderung und Wegstrecke 2 Schritte
Ein Teilchen bewegt sich für 0 ≤ t ≤ 4 mit der Geschwindigkeit v(t) = t² − 4t + 3. Bestimme seine Ortsänderung und die zurückgelegte Wegstrecke.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Die Ortsänderung ist das einfache Integral:
  
  $\int_{0}^{4} (t^{2} - 4 t + 3) d t = [\frac{t ^{3}}{3} - 2 t^{2} + 3 t]_{0}^{4} = \frac{4}{3}$
2. Die Umkehr erfolgt bei v = 0, also bei t = 1 und t = 3; zerlege die Wegstrecke an diesen Stellen:
  
  $\frac{4}{3} + - \frac{4}{3} + \frac{4}{3} = 4$
Antwort

Ortsänderung 4/3, Wegstrecke 4. Jeder der drei Abschnitte umfasst 4/3; der mittlere verläuft rückwärts.

$Δ s = \frac{4}{3}, d = 4$
Ortsfunktion aus Geschwindigkeit und Startwert 2 Schritte
Gegeben sind v(t) = 3t² − 6t und s(0) = 2. Bestimme s(t) sowie den Ort bei t = 3.
Lösung anzeigen
1. Der Ort ergibt sich aus dem Startwert plus der aufsummierten Geschwindigkeit:
  
  $s (t) = 2 + \int_{0}^{t} (3 τ^{2} - 6 τ) d τ = t^{3} - 3 t^{2} + 2$
2. Bei t = 3:
  
  $s (3) = 27 - 27 + 2 = 2$
Antwort

s(t) = t³ − 3t² + 2 und s(3) = 2. Wieder am Ausgangsort: Das Objekt lief bis t = 2 rückwärts, wo s = −2 ist, und danach wieder vorwärts.

$s (t) = t^{3} - 3 t^{2} + 2, s (3) = 2$
Mittelwert einer Sinusfunktion 1 Schritte
Bestimme den Mittelwert von sin t auf [0, π].

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Das Integral über den Sinusbogen, geteilt durch seine Breite:
  
  $\overset{ˉ}{f} = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} sin t d t = \frac{1}{π} [- cos t]_{0}^{π} = \frac{2}{π}$
Antwort

2/π ≈ 0,6366. Die Seite markiert beide Zeitpunkte, an denen er erreicht wird: bei 0,6901 und π − 0,6901 = 2,4515.

$\overset{ˉ}{f} = \frac{2}{π} \approx 0.6366$
Akkumulation aus einer Rate 1 Schritte
Wasser fließt für 0 ≤ t ≤ 5 mit einer Rate von r(t) = 20 − 4t Litern pro Minute in ein Becken. Wie viel Wasser fließt hinein?
Lösung anzeigen
1. Die Wassermenge ist das Integral über die Zuflussrate:
  
  $\int_{0}^{5} (20 - 4 t) d t = [20 t - 2 t^{2}]_{0}^{5} = 100 - 50$
Antwort

50 Liter. Bei t = 5 fällt die Rate auf 0 ab. Die Wassermenge entspricht somit der Fläche eines Dreiecks mit Grundseite 5 und Höhe 20 – eine Probe ganz ohne Integralrechnung.

$50 L$
Hin- und Rückweg 2 Schritte
v(t) = sin t auf [0, 2π]. Bestimme die mittlere Geschwindigkeit und die mittlere Bahngeschwindigkeit.

Öffne diese Aufgabe im Tool
Lösung anzeigen
1. Die Ortsänderung über den vollen Umlauf ist 0:
  
  $\int_{0}^{2 π} sin t d t = 0$
2. Die Wegstrecke wird bei π aufgeteilt:
  
  $\frac{1}{2 π} (\int_{0}^{π} sin t d t - \int_{π}^{2 π} sin t d t) = \frac{4}{2 π} = \frac{2}{π}$
Antwort

Mittlere Geschwindigkeit 0, mittlere Bahngeschwindigkeit 2/π ≈ 0,6366. Nach einem Hin- und Rückweg ist die mittlere Geschwindigkeit immer 0, ganz gleich wie schnell das Objekt unterwegs war.

$\overset{v}{ˉ} = 0, \frac{2}{π} \approx 0.6366$

Die Ortsänderung zeigt die Endposition; erst die Wegstrecke verrät, wie weit der Weg wirklich war 🖖

Klick auf Dreimal so weit. Die Geschwindigkeit t² − 4t + 3 ist bis t = 1 positiv, zwischen 1 und 3 negativ und danach wieder positiv. Integrierst du über [0, 4], hebt der Rückweg einen Teil der Vorwärtsstrecke wieder auf: Das Objekt landet 1,3333 vom Start entfernt. Zurückgelegt hat es jedoch 4, also das Dreifache. Jeder der drei Abschnitte misst für sich 4/3, und erst der Betrag zählt sie lückenlos als Wegstrecke. Das Integral über die Geschwindigkeit beantwortet das Wo. Für das Wie-weit teilst du an jedem Umkehrpunkt und addierst die Teilstücke positiv.

Der Mittelwert wird irgendwo erreicht, doch selten genau in der Mitte 🖖

Klick auf t²: Nicht in der Mitte. Der Mittelwert von t² über [0, 3] beträgt 9/3 = 3. Die gestrichelte Linie schneidet die Kurve genau einmal: bei t = √3 ≈ 1,7321. Die Intervallmitte liegt bei 1,5, wo t² gerade einmal 2,25 erreicht. Weil eine stetige Funktion nach dem Zwischenwertsatz jeden Wert zwischen ihrem Minimum und Maximum annimmt, wird auch ihr Mittelwert garantiert irgendwo erreicht. Wo genau das geschieht, bestimmt der Kurvenverlauf: Wächst eine Funktion wie t² gegen Ende immer steiler an, holt sie ihren Mittelwert erst spät ein.

Eine volle Schwingung hat die mittlere Geschwindigkeit null, die mittlere Bahngeschwindigkeit jedoch nicht 🖖

Klick auf Eine volle Schwingung. Über einen vollen Umlauf bewegt sich sin t vorwärts und kehrt an den Ausgangspunkt zurück: Ortsänderung 0, die mittlere Geschwindigkeit ist also 0, obwohl die Bewegung zwischen Start und Ziel nur am Umkehrpunkt stillstand. Die mittlere Bahngeschwindigkeit – Weg durch Zeit – beträgt 4/(2π) = 2/π ≈ 0,6366. Klick nun auf Eine halbe Schwingung: Der Mittelwert von sin t über [0, π] ist ebenfalls 2/π. Das ist kein Zufall: Die zweite Hälfte der Schwingung legt in derselben Zeit denselben Weg zurück wie die erste, daher entspricht die über den vollen Umlauf gemittelte Bahngeschwindigkeit genau der mittleren Geschwindigkeit der halben Schwingung.

Lernpfad

Anwendungen der Integralrechnung

Quellen (2)

Displacement against distance as the page computes them: the Net Change Theorem (Theorem 5.6, F(b) = F(a) + ∫ₐᵇ F′(x) dx) and Examples 5.24 and 5.25, net displacement from ∫v and total distance from ∫|v| split where v changes sign: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.4, “Integration Formulas and the Net Change Theorem”.
The average value reached somewhere: the Mean Value Theorem for Integrals (Theorem 5.3): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 5.3, “The Fundamental Theorem of Calculus”.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.