Richtungsfeld & DGL-Löser

Lies eine Differentialgleichung erster Ordnung als Feld kleiner Tangentenstriche. Klicke in den Plot, um Anfangsbedingungen hinzuzufügen und die passenden Lösungskurven zu zeichnen.

Rechenbeispiel — Richtungsfeld & DGL-Löser

Gleichung	y
Richtungsstriche	441
Richtungsstriche (Anzahl)	441; 441 finite
Größte endliche \|Steigung\|	3
Lösungskurven	0
Anfangsbedingungen	noch keine

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Richtungsfeld & DGL-Löser

Eine Differentialgleichung erster Ordnung dy/dx = f(x,y) gibt niemals an, was y ist. Sie gibt an, wie schnell sich y an jedem Punkt ändert. Eine Lösung ist jede Kurve, deren Steigung in jedem Punkt gleich f an dieser Stelle ist — und es gibt eine ganze Kurvenschar davon, genau eine durch jeden Anfangspunkt.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

dy/dx: die Steigung einer Lösungskurve — die Größe, die die Gleichung vorgibt, statt derjenigen, nach der sie auflöst.
f(x,y): die rechte Seite: eine Vorschrift, die für jeden Punkt eine Steigung liefert. Die fünf Voreinstellungen hier sind y, x*y, -y/x, y*(1-y) und x^2-y.
(x₀,y₀): eine Anfangsbedingung — ein Punkt, den die Lösung durchlaufen muss. Sie wählt eine einzelne Kurve aus der Kurvenschar aus und wird durch einen Klick auf den Plot vorgegeben.

So liest du, was du siehst

Das Bedienfeld zählt das Gezeichnete, anstatt es zu beschreiben: 21 x 21 = 441 Steigungsmarkierungen im Standardgitter, die größte derzeit sichtbare endliche Steigung, das Plotfenster und wie viele Lösungskurven du gestartet hast. Jeder Klick fügt eine Anfangsbedingung hinzu, und der RK4-Löser verfolgt die dazugehörige Kurve dann sowohl vorwärts als auch rückwärts in x.

Setzt voraus: Dass die Gleichung von erster Ordnung und bereits nach dy/dx aufgelöst ist und dass f genau eine Steigung pro Punkt liefert. Das Gitter ist eine Stichprobe des Feldes, nicht das Feld selbst — ein Erhöhen der Dichte zeichnet mehr Markierungen, ohne auch nur eine einzige Lösung zu verändern.
Versagt, wenn: Wählt man -y/x, wechselt der Zähler zu 421 finite, 20 vertical/singular. Das sind die Gitterpunkte auf der y-Achse, an denen x = 0 die Steigung undefiniert lässt: Das Feld hat dort tatsächlich keine Richtung, und keine Lösungskurve kreuzt sie. Ein Steigungsfeld kann dir auch nicht zeigen, wo eine Lösung bei einem endlichen x nach Unendlich entweicht — das Bild bleibt völlig ruhig, während die Lösung es keineswegs ist.

Das Bild beantwortet die Gleichung, ohne sie je zu lösen 🖖

Ein Richtungsfeld visualisiert eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung dy/dx = f(x,y), indem es kurze Liniensegmente mit der Steigung f(x,y) auf einem Gitter zeichnet. Dies zeigt den Fluss potenzieller Lösungskurven ohne analytische Lösung, einschließlich Gleichgewichtspunkten (dy/dx = 0) und Wendepunkten.

Den Pfeilen folgen, ohne zu rechnen 🖖

Stell dir das Richtungsfeld als viele kleine Wegweiser vor: An jedem Punkt zeigt einer, wohin eine Lösung als Nächstes muss. Eine Lösungskurve folgt einfach diesen Richtungen, wie ein Blatt, das auf einer Strömung treibt. Da jeder Punkt genau eine Richtung hat, legt die Wahl eines Startpunkts (einer Anfangsbedingung) eine einzige Kurve fest — klicke irgendwohin, und das Werkzeug zeichnet diesen eindeutigen Weg.

RK4 wird heimlich zur Simpsonregel 🖖

Das RK4-Verfahren des Werkzeugs wertet die Steigung viermal pro Schritt aus und mischt sie mit den Gewichten 1:2:2:1. Wenn deine Gleichung einfach dy/dx = f(x) ist, ohne y auf der rechten Seite, fällt diese Mischung genau mit der Simpsonregel zur Integration zusammen: h/6·(f₀ + 4f_m + f₁). Das numerische Lösen einer ODE und das Berechnen eines bestimmten Integrals sind hier also dieselbe Rechnung.

Übung

Prüfe dich selbst

Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.

