Lektion
Die Theorie — Wechselspannung: Effektivwert, Spitze und was dein Messgerät anzeigt
Eine Wechselspannung besitzt keinen brauchbaren Durchschnitt. Über einen ganzen Zyklus hinweg verbringt eine symmetrische Welle genauso viel Zeit im Negativen wie im Positiven, wodurch der Mittelwert null ist. Nützlich ist hingegen der Effektivwert (RMS), also die Wurzel aus dem Mittelwert des Quadrats. Das Quadrieren entfernt das Vorzeichen, und die Leistung hängt vom Quadrat ab. P = V²ᵣₘₛ/R, womit der Effektivwert genau jener Gleichspannung entspricht, die denselben Widerstand exakt gleich stark erhitzen würde. Deshalb ist dies auch die Zahl, die auf einem Typenschild stehen sollte. Diese Seite setzt diese Definition voraus. Wasteland Signal leitet sie aus elementaren Prinzipien ab und zeigt, dass weder Phase noch Frequenz eine Rolle spielen. Hier geht es stattdessen um das, was daraus folgt. Das ist der Scheitelfaktor, also Spitze geteilt durch Effektivwert. Hinzu kommt der Formfaktor, Effektivwert geteilt durch Gleichrichtwert. Das ist die Zahl, die ein Messinstrument benötigt und die es in der Regel nur rät.
Was die einzelnen Symbole bedeuten
V_pk- die Spitze, in Volt. Was die Isolierung, der Schalter und der Transistor überstehen müssen
V_rms- der Effektivwert, in Volt. Die Gleichspannung, die denselben Widerstand gleich stark erhitzen würde, und die Zahl auf dem Etikett
|v|- die gleichgerichtete Welle. Ihr reiner Durchschnitt ist das, was ein mittelwertbildendes Gerät tatsächlich misst, bevor es multipliziert
crest- Spitze ÷ Effektivwert. 1,41421 für einen Sinus, 1 für ein Rechteck, 1,73205 für ein Dreieck
form- Effektivwert ÷ Gleichrichtwert. 1,110721 für einen Sinus. Das ist die Zahl, die ein günstiges Messgerät auf alles anwendet
- Setzt voraus
- Symmetrische Wellenformen ohne Gleichanteil, eine rein ohmsche Last und ein ideales mittelwertbildendes Messgerät. Dieses richtet perfekt gleich und hat eine unbegrenzte Bandbreite. Ein reales Gerät bietet beides nicht. Die Dioden in seinem Gleichrichter arbeiten in der Nähe des Nullpunkts nicht ideal, und seine Bandbreite liegt meist bei wenigen Kilohertz. Die hier angegebenen Fehler sind also jene, die noch übrig bleiben, wenn das Instrument ansonsten vollkommen fehlerfrei arbeitet. Die drei Formen sind ebenfalls idealisiert. Der Ausgang eines realen Wechselrichters ist kein sauberes Rechteck, sondern ein modifiziertes mit einer Lücke beim Nulldurchgang. Sein Formfaktor ist wiederum ein ganz anderer.
- Versagt, wenn
- Bei jeder Last, die kein ohmscher Widerstand ist. Die Leistung an einer induktiven oder kapazitiven Last entspricht weder V²ᵣₘₛ/R noch VᵣₘₛIᵣₘₛ. Strom und Spannung erreichen ihre Spitze zu unterschiedlichen Momenten. Das Verhältnis der Wirkleistung zu ihrem Produkt ist der Leistungsfaktor, den diese Seite überhaupt nicht modelliert. Die Theorie versagt auch bei einem Gleichanteil. Der Effektivwert einer Welle, die auf einem Gleichstrompegel sitzt, ist die Wurzel aus der Summe der Quadrate beider Teile. Aus diesem Grund lässt sich eine Einweggleichrichtung mit nichts von dem oben Genannten beschreiben. Zudem gibt es Situationen, in denen die Mathematik zwar stimmt, die Messung aber nicht. Ein echtes True-RMS-Messgerät hat ein Limit für den Scheitelfaktor, das typischerweise bei 3 liegt. Eine Welle, die noch spitzer ist, übersteuert den Eingang des Geräts lange bevor die angezeigte Zahl offensichtlich falsch aussieht.
