Innenwiderstand & Leerlaufspannung

Wähle eine Quelle und eine Last. Die Seite berechnet den Strom, was tatsächlich an den Klemmen anliegt, wie sich die Leistung zwischen der Last und dem Inneren der Quelle aufteilt und wie nah du am theoretischen Maximum der Quelle bist.

Rechenbeispiel — Innenwiderstand & Leerlaufspannung

Strom im Stromkreis	0,2992 A
Spannung an den Klemmen	1,4961 V
Leistung in die Last	0,4477 W
Verlustleistung im Inneren	0,0161 W
Anteil für die Last	96,53%
Maximal mögliche Leistung	3,3368 W
Dein Anteil am Maximum	13,42%
Strom bei Kurzschluss	8,611 A

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Innenwiderstand & Leerlaufspannung

Eine reale Quelle besteht aus zwei Dingen in Reihe. Da ist die EMK E, also die Energie, die sie jedem Coulomb mitgibt. Und da ist der Innenwiderstand r. Dieser umfasst alles in ihrem Inneren, was dem Strom entgegenwirkt: Elektrolyt, Elektroden und die Verbindungen zu den Klemmen. Was du von außen messen kannst, ist die Klemmenspannung, V = E − Ir. Sie entspricht der EMK nur dann, wenn kein Strom fließt. Der Strom im Stromkreis ist I = E/(R+r). Die Last erhält I²R, die Quelle selbst setzt I²r in Wärme um. Der Anteil, der die Last erreicht, ist η = R/(R+r).

Was die einzelnen Symbole bedeuten

E: die EMK, in Volt. Die von der Quelle bereitgestellte Energie pro Coulomb und der Messwert, den du erhältst, wenn nichts angeschlossen ist
r: der Innenwiderstand, in Ohm. Kein Bauteil, auf das du zeigen kannst. Es ist der gesamte Widerstand der Quelle gegen den Strom, zusammengefasst in einer einzigen Zahl
R: der Lastwiderstand, in Ohm. Die einzige Größe in dieser Liste, die dir gehört und nicht der Quelle
I: der Strom, in Ampere. Überall im Stromkreis gleich, weil Quelle und Last in Reihe geschaltet sind
η: der Wirkungsgrad, R/(R+r). Der Anteil der bereitgestellten Energie, der die Last erreicht, anstatt die Quelle zu erwärmen

Setzt voraus: Eine konstante EMK, ein konstanter Innenwiderstand und reiner Gleichstrom – das ist das Thévenin-Äquivalent der Quelle. Für eine lineare Spannungsquelle ist dieses Modell exakt. Bei einer chemischen Zelle liefert es eine gute erste Näherung. Eine reale Zelle weicht von den ersten beiden Annahmen jedoch allmählich ab. Der Innenwiderstand r steigt beim Entladen und klettert bei Kälte drastisch nach oben. Zudem sinkt E mit dem Ladezustand. Deshalb dreht der Anlasser eines kalten Autos an einem Wintermorgen aus gleich zwei Gründen quälend langsam und nicht nur aus einem. Die angegebenen Werte der Quellen in der Liste sind typische Richtwerte und stammen nicht aus der Messung einer spezifischen Zelle.
Versagt, wenn: Bei jeder Quelle, deren Kennlinie keine gerade Linie ist. Die Solarzelle in der Liste ist das extremste Beispiel auf dieser Seite. Die Klemmenspannung einer Photovoltaikzelle über dem Strom ist eine Kurve. Ein einzelner Wert für r ist hier nur eine lokale Näherung, und ihr Punkt der maximalen Leistung liegt ganz und gar nicht bei R = r. Genau deshalb verwenden Solarwechselrichter ein Maximum-Power-Point-Tracking anstelle einer festen Leistungsanpassung. Auch eine echte chemische Zelle weicht ab. Sie fällt schneller ab, als die Linie vorhersagt, sobald der Strom so groß ist, dass der Elektrolyt nicht mehr mitkommt. Und das 50-Prozent-Ergebnis bezieht sich auf kontinuierliche Leistung, nicht auf gespeicherte Energie. Wenn du eine Batterie mit Leistungsanpassung betreibst, holst du die meisten Watt aus ihr heraus, aber weniger als die Hälfte ihrer Ladung. Nichts, was lange halten soll, wird jemals so betrieben.