Die Voreinstellung Hyperbeln löst y′ = −y/x und meldet als „größte endliche |Steigung|“ den Wert 10. Erhöhe die Gitterdichte auf 30 und lies die Zeile erneut — und mache dasselbe bei den Voreinstellungen exponentiell und Parabeln.

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Bei den Hyperbeln läuft die Zeile 5 → 10 → 15 für die Dichten 10, 20 und 30. Bei exponentiell bleibt sie bei 3 und bei Parabeln bei 11, was du auch tust. Bei einem singulären Feld beschreibt diese Zeile dein Gitter, nicht die Gleichung: −y/x hat überhaupt keine größte Steigung, denn sie läuft für x → 0 ins Unendliche, also kann das Werkzeug nur die steilste Marke melden, auf der es zufällig gelandet ist. Die achsennächste Spalte liegt bei 8/Dichte, bei Dichte 20 also bei x = 0.4, und 4/0.4 = 10 — die Zahl auf dem Bildschirm. Die 20 als vertikal markierten Striche sind die ganze Spalte x = 0, wo die Steigung keine Zahl ist. Die beiden anderen Felder sind auf ihren Fenstern tatsächlich beschränkt, deshalb findet das Gitter jedes Mal dasselbe Maximum.
Die Voreinstellung logistisch löst y′ = y(1−y), deren Wachstum bekanntlich bei y = 1/2 am schnellsten ist, mit der Rate 0.25. Das Feld meldet als größte |Steigung| 0.75. Wo findet es eine dreimal so steile Steigung?

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Außerhalb der Population. Das Fenster der Voreinstellung reicht von y = −0.5 bis 1.5, und bei y = −0.5 ist die Rate (−0.5)(1.5) = −0.75 — steiler als alles zwischen den Gleichgewichtslinien, und fallend, denn die Zeile meldet den Betrag. Setze y min auf 0 und y max auf 1, und die Zeile fällt auf 0.25, gefunden bei y = 0.5, wo die Biologie sie hinsetzt. So streng musst du gar nicht sein: −0.2 bis 1.2 ergibt ebenfalls 0.25, denn (−0.2)(1.2) sind nur 0.24. Die berühmte Zahl beschreibt eine logistische Population; das Feld beschreibt das Rechteck, das du zeichnen ließest.

Aufgaben vollständig gelöst

Die Kurvenschar für y′ = −y/x 6 Schritte
y′ = −y/x, im Bereich −4 ≤ x ≤ 4 und −4 ≤ y ≤ 4, bei einer Gitterdichte von 20. Bevor auch nur eine einzige Lösungskurve gezeichnet wird, zählen Sie, wie vielen der Markierungen überhaupt eine Steigung zugeordnet werden kann, finden Sie die steilste und bestimmen Sie dann, aus welcher Kurvenschar das Feld besteht.
1. Das Gitter ist 20 Intervalle breit, was 21 Abtastlinien entspricht, nicht 20 — die Endpunkte zählen mit. Ein Ausschnitt von 8 Einheiten Breite tastet somit alle 0,4 Einheiten ab, und derselbe Abstand gilt in vertikaler Richtung.
  
  $Δ x = Δ y = \frac{8}{20} = 0.4, 21 \times 21 = 441$
2. 21 ist ungerade, daher fällt eine Abtastlinie genau in die Mitte des Ausschnitts, und die Mitte dieses Ausschnitts liegt bei x = 0. In dieser Spalte hat die rechte Seite eine Null im Nenner.
  
  $x_{i} = - 4 + 0.4 i, i = 0, 1, \dots, 20 ⟹ x_{10} = 0$
3. In dieser Spalte liefert jeder Punkt mit y ≠ 0 einen Quotienten ohne Wert: eine Richtung, senkrecht gezeichnet, aber keine auszugebende Zahl. Das betrifft 20 der 21 Punkte. Der letzte ist der Ursprung, an dem das Verhältnis 0/0 lautet und das Werkzeug dies löst, indem es die Markierung waagerecht zeichnet — eine Entscheidung, keine Notwendigkeit, und genau deshalb ergibt die Anzahl der endlichen Markierungen 421 statt 420.
  
  $y^{'} = - \frac{y}{x}, x = 0, y \neq = 0 : ∣ y^{'} ∣ = \infty (20), 441 - 20 = 421$
4. Die Steilheit beträgt |y|/|x|, sodass die steilste Markierung der höchste Punkt über der schmalsten Spalte ungleich Null ist: 4 geteilt durch 0,4. Die Spitzenreiter liegen unmittelbar neben der singulären Linie, was auch das Einzige ist, was an ihnen interessant ist.
  