Aufgabe vollständig gelöst
-
Der 16-V-Kondensator an einem 12-V-Transformator, der trotzdem ausfällt 6 Schritte
Ein Projekt benötigt 12 V Gleichspannung. Du kaufst einen Transformator mit der Aufschrift 12 V AC, richtest ihn mit einer Brücke gleich und glättest die Spannung mit einem Kondensator, der für 16 V ausgelegt ist. Auf der Werkbank funktioniert alles wunderbar, doch im realen Einsatz versagt die Schaltung. Finde heraus warum, bevor du weiterliest. Klicke auf Ein 12-V-Transformator, um den ersten Schritt im Werkzeug zu sehen.
-
Die Beschriftung ist ein Effektivwert, da jedes AC-Etikett so angegeben wird. Die Spitze ist das √2-Fache davon.
-
Ein Glättungskondensator lädt sich in Richtung der Spitze auf und bleibt in deren Nähe. Er sieht also 16,9706 V und nicht 12.
-
Ein Brückengleichrichter kostet auf dem Weg zwei Diodenspannungen von jeweils etwa 0,7 V.
-
Der Kondensator liegt im unbelasteten Zustand also bei 15,571 V. Das ist unter seiner Nennspannung von 16 V. Es sind genau 2,68 %, was der gesamten Toleranzmarge deines Entwurfs entspricht.
-
Jetzt kommt der Teil, der sich erst in der Praxis zeigt. Die Netzspannung wird mit einer Toleranz spezifiziert, die typischerweise bei +10 % liegt. Der Ausgang des Transformators folgt dieser Schwankung. Es liegen 13,2 V Effektivwert anstatt 12 an.
-
Wiederhole dieselben drei Schritte bei 13,2 V. Plötzlich ist der Kondensator überlastet, und das an einem Tag, an dem mit ihm eigentlich alles in Ordnung war.
Antwort
17,268 V an einem 16-V-Kondensator. Das sind 7,9 % über seinem Nennwert, an einem völlig normalen Tag mit hoher Netzspannung. Nichts an dem Design wurde falsch berechnet. Der Fehler lag vielmehr darin, ein Etikett so zu lesen, als beschreibe es die Spannung, die das Bauteil tatsächlich erfährt. In Wirklichkeit beschreibt es das Wärmeäquivalent einer Welle, deren Spitze 41,4 % höher liegt. Die praktische Grundregel lautet daher, den Kondensator nach der Spitze am oberen Ende der Versorgungstoleranz auszuwählen und dann noch eine zusätzliche Sicherheitsmarge einzuplanen. Das ist auch der Grund, warum eine 12-V-Schiene normalerweise von einem 25-V-Bauteil geglättet wird und niemals von einem 16-V-Typ.
-
Lernpfad
Was das ohmsche Gesetz ausklammert
Quellen (2)
- Insight 1 is about a measurement error, and the metrology literature treats the square wave as the standard case for exactly that reason — it is the waveform a true-RMS instrument is checked against: P. M. Tzvetkov and K. S. Galabov, "True RMS voltmeter calibration by reference square waveform signal and algorithm for measurement and processing of results." 2021 XXXI International Scientific Symposium Metrology and Metrology Assurance (MMA), 2021, pp. 1-4. DOI 10.1109/mma52675.2021.9610853
- The derivation this page deliberately does not repeat lives on another tool in this repo rather than in a citation, and is worth naming as a source in its own right: Wasteland Signal works RMS out from the amplitudes and shows that phase and frequency never enter. The RMS definition, its cross-product argument and the independence from phase: see /tidal/wasteland-signal on this site, whose worked problem derives the whole of it.