Graphen transformieren: Verschiebungen, Streckungen & Spiegelungen

Klick auf (x − 3)². Jeder Pfeil zeigt nach rechts, und der Scheitelpunkt landet bei (3, 0). Als Rina Zazkis und zwei Kollegen im Jahr 2003 Schüler und Lehrkräfte zu genau dieser Parabel befragten, empfanden die meisten die Verschiebung nach rechts als unlogisch. Die neue Kurve nimmt an der Stelle x den Wert an, den x² bei x − 3 hatte. Sie erreicht den tiefsten Punkt der Parabel also erst dann, wenn x − 3 = 0 gilt. Das passiert bei x = 3: Es ist der alte Graph, der mit einer Verzögerung von drei Einheiten ankommt. Alles, was mit x in der Klammer passiert, geschieht, bevor f darauf zugreift. Der Graph zeigt die Umkehrung. Subtrahierst du 3, bewegt sich der Graph um 3 in die entgegengesetzte Richtung. Multiplizierst du mit 2, wie bei sin 2x, kommt der Graph doppelt so früh an. Daher halbiert sich jede Breite, und der Punkt des Sinus bei 2π, also 6,2832, landet bei 3,1416. Die zwei Zahlen außen, a und d, verändern die Höhe, nachdem f angewendet wurde. Diese tun exakt das, was sie besagen.

Klick auf 2√(2x − 6) + 1. Die Kurve beginnt bei x = 3. Eine Wurzelfunktion startet dort, wo der Ausdruck unter der Wurzel null ergibt. Der Term 2x − 6 wird bei 3 zu null, nicht bei 6. Klammere das Innere zuerst aus: 2x − 6 = 2(x − 3). Die Verschiebung ist die Zahl, die in der Klammer bleibt. Die erste Zeile der Ergebnistabelle macht exakt das: −c/b = −(−6)/2. Du kannst die Bewegungen auf zwei richtige Arten aus der Formel ablesen. Verschiebe den Graphen um 6 nach rechts und stauche ihn dann auf die halbe Breite zur y-Achse hin, was den Startpunkt von 6 auf 3 hereinzieht. Alternativ stauchst du zuerst und verschiebst dann um 3. Die Lesart, die in die Irre führt, nimmt die Zahlen in der geschriebenen Reihenfolge: Sie staucht zuerst und verschiebt dann um 6.

Klick auf (2x)². Der Graph ist die auf die halbe Breite gestauchte Parabel. Die letzte Zeile der Ergebnistabelle schreibt sie als 4x², also als Parabel, die auf die vierfache Höhe gestreckt wurde. Sie bilden eine einzige Kurve, denn (2x)² = 2²·x². Für b > 0 gilt dieselbe Identität, (bx)ⁿ = bⁿxⁿ, bei jeder Potenz. Für x², |x|, x³, √x und 1/x kannst du daher jede horizontale Streckung gegen eine vertikale eintauschen. Nichts im Graphen verrät, welche Bewegung tatsächlich ausgeführt wurde. Die Exponentialfunktion tauscht die andere Bewegung ein. 2ˣ⁺³ ist die um 3 nach links verschobene Funktion 2ˣ, und es ist gleichzeitig 8·2ˣ. Der Grund: 2ˣ⁺³ = 2³·2ˣ. Der Sinus ist die einzige Grundfunktion auf dieser Seite, die nichts davon eintauscht. Stauchst du ihn oder verschiebst ihn um etwas anderes als ein Vielfaches von π, verschieben sich seine Nullstellen. Eine vertikale Streckung belässt jedoch jede Nullstelle an ihrem Platz.