  $∣ y^{'} ∣ = \frac{∣ y ∣}{∣ x ∣} \leq \frac{4}{0.4} = 10 (∣ y ∣_{m a x} = 4, ∣ x ∣_{m i n \neq = 0} = 0.4)$
5. Nun zu den Kurven selbst. Die Gleichung ist trennbar, und die Integration beider Seiten verwandelt eine Summe von Logarithmen in ein Produkt: xy ist entlang jeder Lösung konstant, somit handelt es sich bei der Kurvenschar um gleichseitige Hyperbeln.
  
  $\frac{d y}{y} = - \frac{d x}{x} ⟹ ln ∣ y ∣ + ln ∣ x ∣ = c ⟹ x y = C$
6. Überprüfen Sie dies am Punkt (1, 2), wo die Markierung die Steigung −2 hat. Die Hyperbel xy = 2 durch diesen Punkt hat dort die Steigung −2, passt also. Der Kreis x² + y² = 5 durch denselben Punkt hat die Steigung −x/y = −0,5, passt also nicht — rechtwinklig zum Radius entspricht der Gleichung y′ = −x/y, bei der x und y vertauscht sind.
  
  $(1, 2) : y^{'} = - 2; x y = 2 \Rightarrow y^{'} = - \frac{2}{x ^{2}} = - 2; x^{2} + y^{2} = 5 \Rightarrow y^{'} = - \frac{x}{y} = - 0.5$
Antwort

421 endliche Markierungen, 20 vertikale und eine steilste Steigung von 10. Nur zwei dieser drei Werte sagen etwas über die Differentialgleichung aus. Wiederholt man die letzte Berechnung, indem man das Gitter als Symbol belässt, ist die steilste Steigung, die das Gitter erfassen kann, 4 geteilt durch 8/d, was d/2 entspricht — die Zahl ist schlicht die Hälfte der eingestellten Dichte und sonst nichts. Die Gleichung besitzt überhaupt keine steilste Steigung; |y′| wächst für x → 0 unbeschränkt, und das Bedienfeld zeigt lediglich an, wie fein beobachtet wurde, nicht wie steil das Feld tatsächlich wird. Bei einer Dichte von 21 zeigt sich der Effekt noch deutlicher: 22 Abtastlinien pro Seite flankieren x = 0, anstatt genau darauf zu liegen, sodass alle 484 Markierungen endlich ausfallen und die singuläre Spalte aus der Zählung verschwindet, obwohl sie genau so singulär bleibt wie zuvor.

$∣ y^{'} ∣_{m a x} = \frac{∣ y ∣ _{m a x}}{Δ x} = \frac{4}{8/ d} = \frac{d}{2}$
Eine Lösung durch y = 0,1 für y′ = y(1 − y) 6 Schritte
y′ = y(1 − y), gezeichnet über −2 ≤ x ≤ 6 und −0,5 ≤ y ≤ 1,5, bei einer Gitterdichte von 20. Geben Sie, ohne etwas zu lösen, an, wo das Feld waagerecht verläuft, in welche Richtung eine Lösung durch y = 0,1 verlaufen muss und wo in diesem Ausschnitt die Markierungen am steilsten sind. Nennen Sie dann eine konkrete Zahl dafür, wie lange der Anstieg dauert.
1. Eine Markierung verläuft genau dort waagerecht, wo die rechte Seite verschwindet, und ein Produkt verschwindet nur dann, wenn einer der Faktoren verschwindet. Das ergibt zwei Werte, und jeder von ihnen ist für sich eine Lösung: Die konstanten Funktionen y ≡ 0 und y ≡ 1 erfüllen die Gleichung für jedes x.
  
  $y^{'} = y (1 - y) = 0 ⟺ y \in {0, 1}$
2. Beide treffen genau auf Abtastlinien. Die 21 y-Werte beginnen bei −0,5 und ändern sich in Schritten von 0,1, sodass 0 und 1 darunter sind und die beiden waagerechten Zeilen tatsächlich gezeichnet werden, anstatt nur durch die Neigungen zu beiden Seiten angedeutet zu werden.
  
  $y_{j} = - 0.5 + \frac{2 j}{20} = - 0.5 + 0.1 j : y_{5} = 0, y_{15} = 1, 21 \times 21 = 441$
3. Zwischen den waagerechten Zeilen sind beide Faktoren positiv, sodass jede Markierung nach oben geneigt ist; außerhalb hat ein Faktor sein Vorzeichen gewechselt, und die Markierungen neigen sich nach unten. Eine bei 0,1 startende Lösung steigt an und kann 1 niemals erreichen — um diese Linie zu überschreiten, müsste sie die darauf liegende konstante Lösung kreuzen, und zwei Lösungen dieser Gleichung können sich nicht schneiden.
  