Die höchste Leistung erreichst du bei 50 % Wirkungsgrad 🖖

Klick auf Leistungsanpassung. Die Zelle treibt 0,18 Ω an, was genau ihrem eigenen Innenwiderstand entspricht. Die Last nimmt 3,3368 W auf. Das ist das Maximum, das diese Zelle überhaupt an irgendetwas liefern kann. Schau dir nun die Zeile darunter an. Die Zelle gibt ebenfalls 3,3368 W als Verlustleistung ab. Exakt die Hälfte der gesamten von der Chemie bereitgestellten Energie wird im Inneren der Batterie in Wärme verwandelt. Das liegt nicht an dieser speziellen Zelle. Die Formel η = R/(R+r) ergibt immer genau die Hälfte, wenn R = r gilt. Das gilt für jede Quelle bei jeder Spannung. Das erste Diagramm führt die beiden Leistungen zusammen. Eine steigt an, eine fällt ab, und sie kreuzen sich am Scheitelpunkt. Das Maximum aus einer Quelle herauszuholen und dabei am wenigsten zu verschwenden, sind zwei völlig unterschiedliche Dinge. Du musst dich für eines entscheiden.

Die neunfache Last, ein Neuntel der Last, dieselbe Leistung 🖖

Klick auf Neunmal r, dann auf Ein Neuntel von r. Beide liefern 1,2013 W an den Verbraucher, also 36,00 % des Maximums. Was sich ändert, ist der Preis. Bei 1,62 Ω arbeitet die Zelle bei 90,00 % und erwärmt sich um 0,1335 W. Bei 0,02 Ω erreicht sie nur 10,00 % und erzeugt 10,8113 W Abwärme. Das ist einundachtzigmal so viel Wärme für exakt dieselbe Nutzleistung. Die Tabelle unten macht diese Symmetrie sichtbar. Die Leistungsspalte ist von oben und unten gelesen gleich. Die Wirkungsgradspalte ist es nicht. Auf welcher Seite des Maximums du dich befindest, ist die alles entscheidende Frage. Ein Radioempfänger wird leistungsangepasst betrieben, weil das Signal das Einzige ist, was zur Verfügung steht. Ein Kraftwerk niemals, denn hier zählt der Brennstoff.

Beide Batterien sehen auf einem Messgerät gut aus 🖖

Ein Voltmeter an einer AA-Zelle zeigt 1,55 V an. Der Grund ist einfach. Ein Voltmeter zieht fast keinen Strom: R ist riesig, I ist fast null, und bei V = E − Ir gibt es nichts abzuziehen. Schließ eine echte Last an, und die Messung wird zu einer Aussage über diese Last. Es sind 1,4961 V an einer Taschenlampenbirne, aber nur 0,7750 V an 0,18 Ω. Deshalb legt ein Batterietester eine Last an die Zelle an, anstatt sie nur zu messen. Dieselbe Mathematik zeigt, was eine Quelle zu leisten imstande ist. Ein Kurzschluss zieht E/r, was 8,611 A für diese Zelle und 2.520 A für eine Autobatterie bedeutet. Das ist der 293-fache Strom bei der 8-fachen Spannung. Allein der Innenwiderstand bewirkt das.

