Umkehrfunktionen-Explorer

Wähle eine Funktion, bewege einen Punkt auf f und beobachte den gespiegelten Punkt der Umkehrfunktion. Schränke den Definitionsbereich für nicht-injektive Fälle ein.

Rechenbeispiel — Umkehrfunktionen-Explorer

Punkt P auf f	(2,4)
Gespiegelter Punkt Q auf f⁻¹	(4,2)
Umkehrbar im aktuellen Definitionsbereich	Ja

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Warum die Wurzel nur die Hälfte der Lösungen liefert 🖖

Das Quadrieren schickt 3 und −3 an dieselbe Stelle, also hat die Umkehrung keine eindeutige Antwort — und eine Funktion darf pro Eingabe nur einen Wert ausgeben. Die Mathematik löst das durch Amputation: die Quadratwurzel ist die Umkehrung des Quadrierens, eingeschränkt auf x ≥ 0. Diese Einschränkung ist der Grund, weshalb √9 gleich 3 ist und nicht ±3, und weshalb man beim Lösen von x² = 9 das ± von Hand wieder ergänzen muss. Der Horizontaltest ist nur ein Verfahren, um vorab zu erkennen, welche Funktionen diesen Eingriff brauchen.

Der Rückgängig-Knopf und sein Test 🖖

Eine Umkehrfunktion ist wie eine Rückgängig-Taste: Schickt man die Ausgabe von f durch f⁻¹, landet man wieder beim Ausgangswert x. Zum Bestimmen vertauscht man x und y in der Gleichung und löst auf — genau dieses Vertauschen spiegelt beide Graphen an der Geraden y=x. Der sicherste Test ist die Verkettung: Gilt f(f⁻¹(x)) = x und f⁻¹(f(x)) = x, hast du wirklich ein passendes Paar. Celsius in Fahrenheit umzurechnen und zurück ist dasselbe Prinzip im Alltag.

Funktionen, die ihre eigene Umkehrung sind 🖖

Die meisten Kurven sehen ganz anders aus als ihr Spiegelbild an y=x, doch einige wenige liegen exakt auf sich selbst. Das sind Involutionen, Funktionen mit f(f(x)) = x — sie sind ihre eigene Umkehrfunktion. Der Kehrwert f(x) = 1/x ist der Klassiker: Seine Hyperbel ist bereits symmetrisch zu y=x, das Spiegeln ändert also nichts. Derselbe Selbst-Rückgängig-Trick steckt hinter ROT13, wo zweimaliges Verschlüsseln den Originaltext wiederherstellt.

UMKEHRFUNKTIONEN — GIBT ES EINE, UND AUF WELCHEM DEFINITIONSBEREICH?

In welchem Umkehrfall bist du?

Eine Funktion hat genau dann eine Umkehrung, wenn keine zwei Eingaben denselben Wert liefern — der Horizontalentest. Besteht sie ihn, ist die Umkehrung die Spiegelung an y = x, und mehr ist nicht zu entscheiden. Fällt sie durch, bist du nicht verloren: Schneide den Definitionsbereich auf ein Stück zurecht, auf dem sie besteht, und dort gibt es eine Umkehrung. Welcher Fall vorliegt, entscheidet sich vor jeder Algebra.

Streng monoton — die Umkehrung existiert überall f′ ≠ 0 ⇒ ∃f⁻¹

Der Horizontalentest scheitert — keine Umkehrung auf ganz ℝ f(a) = f(−a) ⇒ ∄f⁻¹

Definitionsbereich einschränken, und die Umkehrung kehrt zurück x ≥ 0 ⇒ f⁻¹ = √x

Ein klassisches Paar — Definitionsbereich und Wertebereich tauschen f: A→B ⇒ f⁻¹: B→A

Streng monoton — die Umkehrung existiert überall

Was du weißt: Die Funktion wiederholt keinen Wert, jede Waagerechte trifft den Graphen also genau einmal. Die Umkehrung ist auf dem ganzen Wertebereich definiert.

