Körperlabor: Kugel, Kegel & Zylinder

Platzieren Sie eine Kugel mit dem Radius 3 in den kleinsten Zylinder, der sie fasst. Zeigen Sie, dass die Volumina im Verhältnis 2:3 stehen, dass für die Gesamtoberflächen dasselbe Verhältnis 2:3 gilt, und begründen Sie dann, warum dieselbe Zahl zweimal auftaucht.

1. Der umschriebene Zylinder ist durch die Kugel vorgegeben: Sein Radius ist r und seine Höhe ist 2r, da die Kugel die Mantelfläche und beide Grundflächen berühren muss. Nichts ist frei wählbar.

   $$V_{\text{sph}}=\frac{4}{3}\pi r^3,V_{\text{cyl}}=\pi r^2\cdot 2r=2\pi r^3$$

2. Volumina. Die Kugel hat ⁴⁄₃πr³ und der Zylinder πr² × 2r = 2πr³. Dividiert man: (⁴⁄₃) ÷ 2 = ²⁄₃, hat sich r gekürzt, sodass das Verhältnis für jede Kugel gilt, die es jemals gab. Bei r = 3 entspricht das 113,10 gegenüber 169,65.

   $$\frac{V_{\text{sph}}}{V_{\text{cyl}}}=\frac{4/3}{2}=\frac{2}{3}$$

3. Oberflächen. Die Kugel hat 4πr². Der Zylinder benötigt drei Teile: zwei ebene Flächen von jeweils πr² und die Mantelfläche, die sich zu einem Rechteck der Breite 2πr und der Höhe 2r abrollt — also 4πr². Insgesamt 2πr² + 4πr² = 6πr².

   $$A_{\text{cyl}}=\underset{\text{caps}}{\underbrace{2\pi r^2}}+\underset{\text{wall}}{\underbrace{2\pi r\cdot 2r}}=6\pi r^2$$

4. Erneut dividieren: 4πr² ÷ 6πr² = ²⁄₃. Dasselbe Verhältnis aus einer völlig anderen Berechnung. Bei r = 3 sind das nochmals 113,10 gegenüber 169,65.

   $$\frac{A_{\text{sph}}}{A_{\text{cyl}}}=\frac{4\pi r^2}{6\pi r^2}=\frac{2}{3}$$

5. Warum das kein Zufall ist, siehst du an der Mantelfläche allein: Sie beträgt 4πr² und ist damit genauso groß wie die gesamte Oberfläche der Kugel. Das ist das Ergebnis von Archimedes. Schneidet man Kugel und Zylinder mit zwei beliebigen Ebenen senkrecht zur Zylinderachse, haben die dazwischenliegenden Streifen denselben Flächeninhalt. Denn je weiter oben der Schnitt durch die Kugel liegt, desto kleiner werden die Kreise – genau in dem Maß, in dem die Oberfläche steiler wird. Nimm die beiden Grundflächen mit zusammen 2πr² hinzu, und aus 4 wird 6.

   $$A_{\text{sph}}=4\pi r^2=A_{\text{wall}}\text{(Archimedes)}$$

6. Eine Warnung bezüglich des Anzeigefelds bei diesen Einstellungen. Es gibt 113,0973 für das Kugelvolumen und 113,0973 für ihre Oberfläche aus, und dabei handelt es sich nicht um dieselbe Art von Größe — das eine sind Kubikeinheiten, das andere Quadrateinheiten. Sie stimmen nur überein, weil ⁴⁄₃πr³ = 4πr² die Bedingung r = 3 erfordert. Setzt man r auf 4, weichen sie sofort voneinander ab.

   $$\frac{4}{3}\pi r^3=4\pi r^2⟺r=3\text{(why the panel prints 113.0973 twice)}$$

Bei gleichem Volumen berechnet das Feld dem Zylinder 14,5 % mehr Oberfläche als der Kugel und dem Kegel 26,0 %. Rechne nach, woher diese beiden Werte kommen, und entscheide, ob die Voreinstellung für gleiches Material eine zweite Tatsache ist oder dieselbe.