  $0 < y < 1 : y^{'} > 0; y < 0 \lor y > 1 : y^{'} < 0$
4. Steigend und beschränkt zu sein ist nicht dasselbe wie stabil zu sein; lenken Sie daher jedes Gleichgewicht leicht aus und beobachten Sie das Vorzeichen. Knapp über 0 beträgt die Steigung etwa +ε und drängt weiter weg; knapp über 1 beträgt sie etwa −ε und drängt zurück. Eine Gleichung, zwei waagerechte Linien, entgegengesetzte Ergebnisse.
  
  $y = ε : y^{'} \approx + ε; y = 1 + ε : y^{'} \approx - ε$
5. Die steilsten Markierungen befinden sich nicht dort, wo das Wachstum stattfindet. Innerhalb von 0 ≤ y ≤ 1 liegt die schnellste Änderung bei y = 0,5 und beträgt 0,25, aber der Ausschnitt erstreckt sich bis −0,5 und 1,5, wo das Produkt −0,75 beträgt — dreimal steiler, und zwar bei Populationswerten, um die es im Modell gar nicht geht.
  
  $0 \leq y \leq 1 max ∣ y^{'} ∣ = 0.25; y = - 0.5 \lor y = 1.5 : ∣ y^{'} ∣ = 0.75$
6. Eine Größe macht die Kurve gerade. Leitet man den Logarithmus der Chance y/(1 − y) ab, erzeugt die Kettenregel exakt den Faktor y(1 − y), den die Gleichung liefert; beide kürzen sich weg, und was übrig bleibt, wächst mit einer konstanten Rate von 1.
  
  $\frac{d}{d x} ln \frac{y}{1 - y} = \frac{y ^{'}}{y ( 1 - y )} = 1$
Antwort

Zwei Gleichgewichte, 0 abstoßend und 1 anziehend, und eine maximale |Steigung| von 0,75, die vollständig außerhalb von 0 ≤ y ≤ 1 liegt. Der letzte Schritt ist derjenige, den man sich merken sollte. Die Log-Odds steigen mit exakt 1 pro x-Einheit, sodass der Anstieg von 10 % auf 90 % ln(9 ÷ 1/9) = ln 81 = 4,394 in x dauert, unabhängig vom Startwert. Nichts auf dem Bedienfeld gibt dies aus, und doch ist es die Zahl, die ein Modellierer tatsächlich sucht: nicht die Höhe der Kurve, sondern die Länge ihres Übergangs, die allein durch die Wachstumsrate bestimmt wird. Dieser Ausschnitt ist 8 Einheiten breit, sodass eine Lösung, die links nahe Null eintritt, etwas mehr als die Hälfte davon mit dem gesamten Anstieg verbringt und den Rest flach an y = 1 anliegt.

$Δ x = ln \frac{9}{1/9} = ln 81 = 4.394$

Quellen (1)

Direction fields, initial-value problems and when a solution is guaranteed to exist: W. E. Boyce & R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 10th ed. John Wiley & Sons, 2012. ISBN 978-0-470-45831-0.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-06-25

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

y' = y - Es gibt 441 Markierungen. Sie verlaufen flach entlang y = 0 und am steilsten in den Ecken, wo die Steigung 3 beträgt. Diese flache Reihe ist selbst eine Lösung. Keine Kurve kreuzt sie. Deshalb entscheidet das Vorzeichen deines ersten Klicks, ob die Kurve steigt oder fällt. Nichts kann das später noch ändern.
Logistisch - Flache Markierungen säumen zwei Geraden, y = 0 und y = 1. Beide sind Lösungen. Startet eine Kurve dazwischen, ist sie gefangen und muss gegen 1 streben. Die steilste Steigung des Gitters, 0,75, liegt jedoch gar nicht auf dieser S-Kurve. Sie befindet sich bei y = −0,5, also unterhalb der unteren Lösung.
Hyperbeln - Der Zähler spaltet sich in 421 endliche und 20 vertikale Markierungen auf. Das ist die Spalte bei x = 0, wo −y/x keinen Wert hat. Erhöhe nun die Dichte von 20 auf 21: Du erhältst 484 endliche Markierungen, keine einzige singulär. Das Gitter landet nicht mehr auf der Achse. Die Singularität hat sich nicht bewegt. Die Abtastung hat sie schlicht verfehlt.
Parabeln - Flache Markierungen zeichnen die Parabel y = x² nach. Jede Lösung schneidet sie waagerecht. Die Parabel ist selbst keine Lösung. Auf ihr fordert die Gleichung die Steigung 0, während die Kurve die Steigung 2x besitzt. Die steilste Markierung, 11, liegt in der linken unteren Ecke.