Test: f′ ≠ 0 ⇒ ∃f⁻¹

Rechenbeispiel: f(x) = 2x + 1 schickt 2 auf 5, und f⁻¹(x) = (x − 1)/2 schickt 5 zurück auf 2

Diesen Fall öffnen: lineares Paar

Streng monoton — die Umkehrung existiert überall. Jede Waagerechte kreuzt einmal, also ist die Spiegelung an y = x selbst eine Funktion. Die Funktion wiederholt keinen Wert, jede Waagerechte trifft den Graphen also genau einmal. Die Umkehrung ist auf dem ganzen Wertebereich definiert. — Jede Waagerechte kreuzt einmal, also ist die Spiegelung an y = x selbst eine Funktion.

Der Horizontalentest scheitert — keine Umkehrung auf ganz ℝ

Was du weißt: Zwei verschiedene Eingaben liefern denselben Wert, eine Umkehrung müsste also zwei Werte gleichzeitig zurückgeben. Die Spiegelung ergibt eine Kurve, aber keine Funktion.

Test: f(a) = f(−a) ⇒ ∄f⁻¹

Rechenbeispiel: f(x) = x² schickt sowohl 2,5 als auch −2,5 auf 6,25, also hat f⁻¹(6,25) keine eindeutige Antwort

Diesen Fall öffnen: quadratisch (nicht umkehrbar)

Der Horizontalentest scheitert — keine Umkehrung auf ganz ℝ. Die Waagerechte trifft die Parabel zweimal, die Spiegelung kann also keine Funktion sein. Zwei verschiedene Eingaben liefern denselben Wert, eine Umkehrung müsste also zwei Werte gleichzeitig zurückgeben. Die Spiegelung ergibt eine Kurve, aber keine Funktion. — Die Waagerechte trifft die Parabel zweimal, die Spiegelung kann also keine Funktion sein.

Definitionsbereich einschränken, und die Umkehrung kehrt zurück

Was du weißt: Schneide den Bereich auf ein Stück zu, auf dem die Funktion monoton ist. Auf x ≥ 0 besteht die Parabel den Test, und √x ist dort ihre Umkehrung.

Test: x ≥ 0 ⇒ f⁻¹ = √x

Rechenbeispiel: Auf x ≥ 0 schickt f(x) = x² die 2,5 auf 6,25, und f⁻¹(x) = √x schickt 6,25 zurück auf 2,5

Diesen Fall öffnen: quadratisch, eingeschränkt

Definitionsbereich einschränken, und die Umkehrung kehrt zurück. Die halbe Parabel ist monoton, und auf dieser Hälfte ist die Spiegelung wieder eine Funktion. Schneide den Bereich auf ein Stück zu, auf dem die Funktion monoton ist. Auf x ≥ 0 besteht die Parabel den Test, und √x ist dort ihre Umkehrung. — Die halbe Parabel ist monoton, und auf dieser Hälfte ist die Spiegelung wieder eine Funktion.

Ein klassisches Paar — Definitionsbereich und Wertebereich tauschen

Was du weißt: eˣ und ln x sind Umkehrungen voneinander. Was die eine aufnimmt, gibt die andere aus: Der Definitionsbereich der einen ist der Wertebereich der anderen.

Test: f: A→B ⇒ f⁻¹: B→A

Rechenbeispiel: e¹ = 2,718 und ln(2,718) = 1. eˣ bildet ganz ℝ auf die positiven Zahlen ab, ln bildet die positiven Zahlen zurück auf ganz ℝ.

Diesen Fall öffnen: exp und ln

Ein klassisches Paar — Definitionsbereich und Wertebereich tauschen. Jede Kurve ist die an y = x gespiegelte andere; aus der positiven Halbachse wird die ganze Gerade. eˣ und ln x sind Umkehrungen voneinander. Was die eine aufnimmt, gibt die andere aus: Der Definitionsbereich der einen ist der Wertebereich der anderen. — Jede Kurve ist die an y = x gespiegelte andere; aus der positiven Halbachse wird die ganze Gerade.