1. Fang bei der Kugel an. Bei r = 3 ist das Volumen (4/3)π × 27 = 113,10 und die Oberfläche 4π × 9 = 113,10; das ist die Vorgabe, die jeder andere Körper einholen muss.

   $$V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi \cdot 27=113.10,A_{\text{sph}}=4\pi r^2=113.10$$

2. Der billigste geschlossene Zylinder, der dieses Volumen fasst, hat h = 2r, das Verhältnis, das die Oberfläche minimiert. Dann ist V = 2πr³ und A = 6πr², also r = ∛18 = 2,6207, und die Fläche kommt auf 129,46.

   $$\text{Best cylinder: }h=2r_c\Rightarrow V=2\pi r_c^3,A=6\pi r_c^2;r_c=\sqrt[3]{18}=2.6207,A=129.46$$

3. Führe den Vergleich ohne Zahlen, und r fällt heraus. Gleiche Volumina erzwingen r_Kugel³ = (3/2)r_Zyl³, und das Flächenverhältnis fällt auf die Kubikwurzel von 3/2 zusammen, also 1,1447. Das sind die 14,5 %, und sie gelten in jeder Größe.

   $$r_s^3=\frac{3}{2}{r}_c^3⟹\frac{A_{\text{cyl}}}{A_{\text{sph}}}=\frac{6\pi r_c^2}{4\pi {\left(\frac{3}{2}\right)}^{2/3}{r}_c^2}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}=1.1447\Rightarrow +14.5\%$$

4. Der billigste Kegel hat h = √8 r, womit seine Mantellinie genau 3r und seine Fläche 4πr² wird. Dieselbe Kürzung lässt die Kubikwurzel von 2 übrig, also 1,2599 und damit 26,0 %.

   $$\text{Best cone: }h=\sqrt{8}{r}_n\Rightarrow \ell =3r_n,A=4\pi r_n^2,V=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi r_n^3;\frac{A_{\text{cone}}}{A_{\text{sph}}}=\sqrt[3]{2}=1.2599\Rightarrow +26.0\%$$

5. Zwei Kubikwurzeln kleiner Brüche sind ein starker Hinweis darauf, dass eine einzige Größe die Arbeit macht, und das ist Q = 36πV²/A³. Es trägt keine Einheiten und rührt sich nicht, wenn ein Körper skaliert wird. Die Kugel liefert 1, der beste Zylinder ⅔ und der beste Kegel exakt ½.

   $$Q=\frac{36\pi V^2}{A^3}:Q_{\text{sph}}=1,Q_{\text{cyl}}=\frac{2}{3},Q_{\text{cone}}=\frac{1}{2}$$

6. Q entscheidet beide Voreinstellungen auf einmal. Bei festem Volumen geht die Oberfläche mit Q hoch −⅓, was 1,1447 und 1,2599 zurückgibt. Bei fester Oberfläche geht das Volumen mit √Q, also fasst die Kugel das √(3/2) = 1,2247-Fache des Zylinders und das √2 = 1,4142-Fache des Kegels. Das sind die 22,5 % und 41,4 % auf den Karten für gleiches Material.

   $$\text{fixed }V:A\propto Q^{-1/3}\Rightarrow 1.1447,1.2599;\text{fixed }A:V\propto Q^{1/2}\Rightarrow \sqrt{\frac{3}{2}}=1.2247,\sqrt{2}=1.4142$$

7. Und das ⅔ des Zylinders ist genau das Verhältnis, mit dem diese Seite angefangen hat. Der oberflächenminimale Zylinder ist h = 2r, das ist der umschreibende Zylinder des Archimedes, und dort fasst die Kugel zwei Drittel sowohl des Volumens als auch der Oberfläche. Setz das in Q ein, und die Quadrate und Kuben lassen (3/2)² ÷ (3/2)³ = ⅔ übrig.

   $$\frac{V_{\text{sph}}}{V_{\text{cyl}}}=\frac{A_{\text{sph}}}{A_{\text{cyl}}}=\frac{2}{3}⟹Q_{\text{cyl}}=\frac{(3/2{)}^2}{(3/2{)}^3}=\frac{2}{3}$$