Aufgabe vollständig gelöst

Den Innenwiderstand einer Batterie finden, ohne sie zu öffnen 6 Schritte
Du hast eine Zelle, ein Voltmeter, ein Amperemeter und zwei Widerstände, 10 Ω und 1 Ω. Am 10-Ω-Widerstand misst du 0,152259 A bei 1,522593 V. Am 1-Ω-Widerstand misst du 1,313559 A bei 1,313559 V. Bestimme die EMK und den Innenwiderstand. Sag dann, was die Zelle bei einem Kurzschluss tun würde, ohne sie kurzzuschließen.

Öffne diese Aufgabe im Tool
1. Jeder Messwert, den du aufnehmen kannst, liegt auf derselben geraden Linie, V = E − Ir. Zwei Punkte definieren eine Gerade. Daher reichen zwei Widerstände aus.
  
  $V = E - I r$
2. Berechne die Steigung zwischen den beiden Messwerten. Sie ergibt −0,180000 V pro Ampere.
  
  $\frac{Δ V}{Δ I} = \frac{1 . 313559 - 1 . 522593}{1 . 313559 - 0 . 152259} = \frac{- 0 . 209034}{1 . 161300} = - 0.180000$
3. Diese Steigung ist −r. Der Innenwiderstand beträgt also 0,1800 Ω. Nichts musste dafür zerlegt werden.
  
  $r = - \frac{Δ V}{Δ I} = 0.1800 Ω$
4. Der y-Achsenabschnitt ist die EMK. Addiere die Spannung wieder hinzu, die der Innenwiderstand bei der jeweiligen Messung geschluckt hat.
  
  $E = V + I r = 1.522593 + 0.152259 \cdot 0.18 = 1.550000 V$
5. Überprüfe das mit dem anderen Punkt. Genau das ist der Grund für die zweite Messung. 1,313559 + 1,313559 × 0,18 ergibt wieder 1,550000 V.
  
  $1.313559 + 1.313559 \cdot 0.18 = 1.550000 V$
6. Nun sind beide Enden der Linie bekannt, und damit auch alles dazwischen: die Spitzenleistung, die die Zelle liefern kann, ihr aktueller Arbeitspunkt und der Strom, den ein Kurzschluss ziehen würde.
  
  $P_{m a x} = \frac{E ^{2}}{4 r} R = r \frac{E}{r} 3.3368 W 0.1800 Ω 8.611 A$
Antwort

E = 1,550000 V und r = 0,1800 Ω, ermittelt aus zwei Spannungsmessungen. Die Spitzenleistung der Zelle ist E²/4r = 3,3368 W an einer Last von 0,1800 Ω, und ein Kurzschluss würde E/r = 8,611 A ziehen. Die letzte Zahl ist der Sinn der Methode. Du kannst angeben, was eine Zelle in dem einen Zustand macht, in den du sie niemals bringen darfst. Die Linie geht nämlich bis zur Achse weiter, egal ob du ihr dorthin folgst oder nicht. So erkennt auch ein Batteriemanagementsystem, dass ein Akkupack altert. Der Widerstand r steigt als Erstes an, lange bevor die aufgedruckte Spannung einbricht.

$E = 1.550000 V, r = 0.1800 Ω \Rightarrow \frac{E}{r} = 8.611 A$

Lernpfad

Was das ohmsche Gesetz ausklammert

Quellen (2)

Insight block 1 is one reading of the maximum power transfer theorem and there are several, which is what this survey is for — the load that takes the most power, the source resistance that does, and the conjugate match are three different questions with three different answers: S. C. Dutta Roy, "Many Faces of the Maximum Power Transfer Theorem." International Journal of Electrical Engineering & Education 40(2), 2003, pp. 103-111. DOI 10.7227/ijeee.40.2.1
The Thevenin equivalent the whole page rests on, and the three forms of resistive power the results table uses. Cited across this chapter on purpose: one circuits text. J. W. Nilsson and S. A. Riedel, Electric Circuits, 10th ed. Pearson/Prentice Hall, 2015. ISBN 978-0-13-376003-3.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.