Aufgabe vollständig gelöst

Der Punkt (2, 4) auf f(x) = x², der auf (4, 2) gespiegelt wird 5 Schritte
Der Punkt (2, 4) auf f(x) = x² wird auf ihrer Umkehrfunktion zu (4, 2). Beweisen Sie, dass die Spiegelung an der Geraden y = x erfolgt – und finden Sie heraus, warum der Definitionsbereich von f überhaupt eingeschränkt werden muss.
1. Eine Umkehrfunktion macht die Funktion rückgängig; wenn f also a auf b abbildet, bildet die Umkehrfunktion b auf a ab. Das Vertauschen der Koordinaten ist bereits die gesamte Operation, und das ist der Grund, warum die beiden Punkte des Werkzeugs dieselben Ziffern in umgekehrter Reihenfolge anzeigen.
  
  $f^{- 1} undoes f : (a, b) \in f ⟺ (b, a) \in f^{- 1} ⟹ Q = (4, 2)$
2. Dieses Vertauschen ist eine Spiegelung, und die Spiegelachse lässt sich aus der Geometrie herleiten, anstatt sie bloß zu behaupten. Betrachten Sie den Mittelpunkt der beiden Punkte.
3. Der Mittelpunkt ist (3, 3), was auf y = x liegt. Das gilt für jedes Paar (a, b) und (b, a), da deren Mittelpunkt stets gleiche Koordinaten besitzt.
  
  $midpoint P Q = (\frac{2 + 4}{2}, \frac{4 + 2}{2}) = (3, 3) \in {y = x}$
4. Nun zur Richtung. Die Verbindungsstrecke hat die Steigung −1, steht also senkrecht zur Geraden y = x, deren Steigung 1 beträgt. Eine Gerade, die eine Strecke rechtwinklig halbiert, ist ihre Mittelsenkrechte, folglich ist y = x die Spiegelachse.
  
  $slope P Q = \frac{2 - 4}{4 - 2} = - 1 ⊥ the line y = x$
5. Die Einschränkung wird durch dasselbe Vertauschen erzwungen. Ohne sie bildet f sowohl 2 als auch −2 auf 4 ab, sodass die Umkehrabbildung der 4 zwei Werte gleichzeitig zuordnen müsste – was keine Funktion wäre.
  
  $f (2) = f (- 2) = 4 ⟹ x \geq 0 is required for f^{- 1} to exist$
Antwort

Das Werkzeug gibt P = (2,4) und Q = (4,2) aus und meldet, dass die Funktion auf dem aktuellen Definitionsbereich umkehrbar ist. Der Beweis besteht aus den zwei Tatsachen in den Schritten 3 und 4: halbiert durch y = x und senkrecht dazu, was genau die Definition einer Spiegelung ist. Die Einschränkung ist bemerkenswert, weil sie ein echter Verlust ist und keine bloße Formalität – x² ist eine völlig einwandfreie Funktion, die schlicht keine Umkehrfunktion besitzt, und die Quadratwurzel ist die Umkehrfunktion einer anderen, kleineren Funktion, die wir vereinbarungsgemäß ebenfalls x² nennen. Schalten Sie die Einschränkung aus und beobachten Sie, wie die gespiegelte Kurve aufhört, eine Funktion zu sein.

$reflection in y = x : bisected by it and perpendicular to it$

Quellen (2)

The condition under which an inverse exists at all, stated precisely: W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, Theorem 9.24 (the inverse function theorem). McGraw-Hill, 1976.
A function with no elementary formula, which exists only as an inverse: R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey and D. E. Knuth, "On the Lambert W function." Advances in Computational Mathematics 5(1), 329–359, 1996.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-27

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Beispielaufgaben

lineares Paar - Lineare Funktionen sind global umkehrbar und exakt spiegelsymmetrisch.
quadratisch (nicht umkehrbar) - x^2 ist auf der gesamten Menge der reellen Zahlen nicht injektiv, daher existiert global keine Umkehrfunktion.
quadratisch, eingeschränkt - Die Einschränkung von x^2 auf x>=0 stellt die Umkehrbarkeit wieder her und liefert sqrt(x).
exp und ln - exp und ln bilden ein klassisches Umkehrpaar, gespiegelt an y=x.