Richtungsfeld & DGL-Löser
Lies eine Differentialgleichung erster Ordnung als Feld kleiner Tangentenstriche. Klicke in den Plot, um Anfangsbedingungen hinzuzufügen und die passenden Lösungskurven zu zeichnen.
Geometrische Visualisierung von Richtungsfeldern 🖖
Ein Richtungsfeld visualisiert eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung dy/dx = f(x,y), indem es kurze Liniensegmente mit der Steigung f(x,y) auf einem Gitter zeichnet. Dies zeigt den Fluss potenzieller Lösungskurven ohne analytische Lösung, einschließlich Gleichgewichtspunkten (dy/dx = 0) und Wendepunkten.
Den Pfeilen folgen, ohne zu rechnen 🖖
Stell dir das Richtungsfeld als viele kleine Wegweiser vor: An jedem Punkt zeigt einer, wohin eine Lösung als Nächstes muss. Eine Lösungskurve folgt einfach diesen Richtungen, wie ein Blatt, das auf einer Strömung treibt. Da jeder Punkt genau eine Richtung hat, legt die Wahl eines Startpunkts (einer Anfangsbedingung) eine einzige Kurve fest — klicke irgendwohin, und das Werkzeug zeichnet diesen eindeutigen Weg.
RK4 wird heimlich zur Simpsonregel 🖖
Das RK4-Verfahren des Werkzeugs wertet die Steigung viermal pro Schritt aus und mischt sie mit den Gewichten 1:2:2:1. Wenn deine Gleichung einfach dy/dx = f(x) ist, ohne y auf der rechten Seite, fällt diese Mischung genau mit der Simpsonregel zur Integration zusammen: h/6·(f₀ + 4f_m + f₁). Das numerische Lösen einer ODE und das Berechnen eines bestimmten Integrals sind hier also dieselbe Rechnung.
Beispielaufgaben
- y' = y - y' = y
- Logistisch - Logistisch
- Kreise - Kreise
- Parabeln - Parabeln